Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- kurse:efcomputergrafik:kw43 [2019/10/23 14:40]
Marcel Metzler [Anwendung Datenkomprimierung Linienzeichnungen]
+++ kurse:efcomputergrafik:kw43 [2019/10/24 09:12]
Marcel Metzler [Anwendung Datenkomprimierung von Linienzeichnungen]
@@ Line 65: / Line 65: @@
 Rechne $a_k$ vollständig durch.
-====Anwendung Datenkomprimierung Linienzeichnungen====
+====Anwendung Datenkomprimierung von Linienzeichnungen====
 **Aufgabe 3**
-Analysiere folgendes Programm.
+Analysiere folgendes Programm. Was ist neu?
 <code python Fourier.py>
 from gpanel import *
@@ Line 103: / Line 103: @@
 ===Konventionen und Anpassungen für die Datenkomprimierung===
-Sei $f$ die Funktion, welche das Bild beschreibt.
+Sei $f$ eine 1-periodische Funktion, welche unser Bild beschreibt.
 $$ f: \; \left[0,1\right] \; \rightarrow \; \mathbb{C}, \quad t \;\mapsto z=x+i\cdot y $$
-D.h. wir fassen die Bildpunkte $P(x|y)$ als Punkte in der komplexen Zahlenebene auf. Der erste Punkt $P_0(x_0|y_0)$ ist $f(0)=x_0+i\cdot y_0$, der letzte Punkt $P_n(x_n|y_n)$ ist $f(1)=x_n+i\cdot y_n$, dazwischen wird linear interpoliert, d.h. mit $$\Delta t = \frac{1}{n-1}$$ folgt dann $P_k(x_k|y_k)$ ist $f((k-1)\Delta t)=x_k+i\cdot y_k$.
+D.h. wir fassen die Bildpunkte $P(x|y)$ als Punkte in der komplexen Zahlenebene auf. Der erste Punkt $P_0(x_0|y_0)$ ist $f(0)=x_0+i\cdot y_0$, der letzte Punkt $P_n(x_n|y_n)$ ist $f(1)=x_n+i\cdot y_n$, dazwischen wird linear interpoliert, d.h. mit $$\Delta t = \frac{1}{n-1}$$ folgt dann für ein $k\in \{1,2,3,...,n\}$, dass $P_k(x_k|y_k)$ als $f((k-1)\Delta t)=x_k+i\cdot y_k$ interpretiert wird.
+Wir wollen unser $f$ welches wir nun anhand von einer endlichen Anzahl von Punkten kennen mit einem komplexen Fourierreihe approximieren, darstellen.
+$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k \cdot e^{ikt}  \approx \sum_{k=-n}^{n}c_k \cdot e^{ikt}$$
+Für den komplexen Fourierkoeffizienten $c_k$ gilt:
+$$c_k=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\cdot e^{-ikt}dt $$
+Aufgrund unserer Anpassung, d.h. weil $f$ 1-periodisch ist ergibt sich folgende Vereinfachung.
+$$c_k=\int_0^1 f(t)\cdot e^{-ikt}dt $$
+Das Integral berechnen wir über eine "Riemann"-Summe, d.h.
+$$c_k=\int_0^1 f(t)\cdot e^{-ikt}dt \approx \sum_{j=0}^{n-1}f(j\cdot \Delta t)\cdot e^{-ikj\cdot \Delta t}\cdot \Delta t$$
+**Aufgabe 4**
+Ergänze das obige Programm so, dass
+  * die komplexen Fourierkoeffizienten $c_k$ berechnet werden und
+  * diese in einem File abgespeichert werden. Pro Zeile soll nur ein Fourierkoeffizient stehen.