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--- kurse:efcomputergrafik:kw48 [2019/11/26 14:23]
Ivo Blöchliger [Form der Polynome und deren Ableitungen]
+++ kurse:efcomputergrafik:kw48 [2019/12/04 11:48]
Ivo Blöchliger
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 ===== Ableitungen von $p(t)$ für $t \in [0,1]$ =====
+$$
+v(t) = -3(1-t)^2 \cdot \vec p_0 +
+(1-t)(1-3t)\cdot \vec p_1 +
+t(2-3t) \cdot \vec p_2 +
+t^2 \cdot \vec p_3
+$$
-====== Interpolation mit kubischen Funktionen ======
+Man findet $\vec v(0) = 3(\vec p_1 - \vec p_0)$, also Tangente parallel zu $P_0P_1$.
-Gesucht ist eine kubische Funktion durch 2 gegebene Punkte $P=(0,y_P)$ und $Q=(1,y_Q)$ mit gegebenen Tangentensteigungen $m_P$ und $m_Q$ in diesen Punkten.
+Analog mit $\vec v(1) = 3(\vec p_3 - \vec p_2)$.
-Variante 1: Ansatz $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$, Gleichungssystem aufstellen, lösen.
+Mit Maxima:
+<code maxima>
+p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
+define(v(t), factorout(diff(p(t,a,b,c,d),t),t));
+tex(v(t));
+define(a(t), factorout(diff(v(t),t),t));
+tex(a(t));
+</code>
+liefert
+$$3\,d\,t^2+3\,b\,\left(t-1\right)\,\left(3\,t-1\right)-3\,c\,t\,
+ \left(3\,t-2\right)-3\,a\,\left(t-1\right)^2$$
+und
+$$-6\,c\,\left(3\,t-1\right)+6\,b\,\left(3\,t-2\right)+6\,d\,t-6\,a\,
+ \left(t-1\right)$$
+Interessant sind auch hier die Werte von $a(0)$ und $a(1)$:
+$$a(0) = 6\,c-12\,b+6\,a$$
+$$a(1) = 6\,d-12\,c+6\,b$$
+===== Darstellung von Kurven vom Grad 1 und 2 mit Hilfe von einer Kurve vom Grad 3 =====
+==== Grad 1 ====
+Damit die Geschwindigkeit für $t=0$ übereinstimmt, müssen die Kontrollpunkte sich bei $t=\frac{1}{3}$ und $t=\frac{2}{3}$ befinden. Beweis mit Maxima (ein OpenSource CAS-Programm):
+<code maxima>
+p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
+factorout(expand(p(t, a, (2/3*a+1/3*b), a/3+2/3*b,b)),t);
+tex(%);
+</code>
+liefert:
+$$b\,t+a\,\left(1-t\right)$$
+==== Grad 2 ====
+Für den Grad zwei, mit Kontrollpunkten $q_0, q_1, q_2$ ist $\vec v(0) = 2(\vec q_1-\vec q_0)$. Damit die Geschwindigkeiten für $t=0$ übereinstimmen muss $p_1 = \frac{1}{3}q_0 + \frac{2}{3}q_1$ sein. Analog für $p_2$.
+Beweis wieder mit Maxima:
+<code maxima>
+p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
+factorout(expand(p(t, a, (2/3*b+1/3*a), c/3+2/3*b,c)),t);
+tex(%);
+</code>
+liefert:
+$$c\,t^2-2\,b\,\left(t-1\right)\,t+a\,\left(t-1\right)^2$$
-Variante 2: Anstatt die kanonische Basis $1,x,x^2,x^3$ zu verwenden, soll eine Basis mit der Eigenschaft gefunden werden, dass von folgenden Werten immer nur genau einer Eins und die restlichen Null sind: $b(0), b(1), b'(0), b'(1)$. Die gesuchte Lösung ergibt sich dann als einfache Linearkombination mit den gegebenen Koeffizienten.
 ====== Analyse von SVG-Pfaden ======
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 ===== Umgang mit Inkscape =====
+Download für die Schulcomputer: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:informatik:glf19:glf19#make_the_computer_zimmer_great_again
 Nützliche Tastenkombinationen:
   * F1: Auswahlmodus (zum kopieren, löschen, verschieben, rotieren)
-  * F2: Edit-Modus (Manipulation der Pfadelemente.
+  * F2: Edit-Modus (Manipulation der Pfadelemente).
 Pfad-Manipulationen:
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   * Ctrl-K: Combine (mehrere Pfade in einen Pfad zusammenfassen).
+===== Text-Analyse mit Python =====
+=== Datei einlesen ===
+Von https://stackoverflow.com/questions/7409780/reading-entire-file-in-python
+<code python>
+with open('Path/to/file', 'r') as content_file:
+    content = content_file.read()
+</code>
+=== Text finden ===
+https://www.geeksforgeeks.org/string-find-python/
+<code python>
+position = content.find("<path ",startPosition)  # die Startposition ist optional, kann gebraucht werden, um weitere Vorkommen zu finden.
+if (position!=-1): # Wirklich was gefunden
+  # tu was damit
+</code>
+=== Substring ===
+<code python>
+a="0123456789"
+a[2:5] # -> liefert "234"
+</code>
+=== Text Analyse ===
+Ist der Path-String einmal gefunden, geht es darum, diesen zu analysieren. Als erster Schritt soll dieser nach Leerschlägen aufgeteilt werden:
+<code python>
+txt = "foo bar baz boo"
+items = txt.split(" ")
+</code>
+=== Convertierung in Zahlen ===
+<code python>
+zahl = float("3.14")
+</code>
+<hidden converter.py>
+<code python converter.py>
+def convert(elements):
+    # Aktuelle Koordinaten
+    x = 0
+    y = 0
+    # Position im elements Array
+    e = 0
+    # letztes Kommando
+    lastCMD = ""
+    while e < len(elements):
+        if elements[e]=="M":  # Move absolute
+            x = float(elements[e+1])
+            y = float(elements[e+2])
+            e = e+3   # 3 Element konsumiert
+        elif elements[e]=="m":  # Move relative
+            x = x + float(elements[e+1])
+            y = y + float(elements[e+2])
+            e = e+3   # 3 Element konsumiert
+with open('text.svg', 'r') as content_file:
+    content = content_file.read()
+# print(content)
+# Anfangsposition vom path
+position = content.find("<path")
+if position<0:
+    raise BaseException("Kein <path gefunden!")
+#print("Position %d" % position)
+# Erste 20 Zeichen vom path
+#print(content[position:(position+20)])
+# d=" suchen... (ab der Position position)
+while True:
+    position = content.find("d=\"", position)
+    if position<0:
+        BaseException("Kein d= gefunden")
+    if content[position-1]<'0': # kein Buchstabe vor d
+        break
+    position+=1
+# Erste 20 Zeichen vom d
+start = position+3
+ende = content.find("\"", start)
+pfaddef = content[start:ende]
+print(pfaddef)
+pfaddef = pfaddef.replace(",", " ")
+print(pfaddef)
+elemente = pfaddef.split(" ")
+print(elemente)
+</code>
+</hidden>