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--- lehrkraefte:blc:math:vektoranalysis:ganzzahligebasen [2018/09/14 08:40]
Ivo Blöchliger [2 Dimensionen]
+++ lehrkraefte:blc:math:vektoranalysis:ganzzahligebasen [2018/09/14 08:43]
Ivo Blöchliger
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 ====== Ganzzahlige Vektoren mit ganzzahliger Länge, die einen Winkel von $60^\circ$ einschliessen ======
 ===== 2 Dimensionen =====
-In zwei Dimensionen gibt es das nicht. Hätten $\vec a$ und $\vec b$ diese Eigenschaften kann $a_{\perp}$ gebildet werden (Rotation um $90^\circ$). Im Koordinatensystem mit Basisvektoren $\vec a$ und $\vec a_{\perp}$ hat $\vec b$ rationale Komponenten (die Koordinatentransformation ist rational umkehrbar). Wegen dem $60^\circ$-Winkel ist $\vec b$ ein $\lambda$-faches des Vektors $\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$. Ist $\lambda \in \mathbb{Q}$, ist die zweite Komponente irrational. Ist $\lambda$ irrational, ist es die erste Komponente von $\vec b$. Widerspruch.
+In zwei Dimensionen gibt es das nicht. Hätten $\vec a$ und $\vec b$ diese Eigenschaften kann $a_{\perp}$ gebildet werden (Rotation um $90^\circ$). Im Koordinatensystem mit Basisvektoren $\vec a$ und $\vec a_{\perp}$ hat $\vec b$ rationale Komponenten (die Koordinatentransformation ist rational umkehrbar). Wegen dem $60^\circ$-Winkel ist im neuen Koordinatensystem $\vec b$ ein $\lambda$-faches des Vektors $\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$. Ist $\lambda \in \mathbb{Q}$, ist die zweite Komponente irrational. Ist $\lambda$ irrational, ist es die erste Komponente von $\vec b$. Widerspruch.