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lehrkraefte:blc:miniaufgaben [2021/09/16 17:43]
Ivo Blöchliger [20. September 2021 bis 24. September 2021] |
lehrkraefte:blc:miniaufgaben [2024/04/29 17:50]
Ivo Blöchliger |
| | ~~NOTOC~~ |
| ===== Miniaufgaben ===== | ===== Miniaufgaben ===== |
| * Auf jede Lektion (ausser Prüfungslektionen) ist eine Miniaufgabe vorzubereiten. Am Anfang der Lektion wird eine Münze geworfen. Damit der Münzwurf gültig ist, muss sich die Münze mindestens 10 mal in der Luft drehen. Zeigt die Münze **Zahl**, wird eine Aufgabe in Form eines Kurztests geprüft. | * Auf jede Lektion (ausser Prüfungslektionen) ist eine Miniaufgabe vorzubereiten. Am Anfang der Lektion wird ein Würfel geworfen. Zeigt der Würfel eine Vier, Fünf oder Sechs, wird eine Aufgabe in Form eines Kurztests geprüft. |
| * Jeder Schüler hat 3 Joker für das 1. Semester. Bei Meldung per e-mail oder Threema (HX3WS583) bis spätestens 12 h vor Lektionsbeginn wird der Schüler vom eventuellen Kurztest ersatzlos dispensiert. Zeigt die Münze Kopf, ist der Joker aber auch aufgebraucht! | * Jeder Schüler hat 5 Joker für das ganze Jahr. Diese werden über die [[lehrkraefte:blc:informatik:glf22:crypto:joker-chain|JokerChain]] verwaltet und können bis 23:59 am Vortag eingelöst werden. Bei Einsatz eines Jokers wird der Schüler vom eventuellen Kurztest ersatzlos dispensiert. Zeigt der Würfel 1-3, ist der Joker aber auch aufgebraucht! |
| | //Beachten Sie, dass via andere Kanäle keine Joker mehr eingelöst werden können. Bei Problemen werde ich Sie aber nach Möglichkeit unterstützen (mit genügend zeitlichem Vorlauf).// |
| * Der Minikurztest ist auf mitgebrachtem **A4-Papier im Hochformat** zu lösen. Ausgefranste Ränder, zerknittertes Papier, abgerissene Ecken und Übergrössen führen zu **Abzug**. | * Der Minikurztest ist auf mitgebrachtem **A4-Papier im Hochformat** zu lösen. Ausgefranste Ränder, zerknittertes Papier, abgerissene Ecken und Übergrössen führen zu **Abzug**. |
| * Der Name ist **oben rechts** zu notieren. | * Der Name ist **oben rechts** zu notieren. |
| * Die Prüfungsblätter können mehrmals verwendet werden, die Aufgaben sind aber sauber abzugrenzen. | * Die Prüfungsblätter können mehrmals verwendet werden, die Aufgaben sind aber sauber abzugrenzen. |
| * Der Durchschnitt aller Miniaufgaben zählt als eine volle 4. Prüfungsnote. | * Schreiben Sie nicht mit Rot oder einer schlecht lesbaren Farbe, wie z.B. gelb. (Ja, ja, jede Regel hat eine Geschichte). |
| | * Der Durchschnitt aller Miniaufgaben zählt als eine volle 6. Prüfungsnote. |
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| <PRELOAD> | <PRELOAD> |
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| | ==== 29. April 2024 bis 3. Mai 2024 ==== |
| ==== 13. September 2021 bis 17. September 2021 ==== | === Dienstag 30. April 2024 === |
| === Donnerstag 16. September 2021 === | Die folgenden Funktionen haben genau zwei Wendestellenkandidaten. Bestimmen Sie diese.<JS>miniAufgabe("#exowende4tengrades","#solwende4tengrades", |
| | [["$f(x)=x^{4}+4x^{3}-90x^{2}+2x-2$", "$f'(x)=4x^{3}+12x^{2}-180x+2$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}+24x-180 = 12\\left(x^{2}+2x-15\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+2x-15=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -15): $\\left(x+5\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=3$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-15}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=3$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}+2x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x+2$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}+2x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x+2$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-4x^{3}-48x^{2}+3x+3$", "$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}-96x+3$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-24x-96 = 12\\left(x^{2}-2x-8\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-2x-8=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-72x^{2}-2x-2$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-144x-2$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-144 = 12\\left(x^{2}-x-12\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-12=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -12): $\\left(x+3\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-3$, $x_2=4$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-12}}{2}$ und daraus $x_1=-3$, $x_2=4$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}+6x^{3}-60x^{2}+3x-5$", "$f'(x)=4x^{3}+18x^{2}-120x+3$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}+36x-120 = 12\\left(x^{2}+3x-10\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+3x-10=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe 3, Produkt -10): $\\left(x+5\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=2$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=2$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-36x^{2}-5x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-72x-5$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-72 = 12\\left(x^{2}-x-6\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-6=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -6): $\\left(x+2\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=3$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-6}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=3$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}-3x-2$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x-3$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}+4x^{3}-48x^{2}+5x+5$", "$f'(x)=4x^{3}+12x^{2}-96x+5$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}+24x-96 = 12\\left(x^{2}+2x-8\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -8): $\\left(x+4\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=2$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=2$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-6x^{3}-60x^{2}-5x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-18x^{2}-120x-5$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-36x-120 = 12\\left(x^{2}-3x-10\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-3x-10=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -3, Produkt -10): $\\left(x+2\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=5$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=5$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"]], |
| Potenzgesetze anwenden, kürzen, am Schluss als einen einfachen Bruch (bzw. natürliche Zahl) schreiben:<JS>miniAufgabe("#exonumbercrunch1","#solnumbercrunch1", | " <hr> "); |
| [["$\\displaystyle \\frac{5 \\cdot 25^4 \\cdot 16 \\cdot 11 \\cdot 121^2}{25 \\cdot 125^2 \\cdot 32 \\cdot 121^2}$", "$\\displaystyle \\frac{5 \\cdot 25^4 \\cdot 16 \\cdot 11 \\cdot 121^2}{25 \\cdot 125^2 \\cdot 32 \\cdot 121^2} = \\frac{5 \\cdot \\left(5^{2}\\right)^{4} \\cdot 2^{4} \\cdot 11 \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{2}}{5^2 \\cdot \\left(5^{3}\\right)^{2} \\cdot 2^{5} \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{2}} = \\frac{5^{9} \\cdot 2^{4} \\cdot 11^{5}}{5^{8} \\cdot 2^{5} \\cdot 11^{4}} = \\frac{5 \\cdot 11}{2} = \\frac{55}{2}$"], ["$\\displaystyle \\frac{125 \\cdot 27 \\cdot 81 \\cdot 49^6}{25^2 \\cdot 9 \\cdot 27^2 \\cdot 7 \\cdot 49^6}$", "$\\displaystyle \\frac{125 \\cdot 27 \\cdot 81 \\cdot 49^6}{25^2 \\cdot 9 \\cdot 27^2 \\cdot 7 \\cdot 49^6} = \\frac{5^{3} \\cdot 3^3 \\cdot 3^{4} \\cdot \\left(7^{2}\\right)^{6}}{\\left(5^{2}\\right)^{2} \\cdot 3^2 \\cdot \\left(3^{3}\\right)^{2} \\cdot 7 \\cdot \\left(7^{2}\\right)^{6}} = \\frac{5^{3} \\cdot 3^{7} \\cdot 7^{12}}{5^{4} \\cdot 3^{8} \\cdot 7^{13}} = \\frac{1}{5 \\cdot 3 \\cdot 7} = \\frac{1}{105}$"], ["$\\displaystyle \\frac{32 \\cdot 64 \\cdot 125^4 \\cdot 7 \\cdot 49^4}{4 \\cdot 1024 \\cdot 5 \\cdot 25^6 \\cdot 49^4}$", "$\\displaystyle \\frac{32 \\cdot 64 \\cdot 125^4 \\cdot 7 \\cdot 49^4}{4 \\cdot 1024 \\cdot 5 \\cdot 25^6 \\cdot 49^4} = \\frac{2^5 \\cdot 2^{6} \\cdot \\left(5^{3}\\right)^{4} \\cdot 7 \\cdot \\left(7^{2}\\right)^{4}}{2^2 \\cdot 2^{10} \\cdot 5 \\cdot \\left(5^{2}\\right)^{6} \\cdot \\left(7^{2}\\right)^{4}} = \\frac{2^{11} \\cdot 5^{12} \\cdot 7^{9}}{2^{12} \\cdot 5^{13} \\cdot 7^{8}} = \\frac{7}{2 \\cdot 5} = \\frac{7}{10}$"], ["$\\displaystyle \\frac{5 \\cdot 125^4 \\cdot 3 \\cdot 9^3 \\cdot 11 \\cdot 121^3}{25^7 \\cdot 9^4 \\cdot 121^3}$", "$\\displaystyle \\frac{5 \\cdot 125^4 \\cdot 3 \\cdot 9^3 \\cdot 11 \\cdot 121^3}{25^7 \\cdot 9^4 \\cdot 121^3} = \\frac{5 \\cdot \\left(5^{3}\\right)^{4} \\cdot 3 \\cdot \\left(3^{2}\\right)^{3} \\cdot 11 \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{3}}{\\left(5^{2}\\right)^{7} \\cdot \\left(3^{2}\\right)^{4} \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{3}} = \\frac{5^{13} \\cdot 3^{7} \\cdot 11^{7}}{5^{14} \\cdot 3^{8} \\cdot 11^{6}} = \\frac{11}{5 \\cdot 3} = \\frac{11}{15}$"], ["$\\displaystyle \\frac{5 \\cdot 25 \\cdot 64 \\cdot 11 \\cdot 121^4}{25 \\cdot 2 \\cdot 4^3 \\cdot 121^4}$", "$\\displaystyle \\frac{5 \\cdot 25 \\cdot 64 \\cdot 11 \\cdot 121^4}{25 \\cdot 2 \\cdot 4^3 \\cdot 121^4} = \\frac{5 \\cdot 5^{2} \\cdot 2^{6} \\cdot 11 \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{4}}{5^{2} \\cdot 2 \\cdot \\left(2^{2}\\right)^{3} \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{4}} = \\frac{5^{3} \\cdot 2^{6} \\cdot 11^{9}}{5^{2} \\cdot 2^{7} \\cdot 11^{8}} = \\frac{5 \\cdot 11}{2} = \\frac{55}{2}$"], ["$\\displaystyle \\frac{16 \\cdot 32^2 \\cdot 25 \\cdot 125 \\cdot 121^4}{2 \\cdot 16^3 \\cdot 125^2 \\cdot 11 \\cdot 121^3}$", "$\\displaystyle \\frac{16 \\cdot 32^2 \\cdot 25 \\cdot 125 \\cdot 121^4}{2 \\cdot 16^3 \\cdot 125^2 \\cdot 11 \\cdot 121^3} = \\frac{2^4 \\cdot \\left(2^{5}\\right)^{2} \\cdot 5^2 \\cdot 5^{3} \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{4}}{2 \\cdot \\left(2^{4}\\right)^{3} \\cdot \\left(5^{3}\\right)^{2} \\cdot 11 \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{3}} = \\frac{2^{14} \\cdot 5^{5} \\cdot 11^{8}}{2^{13} \\cdot 5^{6} \\cdot 11^{7}} = \\frac{2 \\cdot 11}{5} = \\frac{22}{5}$"], ["$\\displaystyle \\frac{81^4 \\cdot 4 \\cdot 8^3 \\cdot 7 \\cdot 49^2}{3 \\cdot 9^8 \\cdot 4^5 \\cdot 49^2}$", "$\\displaystyle \\frac{81^4 \\cdot 4 \\cdot 8^3 \\cdot 7 \\cdot 49^2}{3 \\cdot 9^8 \\cdot 4^5 \\cdot 49^2} = \\frac{\\left(3^{4}\\right)^{4} \\cdot 2^2 \\cdot \\left(2^{3}\\right)^{3} \\cdot 7 \\cdot \\left(7^{2}\\right)^{2}}{3 \\cdot \\left(3^{2}\\right)^{8} \\cdot \\left(2^{2}\\right)^{5} \\cdot \\left(7^{2}\\right)^{2}} = \\frac{3^{16} \\cdot 2^{11} \\cdot 7^{5}}{3^{17} \\cdot 2^{10} \\cdot 7^{4}} = \\frac{2 \\cdot 7}{3} = \\frac{14}{3}$"], ["$\\displaystyle \\frac{16 \\cdot 32^2 \\cdot 9^6 \\cdot 121^8}{2 \\cdot 128^2 \\cdot 27 \\cdot 81^2 \\cdot 11 \\cdot 121^7}$", "$\\displaystyle \\frac{16 \\cdot 32^2 \\cdot 9^6 \\cdot 121^8}{2 \\cdot 128^2 \\cdot 27 \\cdot 81^2 \\cdot 11 \\cdot 121^7} = \\frac{2^4 \\cdot \\left(2^{5}\\right)^{2} \\cdot \\left(3^{2}\\right)^{6} \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{8}}{2 \\cdot \\left(2^{7}\\right)^{2} \\cdot 3^3 \\cdot \\left(3^{4}\\right)^{2} \\cdot 11 \\cdot \\left(11^{2}\\right)^{7}} = \\frac{2^{14} \\cdot 3^{12} \\cdot 11^{16}}{2^{15} \\cdot 3^{11} \\cdot 11^{15}} = \\frac{3 \\cdot 11}{2} = \\frac{33}{2}$"], ["$\\displaystyle \\frac{4 \\cdot 3 \\cdot 27 \\cdot 13 \\cdot 169^2}{2 \\cdot 3 \\cdot 9 \\cdot 169^3}$", "$\\displaystyle \\frac{4 \\cdot 3 \\cdot 27 \\cdot 13 \\cdot 169^2}{2 \\cdot 3 \\cdot 9 \\cdot 169^3} = \\frac{2^{2} \\cdot 3 \\cdot 3^{3} \\cdot 13 \\cdot \\left(13^{2}\\right)^{2}}{2 \\cdot 3 \\cdot 3^{2} \\cdot \\left(13^{2}\\right)^{3}} = \\frac{2^{2} \\cdot 3^{4} \\cdot 13^{5}}{2 \\cdot 3^{3} \\cdot 13^{6}} = \\frac{2 \\cdot 3}{13} = \\frac{6}{13}$"], ["$\\displaystyle \\frac{9 \\cdot 25 \\cdot 125^2 \\cdot 169^8}{27 \\cdot 5 \\cdot 125^2 \\cdot 13 \\cdot 169^8}$", "$\\displaystyle \\frac{9 \\cdot 25 \\cdot 125^2 \\cdot 169^8}{27 \\cdot 5 \\cdot 125^2 \\cdot 13 \\cdot 169^8} = \\frac{3^{2} \\cdot 5^2 \\cdot \\left(5^{3}\\right)^{2} \\cdot \\left(13^{2}\\right)^{8}}{3^{3} \\cdot 5 \\cdot \\left(5^{3}\\right)^{2} \\cdot 13 \\cdot \\left(13^{2}\\right)^{8}} = \\frac{3^{2} \\cdot 5^{8} \\cdot 13^{16}}{3^{3} \\cdot 5^{7} \\cdot 13^{17}} = \\frac{5}{3 \\cdot 13} = \\frac{5}{39}$"]], | |
| " <hr> ", " <hr> "); | |
| </JS> | </JS> |
| <HTML> | <HTML> |
| <div id="exonumbercrunch1"></div> | <div id="exowende4tengrades"></div> |
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| </HTML> | </HTML> |
| <hidden Lösungen> | <hidden Lösungen> |
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| <HTML> | <HTML> |
| <div id="solnumbercrunch1"></div> | <div id="solwende4tengrades"></div> |
| | <div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby extremalstellen-von-polynom-3ten-grades.rb 2</div> |
| </HTML> | </HTML> |
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| </hidden> | </hidden> |
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| === Freitag 17. September 2021 === | === Mittwoch 1. Mai 2024 === |
| Lösen Sie die Gleichung nach $x$ auf.<JS>miniAufgabe("#exolinGleich2","#sollinGleich2", | Eine Funktion 3. Grades hat die Form $f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$ mit $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ und $a\neq 0$. |
| [["$\\displaystyle \\frac{9}{8}\\cdot \\left(-\\frac{16}{5}-\\frac{8}{3}x\\right) = -\\frac{9}{13} \\cdot \\left(-\\frac{91}{45}+\\frac{26}{3}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n\\frac{9}{8}\\cdot \\left(-\\frac{16}{5}-\\frac{8}{3}x\\right) & = -\\frac{9}{13} \\cdot \\left(-\\frac{91}{45}+\\frac{26}{3}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n-\\frac{18}{5}-3x & = \\frac{7}{5}-6x && |+\\frac{18}{5}\\\\\n-3x & = 5-6x && |+6x\\\\\n3x & = 5 && |: 3\\\\\nx & = \\frac{5}{3}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle \\frac{4}{3}\\cdot \\left(-\\frac{15}{16}-\\frac{15}{2}x\\right) = -\\frac{6}{5} \\cdot \\left(\\frac{55}{8}+\\frac{25}{2}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n\\frac{4}{3}\\cdot \\left(-\\frac{15}{16}-\\frac{15}{2}x\\right) & = -\\frac{6}{5} \\cdot \\left(\\frac{55}{8}+\\frac{25}{2}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n-\\frac{5}{4}-10x & = -\\frac{33}{4}-15x && |+\\frac{5}{4}\\\\\n-10x & = -7-15x && |+15x\\\\\n5x & = -7 && |: 5\\\\\nx & = -\\frac{7}{5}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle \\frac{11}{6}\\cdot \\left(\\frac{16}{11}+\\frac{108}{11}x\\right) = -\\frac{13}{7} \\cdot \\left(\\frac{49}{39}-\\frac{98}{13}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n\\frac{11}{6}\\cdot \\left(\\frac{16}{11}+\\frac{108}{11}x\\right) & = -\\frac{13}{7} \\cdot \\left(\\frac{49}{39}-\\frac{98}{13}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n\\frac{8}{3}+18x & = -\\frac{7}{3}+14x && |-\\frac{8}{3}\\\\\n18x & = -5+14x && |-14x\\\\\n4x & = -5 && |: 4\\\\\nx & = -\\frac{5}{4}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle -\\frac{7}{5}\\cdot \\left(-\\frac{85}{42}-\\frac{80}{7}x\\right) = \\frac{9}{4} \\cdot \\left(\\frac{94}{27}+\\frac{28}{9}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n-\\frac{7}{5}\\cdot \\left(-\\frac{85}{42}-\\frac{80}{7}x\\right) & = \\frac{9}{4} \\cdot \\left(\\frac{94}{27}+\\frac{28}{9}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n\\frac{17}{6}+16x & = \\frac{47}{6}+7x && |-\\frac{17}{6}\\\\\n16x & = 5+7x && |-7x\\\\\n9x & = 5 && |: 9\\\\\nx & = \\frac{5}{9}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle -\\frac{4}{3}\\cdot \\left(\\frac{15}{16}+\\frac{3}{4}x\\right) = -\\frac{9}{11} \\cdot \\left(-\\frac{33}{4}+\\frac{88}{9}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n-\\frac{4}{3}\\cdot \\left(\\frac{15}{16}+\\frac{3}{4}x\\right) & = -\\frac{9}{11} \\cdot \\left(-\\frac{33}{4}+\\frac{88}{9}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n-\\frac{5}{4}-x & = \\frac{27}{4}-8x && |+\\frac{5}{4}\\\\\n-x & = 8-8x && |+8x\\\\\n7x & = 8 && |: 7\\\\\nx & = \\frac{8}{7}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle \\frac{2}{3}\\cdot \\left(7+\\frac{45}{2}x\\right) = \\frac{5}{9} \\cdot \\left(39+\\frac{72}{5}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n\\frac{2}{3}\\cdot \\left(7+\\frac{45}{2}x\\right) & = \\frac{5}{9} \\cdot \\left(39+\\frac{72}{5}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n\\frac{14}{3}+15x & = \\frac{65}{3}+8x && |-\\frac{14}{3}\\\\\n15x & = 17+8x && |-8x\\\\\n7x & = 17 && |: 7\\\\\nx & = \\frac{17}{7}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle \\frac{7}{3}\\cdot \\left(-\\frac{13}{21}-\\frac{27}{7}x\\right) = \\frac{5}{6} \\cdot \\left(-\\frac{52}{3}-18x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n\\frac{7}{3}\\cdot \\left(-\\frac{13}{21}-\\frac{27}{7}x\\right) & = \\frac{5}{6} \\cdot \\left(-\\frac{52}{3}-18x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n-\\frac{13}{9}-9x & = -\\frac{130}{9}-15x && |+\\frac{13}{9}\\\\\n-9x & = -13-15x && |+15x\\\\\n6x & = -13 && |: 6\\\\\nx & = -\\frac{13}{6}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle \\frac{13}{12}\\cdot \\left(\\frac{64}{13}-\\frac{72}{13}x\\right) = \\frac{13}{8} \\cdot \\left(-\\frac{40}{39}-\\frac{120}{13}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n\\frac{13}{12}\\cdot \\left(\\frac{64}{13}-\\frac{72}{13}x\\right) & = \\frac{13}{8} \\cdot \\left(-\\frac{40}{39}-\\frac{120}{13}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n\\frac{16}{3}-6x & = -\\frac{5}{3}-15x && |-\\frac{16}{3}\\\\\n-6x & = -7-15x && |+15x\\\\\n9x & = -7 && |: 9\\\\\nx & = -\\frac{7}{9}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle \\frac{15}{13}\\cdot \\left(-\\frac{91}{60}-\\frac{13}{3}x\\right) = \\frac{13}{8} \\cdot \\left(-\\frac{102}{13}-\\frac{120}{13}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n\\frac{15}{13}\\cdot \\left(-\\frac{91}{60}-\\frac{13}{3}x\\right) & = \\frac{13}{8} \\cdot \\left(-\\frac{102}{13}-\\frac{120}{13}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n-\\frac{7}{4}-5x & = -\\frac{51}{4}-15x && |+\\frac{7}{4}\\\\\n-5x & = -11-15x && |+15x\\\\\n10x & = -11 && |: 10\\\\\nx & = -\\frac{11}{10}\n\\end{align*}\n$$"], ["$\\displaystyle -\\frac{3}{5}\\cdot \\left(\\frac{65}{9}-25x\\right) = -\\frac{11}{7} \\cdot \\left(\\frac{133}{33}-\\frac{84}{11}x\\right)$", "$$\\begin{align*}\n-\\frac{3}{5}\\cdot \\left(\\frac{65}{9}-25x\\right) & = -\\frac{11}{7} \\cdot \\left(\\frac{133}{33}-\\frac{84}{11}x\\right) && |\\text{TU}\\\\\n-\\frac{13}{3}+15x & = -\\frac{19}{3}+12x && |+\\frac{13}{3}\\\\\n15x & = -2+12x && |-12x\\\\\n3x & = -2 && |: 3\\\\\nx & = -\\frac{2}{3}\n\\end{align*}\n$$"]], | |
| " <hr> ", " <hr> "); | |
| </JS> | |
| <HTML> | |
| <div id="exolinGleich2"></div> | |
| |
| </HTML> | Erklären Sie, warum eine Funktion 3. Grades |
| <hidden Lösungen> | * a) mindestens eine Nullstelle haben muss. |
| <HTML> | * b) entweder genau 2 oder keine lokale Extrema hat. |
| <div id="sollinGleich2"></div> | * c) immer genau eine Wendestelle hat. |
| </HTML> | |
| | <hidden Lösungsvorschlag> |
| | * a) Für betragsmässig genug grosse $x$ dominiert der Term $ax^3$ alle anderen Terme der Funktion. D.h. für $x \to \infty$ hat $f(x)$ das gleiche Vorzeichen wie $a$, für $x \to -\infty$ das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Funktion ist stetig, d.h. der Funktionsgraph macht keine Sprünge und hat keine Lücken. Da der Funktionsgraph für sehr kleine $x$ und sehr grosse $x$ einmal oberhalb und einmal unterhalb der $x$-Achse verläuft, muss er die $x$-Achse dazwischen mindestens einmal schneiden, d.h. die Funktion muss eine Nullstelle haben. |
| | * b) Die Ableitung ist eine quadratische Funktion, die genau 2, eine oder keine Nullstellen hat. |
| | * Keine Nullstellen, heisst keine Extrema. |
| | * Genau eine Nullstelle heisst, die Ableitung hat die Form $f'(x)=u\cdot(x-v)^2$, mit $v$ als «doppelter» Nullstelle (mit $u\neq 0$). Damit ist die zweite Ableitung $f''(x)=2u \cdot (x-v)$ und damit ist $f''(v)=0$ und $v$ ein Wendestellenkandidat. Weiter ist $f'''(x)=2u \neq 0$, womit wir eine echte Wendestelle mit horizontaler Tangente haben, also ein Sattelpunkt und somit keine Extremalstelle. |
| | * Zwei Nullstellen heisst, die Ableitung hat als quadratische Funktion die Form $f'(x)=u\cdot(x-v)(x-w) = u(x^2-(v+w)x+vw)$ mit $v \neq w$ den Nullstellen und $u \neq 0$. Die zweite Ableitung ist $f''(x) = u \cdot (2x-(v+w))$ und damit $f''(v)=u(2v-v-w) = u(w-v) \neq 0$ und $f''(w)=u(2w-v-w)=u(v-w) \neq 0$. Damit sind $v$ und $w$ zwei «echte» Extremalstellen von $f$. |
| | * c) Die zweite Ableitung ist $f''(x)= 6ax+2b$ und hat genau eine Nullstelle, nämlich $-\frac{b}{3a}$, die immer existiert (wegen $a\neq 0$). Die dritte Ableitung ist konstant $f'''(x)=6a \neq 0$, womit eine Wendestelle vorliegt. |
| </hidden> | </hidden> |
| | ==== 6. Mai 2024 bis 10. Mai 2024 ==== |
| ==== 20. September 2021 bis 24. September 2021 ==== | === Dienstag 7. Mai 2024 === |
| === Donnerstag 23. September 2021 === | Mit Hilfe des TR, berechnen Sie die Nullstellen, Extremalstellenkandidaten und Wendestellenkandidaten. |
| Ausrechnen, Resultat als gekürzter Bruch:<JS>miniAufgabe("#exonumbercrunch2","#solnumbercrunch2", | Machen Sie eine Tabelle mit diesen $x$-Werten sowie die zugehörigen $y$-Werte und Steigungen. |
| [["$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{9}{5}}{6}+\\frac{-2}{\\frac{10}{3}}}{\\frac{-\\frac{11}{3}}{-7}+\\frac{\\frac{8}{7}}{8}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{9}{5}}{6}+\\frac{-2}{\\frac{10}{3}}}{\\frac{-\\frac{11}{3}}{-7}+\\frac{\\frac{8}{7}}{8}} = \\frac{\\frac{9}{5}\\cdot\\frac{1}{6}+-2\\cdot\\frac{3}{10}}{-\\frac{11}{3}\\cdot-\\frac{1}{7}+\\frac{8}{7}\\cdot\\frac{1}{8}} = \\frac{\\frac{3}{10}-\\frac{3}{5}}{\\frac{11}{21}+\\frac{1}{7}} = \\frac{\\frac{3}{10}-\\frac{6}{10}{\\frac{11}{21}+\\frac{3}{21}} = \\frac{-\\frac{3}{10}}{\\frac{2}{3}} = -\\frac{3}{10} \\cdot \\frac{3}{2} = -\\frac{9}{20}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-2}{\\frac{26}{19}}+\\frac{2}{\\frac{26}{17}}}{\\frac{-\\frac{16}{13}}{4}+\\frac{7}{\\frac{13}{2}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-2}{\\frac{26}{19}}+\\frac{2}{\\frac{26}{17}}}{\\frac{-\\frac{16}{13}}{4}+\\frac{7}{\\frac{13}{2}}} = \\frac{-2\\cdot\\frac{19}{26}+2\\cdot\\frac{17}{26}}{-\\frac{16}{13}\\cdot\\frac{1}{4}+7\\cdot\\frac{2}{13}} = \\frac{-\\frac{19}{13}+\\frac{17}{13}}{-\\frac{4}{13}+\\frac{14}{13}} = \\frac{-\\frac{19}{13}+\\frac{17}{13}{-\\frac{4}{13}+\\frac{14}{13}} = \\frac{-\\frac{2}{13}}{\\frac{10}{13}} = -\\frac{2}{13} \\cdot \\frac{13}{10} = -\\frac{1}{5}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-3}{-\\frac{19}{4}}+\\frac{-\\frac{12}{19}}{3}}{\\frac{-8}{-\\frac{15}{2}}+\\frac{-\\frac{18}{5}}{9}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-3}{-\\frac{19}{4}}+\\frac{-\\frac{12}{19}}{3}}{\\frac{-8}{-\\frac{15}{2}}+\\frac{-\\frac{18}{5}}{9}} = \\frac{-3\\cdot-\\frac{4}{19}+-\\frac{12}{19}\\cdot\\frac{1}{3}}{-8\\cdot-\\frac{2}{15}+-\\frac{18}{5}\\cdot\\frac{1}{9}} = \\frac{\\frac{12}{19}-\\frac{4}{19}}{\\frac{16}{15}-\\frac{2}{5}} = \\frac{\\frac{12}{19}-\\frac{4}{19}{\\frac{16}{15}-\\frac{6}{15}} = \\frac{\\frac{8}{19}}{\\frac{2}{3}} = \\frac{8}{19} \\cdot \\frac{3}{2} = \\frac{12}{19}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{18}{17}}{-6}+\\frac{-\\frac{14}{17}}{-7}}{\\frac{\\frac{5}{2}}{6}+\\frac{2}{\\frac{8}{5}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{18}{17}}{-6}+\\frac{-\\frac{14}{17}}{-7}}{\\frac{\\frac{5}{2}}{6}+\\frac{2}{\\frac{8}{5}}} = \\frac{-\\frac{18}{17}\\cdot-\\frac{1}{6}+-\\frac{14}{17}\\cdot-\\frac{1}{7}}{\\frac{5}{2}\\cdot\\frac{1}{6}+2\\cdot\\frac{5}{8}} = \\frac{\\frac{3}{17}+\\frac{2}{17}}{\\frac{5}{12}+\\frac{5}{4}} = \\frac{\\frac{3}{17}+\\frac{2}{17}{\\frac{5}{12}+\\frac{15}{12}} = \\frac{\\frac{5}{17}}{\\frac{5}{3}} = \\frac{5}{17} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{3}{17}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{11}{8}}{-3}+\\frac{\\frac{3}{4}}{6}}{\\frac{\\frac{3}{4}}{5}+\\frac{-\\frac{2}{5}}{-4}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{11}{8}}{-3}+\\frac{\\frac{3}{4}}{6}}{\\frac{\\frac{3}{4}}{5}+\\frac{-\\frac{2}{5}}{-4}} = \\frac{\\frac{11}{8}\\cdot-\\frac{1}{3}+\\frac{3}{4}\\cdot\\frac{1}{6}}{\\frac{3}{4}\\cdot\\frac{1}{5}+-\\frac{2}{5}\\cdot-\\frac{1}{4}} = \\frac{-\\frac{11}{24}+\\frac{1}{8}}{\\frac{3}{20}+\\frac{1}{10}} = \\frac{-\\frac{11}{24}+\\frac{3}{24}{\\frac{3}{20}+\\frac{2}{20}} = \\frac{-\\frac{1}{3}}{\\frac{1}{4}} = -\\frac{1}{3} \\cdot 4 = -\\frac{4}{3}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{19}{4}}{4}+\\frac{\\frac{13}{8}}{2}}{\\frac{\\frac{15}{8}}{-6}+\\frac{-\\frac{3}{2}}{3}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{19}{4}}{4}+\\frac{\\frac{13}{8}}{2}}{\\frac{\\frac{15}{8}}{-6}+\\frac{-\\frac{3}{2}}{3}} = \\frac{-\\frac{19}{4}\\cdot\\frac{1}{4}+\\frac{13}{8}\\cdot\\frac{1}{2}}{\\frac{15}{8}\\cdot-\\frac{1}{6}+-\\frac{3}{2}\\cdot\\frac{1}{3}} = \\frac{-\\frac{19}{16}+\\frac{13}{16}}{-\\frac{5}{16}-\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{19}{16}+\\frac{13}{16}{-\\frac{5}{16}-\\frac{8}{16}} = \\frac{-\\frac{3}{8}}{-\\frac{13}{16}} = -\\frac{3}{8} \\cdot -\\frac{16}{13} = \\frac{6}{13}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{7}{-\\frac{9}{2}}+\\frac{-\\frac{7}{3}}{-3}}{\\frac{\\frac{10}{3}}{-6}+\\frac{-4}{\\frac{9}{2}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{7}{-\\frac{9}{2}}+\\frac{-\\frac{7}{3}}{-3}}{\\frac{\\frac{10}{3}}{-6}+\\frac{-4}{\\frac{9}{2}}} = \\frac{7\\cdot-\\frac{2}{9}+-\\frac{7}{3}\\cdot-\\frac{1}{3}}{\\frac{10}{3}\\cdot-\\frac{1}{6}+-4\\cdot\\frac{2}{9}} = \\frac{-\\frac{14}{9}+\\frac{7}{9}}{-\\frac{5}{9}-\\frac{8}{9}} = \\frac{-\\frac{14}{9}+\\frac{7}{9}{-\\frac{5}{9}-\\frac{8}{9}} = \\frac{-\\frac{7}{9}}{-\\frac{13}{9}} = -\\frac{7}{9} \\cdot -\\frac{9}{13} = \\frac{7}{13}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{14}{3}}{6}+\\frac{\\frac{2}{3}}{4}}{\\frac{-2}{\\frac{12}{17}}+\\frac{2}{\\frac{4}{5}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{14}{3}}{6}+\\frac{\\frac{2}{3}}{4}}{\\frac{-2}{\\frac{12}{17}}+\\frac{2}{\\frac{4}{5}}} = \\frac{-\\frac{14}{3}\\cdot\\frac{1}{6}+\\frac{2}{3}\\cdot\\frac{1}{4}}{-2\\cdot\\frac{17}{12}+2\\cdot\\frac{5}{4}} = \\frac{-\\frac{7}{9}+\\frac{1}{6}}{-\\frac{17}{6}+\\frac{5}{2}} = \\frac{-\\frac{14}{18}+\\frac{3}{18}{-\\frac{17}{6}+\\frac{15}{6}} = \\frac{-\\frac{11}{18}}{-\\frac{1}{3}} = -\\frac{11}{18} \\cdot -3 = \\frac{11}{6}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{34}{19}}{-2}+\\frac{-3}{\\frac{19}{5}}}{\\frac{\\frac{8}{5}}{6}+\\frac{\\frac{18}{5}}{-9}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{34}{19}}{-2}+\\frac{-3}{\\frac{19}{5}}}{\\frac{\\frac{8}{5}}{6}+\\frac{\\frac{18}{5}}{-9}} = \\frac{-\\frac{34}{19}\\cdot-\\frac{1}{2}+-3\\cdot\\frac{5}{19}}{\\frac{8}{5}\\cdot\\frac{1}{6}+\\frac{18}{5}\\cdot-\\frac{1}{9}} = \\frac{\\frac{17}{19}-\\frac{15}{19}}{\\frac{4}{15}-\\frac{2}{5}} = \\frac{\\frac{17}{19}-\\frac{15}{19}{\\frac{4}{15}-\\frac{6}{15}} = \\frac{\\frac{2}{19}}{-\\frac{2}{15}} = \\frac{2}{19} \\cdot -\\frac{15}{2} = -\\frac{15}{19}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-4}{-\\frac{18}{7}}+\\frac{\\frac{16}{3}}{-6}}{\\frac{-2}{-\\frac{6}{5}}+\\frac{-3}{-\\frac{9}{2}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-4}{-\\frac{18}{7}}+\\frac{\\frac{16}{3}}{-6}}{\\frac{-2}{-\\frac{6}{5}}+\\frac{-3}{-\\frac{9}{2}}} = \\frac{-4\\cdot-\\frac{7}{18}+\\frac{16}{3}\\cdot-\\frac{1}{6}}{-2\\cdot-\\frac{5}{6}+-3\\cdot-\\frac{2}{9}} = \\frac{\\frac{14}{9}-\\frac{8}{9}}{\\frac{5}{3}+\\frac{2}{3}} = \\frac{\\frac{14}{9}-\\frac{8}{9}{\\frac{5}{3}+\\frac{2}{3}} = \\frac{\\frac{2}{3}}{\\frac{7}{3}} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{3}{7} = \\frac{2}{7}$"]], | Für Extremalstellenkandidaten notieren Sie zusätzlich das Vorzeichen der zweiten Ableitung. |
| " <hr> ", " <hr> "); | Skizzieren Sie dann mit diesen Informationen den Graphen. |
| | <JS>miniAufgabe("#exokurvendiskussionMitTRquartic","#solkurvendiskussionMitTRquartic", |
| | [["$f(x) = \\frac{1}{23}\\left(3x^{4}+4x^{3}-36x^{2}+0+94\\right)$", "<table style='border: 1px solid black;'><tr><td> $x$ </td><td> -3.88 </td><td> -3.00 </td><td> -1.78 </td><td> -1.65 </td><td> 0.00 </td><td> 1.11 </td><td> 2.00 </td></tr>\n<tr><td>$f(x)$ </td><td> 0.00 </td><td> -4.13 </td><td> -.57 </td><td> .00 </td><td> 4.08 </td><td> 2.57 </td><td> 1.30 </td></tr>\n<tr><td>$f'(x)$ </td><td> -10.58 </td><td> 0.00 </td><td> 4.28 </td><td> 4.24 </td><td> 0.00 </td><td> -2.11 </td><td> 0.00 </td></tr>\n<tr><td>$f''(x)$ </td><td> 16.46 </td><td> 7.82 </td><td> .00 </td><td> -.57 </td><td> -3.13 </td><td> .00 </td><td> 5.21 </td></tr></table>\n\n<br><svg height=\"447.74667\" viewBox=\"0 0 302.69333 447.74667\" width=\"302.69333\" xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\"><g transform=\"matrix(.13333333 0 0 -.13333333 0 447.74667)\"><path d=\"m65.4844 65.8867v3149.3033\" 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