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lehrkraefte:blc:miniaufgaben [2021/09/20 08:55] Ivo Blöchliger [27. September 2021 bis 1. Oktober 2021] |
lehrkraefte:blc:miniaufgaben [2024/04/29 17:50] Ivo Blöchliger |
| ~~NOTOC~~ |
===== Miniaufgaben ===== | ===== Miniaufgaben ===== |
* Auf jede Lektion (ausser Prüfungslektionen) ist eine Miniaufgabe vorzubereiten. Am Anfang der Lektion wird eine Münze geworfen. Damit der Münzwurf gültig ist, muss sich die Münze mindestens 10 mal in der Luft drehen. Zeigt die Münze **Zahl**, wird eine Aufgabe in Form eines Kurztests geprüft. | * Auf jede Lektion (ausser Prüfungslektionen) ist eine Miniaufgabe vorzubereiten. Am Anfang der Lektion wird ein Würfel geworfen. Zeigt der Würfel eine Vier, Fünf oder Sechs, wird eine Aufgabe in Form eines Kurztests geprüft. |
* Jeder Schüler hat 3 Joker für das 1. Semester. Bei Meldung per e-mail oder Threema (HX3WS583) bis spätestens 12 h vor Lektionsbeginn wird der Schüler vom eventuellen Kurztest ersatzlos dispensiert. Zeigt die Münze Kopf, ist der Joker aber auch aufgebraucht! | * Jeder Schüler hat 5 Joker für das ganze Jahr. Diese werden über die [[lehrkraefte:blc:informatik:glf22:crypto:joker-chain|JokerChain]] verwaltet und können bis 23:59 am Vortag eingelöst werden. Bei Einsatz eines Jokers wird der Schüler vom eventuellen Kurztest ersatzlos dispensiert. Zeigt der Würfel 1-3, ist der Joker aber auch aufgebraucht! |
| //Beachten Sie, dass via andere Kanäle keine Joker mehr eingelöst werden können. Bei Problemen werde ich Sie aber nach Möglichkeit unterstützen (mit genügend zeitlichem Vorlauf).// |
* Der Minikurztest ist auf mitgebrachtem **A4-Papier im Hochformat** zu lösen. Ausgefranste Ränder, zerknittertes Papier, abgerissene Ecken und Übergrössen führen zu **Abzug**. | * Der Minikurztest ist auf mitgebrachtem **A4-Papier im Hochformat** zu lösen. Ausgefranste Ränder, zerknittertes Papier, abgerissene Ecken und Übergrössen führen zu **Abzug**. |
* Der Name ist **oben rechts** zu notieren. | * Der Name ist **oben rechts** zu notieren. |
* Die Prüfungsblätter können mehrmals verwendet werden, die Aufgaben sind aber sauber abzugrenzen. | * Die Prüfungsblätter können mehrmals verwendet werden, die Aufgaben sind aber sauber abzugrenzen. |
* Der Durchschnitt aller Miniaufgaben zählt als eine volle 4. Prüfungsnote. | * Schreiben Sie nicht mit Rot oder einer schlecht lesbaren Farbe, wie z.B. gelb. (Ja, ja, jede Regel hat eine Geschichte). |
| * Der Durchschnitt aller Miniaufgaben zählt als eine volle 6. Prüfungsnote. |
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==== 20. September 2021 bis 24. September 2021 ==== | ==== 29. April 2024 bis 3. Mai 2024 ==== |
=== Donnerstag 23. September 2021 === | === Dienstag 30. April 2024 === |
Ausrechnen, Resultat als gekürzter Bruch:<JS>miniAufgabe("#exonumbercrunch2","#solnumbercrunch2", | Die folgenden Funktionen haben genau zwei Wendestellenkandidaten. Bestimmen Sie diese.<JS>miniAufgabe("#exowende4tengrades","#solwende4tengrades", |
[["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{13}{2}}{8}+\\frac{-\\frac{7}{8}}{7}}{\\frac{-\\frac{19}{2}}{6}+\\frac{\\frac{5}{2}}{3}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-\\frac{13}{2}}{8}+\\frac{-\\frac{7}{8}}{7}}{\\frac{-\\frac{19}{2}}{6}+\\frac{\\frac{5}{2}}{3}} = \\frac{-\\frac{13}{2}\\cdot\\frac{1}{8}+-\\frac{7}{8}\\cdot\\frac{1}{7}}{-\\frac{19}{2}\\cdot\\frac{1}{6}+\\frac{5}{2}\\cdot\\frac{1}{3}} = \\frac{-\\frac{13}{16}-\\frac{1}{8}}{-\\frac{19}{12}+\\frac{5}{6}} = \\frac{-\\frac{13}{16}-\\frac{2}{16}}{-\\frac{19}{12}+\\frac{10}{12}} = \\frac{-\\frac{15}{16}}{-\\frac{3}{4}} = -\\frac{15}{16} \\cdot -\\frac{4}{3} = \\frac{5}{4}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{16}{5}}{4}+\\frac{-\\frac{8}{3}}{8}}{\\frac{\\frac{14}{3}}{-10}+\\frac{\\frac{7}{3}}{-7}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{16}{5}}{4}+\\frac{-\\frac{8}{3}}{8}}{\\frac{\\frac{14}{3}}{-10}+\\frac{\\frac{7}{3}}{-7}} = \\frac{\\frac{16}{5}\\cdot\\frac{1}{4}+-\\frac{8}{3}\\cdot\\frac{1}{8}}{\\frac{14}{3}\\cdot-\\frac{1}{10}+\\frac{7}{3}\\cdot-\\frac{1}{7}} = \\frac{\\frac{4}{5}-\\frac{1}{3}}{-\\frac{7}{15}-\\frac{1}{3}} = \\frac{\\frac{12}{15}-\\frac{5}{15}}{-\\frac{7}{15}-\\frac{5}{15}} = \\frac{\\frac{7}{15}}{-\\frac{4}{5}} = \\frac{7}{15} \\cdot -\\frac{5}{4} = -\\frac{7}{12}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-2}{-\\frac{5}{4}}+\\frac{-9}{\\frac{15}{4}}}{\\frac{-9}{\\frac{5}{2}}+\\frac{-6}{-\\frac{15}{2}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-2}{-\\frac{5}{4}}+\\frac{-9}{\\frac{15}{4}}}{\\frac{-9}{\\frac{5}{2}}+\\frac{-6}{-\\frac{15}{2}}} = \\frac{-2\\cdot-\\frac{4}{5}+-9\\cdot\\frac{4}{15}}{-9\\cdot\\frac{2}{5}+-6\\cdot-\\frac{2}{15}} = \\frac{\\frac{8}{5}-\\frac{12}{5}}{-\\frac{18}{5}+\\frac{4}{5}} = \\frac{\\frac{8}{5}-\\frac{12}{5}}{-\\frac{18}{5}+\\frac{4}{5}} = \\frac{-\\frac{4}{5}}{-\\frac{14}{5}} = -\\frac{4}{5} \\cdot -\\frac{5}{14} = \\frac{2}{7}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{11}{2}}{5}+\\frac{-\\frac{9}{2}}{9}}{\\frac{-\\frac{19}{2}}{7}+\\frac{-\\frac{3}{2}}{-3}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{11}{2}}{5}+\\frac{-\\frac{9}{2}}{9}}{\\frac{-\\frac{19}{2}}{7}+\\frac{-\\frac{3}{2}}{-3}} = \\frac{\\frac{11}{2}\\cdot\\frac{1}{5}+-\\frac{9}{2}\\cdot\\frac{1}{9}}{-\\frac{19}{2}\\cdot\\frac{1}{7}+-\\frac{3}{2}\\cdot-\\frac{1}{3}} = \\frac{\\frac{11}{10}-\\frac{1}{2}}{-\\frac{19}{14}+\\frac{1}{2}} = \\frac{\\frac{11}{10}-\\frac{5}{10}}{-\\frac{19}{14}+\\frac{7}{14}} = \\frac{\\frac{3}{5}}{-\\frac{6}{7}} = \\frac{3}{5} \\cdot -\\frac{7}{6} = -\\frac{7}{10}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{8}{3}}{-4}+\\frac{-\\frac{4}{3}}{3}}{\\frac{-\\frac{8}{3}}{3}+\\frac{\\frac{16}{3}}{-8}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{8}{3}}{-4}+\\frac{-\\frac{4}{3}}{3}}{\\frac{-\\frac{8}{3}}{3}+\\frac{\\frac{16}{3}}{-8}} = \\frac{\\frac{8}{3}\\cdot-\\frac{1}{4}+-\\frac{4}{3}\\cdot\\frac{1}{3}}{-\\frac{8}{3}\\cdot\\frac{1}{3}+\\frac{16}{3}\\cdot-\\frac{1}{8}} = \\frac{-\\frac{2}{3}-\\frac{4}{9}}{-\\frac{8}{9}-\\frac{2}{3}} = \\frac{-\\frac{6}{9}-\\frac{4}{9}}{-\\frac{8}{9}-\\frac{6}{9}} = \\frac{-\\frac{10}{9}}{-\\frac{14}{9}} = -\\frac{10}{9} \\cdot -\\frac{9}{14} = \\frac{5}{7}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-5}{\\frac{9}{2}}+\\frac{-\\frac{11}{9}}{-2}}{\\frac{-\\frac{13}{5}}{-2}+\\frac{\\frac{5}{2}}{-5}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-5}{\\frac{9}{2}}+\\frac{-\\frac{11}{9}}{-2}}{\\frac{-\\frac{13}{5}}{-2}+\\frac{\\frac{5}{2}}{-5}} = \\frac{-5\\cdot\\frac{2}{9}+-\\frac{11}{9}\\cdot-\\frac{1}{2}}{-\\frac{13}{5}\\cdot-\\frac{1}{2}+\\frac{5}{2}\\cdot-\\frac{1}{5}} = \\frac{-\\frac{10}{9}+\\frac{11}{18}}{\\frac{13}{10}-\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{20}{18}+\\frac{11}{18}}{\\frac{13}{10}-\\frac{5}{10}} = \\frac{-\\frac{1}{2}}{\\frac{4}{5}} = -\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{5}{4} = -\\frac{5}{8}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-6}{-\\frac{13}{2}}+\\frac{-\\frac{18}{13}}{2}}{\\frac{-\\frac{14}{13}}{-2}+\\frac{-2}{\\frac{13}{8}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-6}{-\\frac{13}{2}}+\\frac{-\\frac{18}{13}}{2}}{\\frac{-\\frac{14}{13}}{-2}+\\frac{-2}{\\frac{13}{8}}} = \\frac{-6\\cdot-\\frac{2}{13}+-\\frac{18}{13}\\cdot\\frac{1}{2}}{-\\frac{14}{13}\\cdot-\\frac{1}{2}+-2\\cdot\\frac{8}{13}} = \\frac{\\frac{12}{13}-\\frac{9}{13}}{\\frac{7}{13}-\\frac{16}{13}} = \\frac{\\frac{12}{13}-\\frac{9}{13}}{\\frac{7}{13}-\\frac{16}{13}} = \\frac{\\frac{3}{13}}{-\\frac{9}{13}} = \\frac{3}{13} \\cdot -\\frac{13}{9} = -\\frac{1}{3}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{19}{10}}{2}+\\frac{-\\frac{5}{2}}{5}}{\\frac{-\\frac{19}{2}}{10}+\\frac{\\frac{8}{5}}{8}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{19}{10}}{2}+\\frac{-\\frac{5}{2}}{5}}{\\frac{-\\frac{19}{2}}{10}+\\frac{\\frac{8}{5}}{8}} = \\frac{\\frac{19}{10}\\cdot\\frac{1}{2}+-\\frac{5}{2}\\cdot\\frac{1}{5}}{-\\frac{19}{2}\\cdot\\frac{1}{10}+\\frac{8}{5}\\cdot\\frac{1}{8}} = \\frac{\\frac{19}{20}-\\frac{1}{2}}{-\\frac{19}{20}+\\frac{1}{5}} = \\frac{\\frac{19}{20}-\\frac{10}{20}}{-\\frac{19}{20}+\\frac{4}{20}} = \\frac{\\frac{9}{20}}{-\\frac{3}{4}} = \\frac{9}{20} \\cdot -\\frac{4}{3} = -\\frac{3}{5}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{-4}{-\\frac{12}{7}}+\\frac{7}{\\frac{21}{4}}}{\\frac{\\frac{13}{3}}{-2}+\\frac{\\frac{7}{2}}{7}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{-4}{-\\frac{12}{7}}+\\frac{7}{\\frac{21}{4}}}{\\frac{\\frac{13}{3}}{-2}+\\frac{\\frac{7}{2}}{7}} = \\frac{-4\\cdot-\\frac{7}{12}+7\\cdot\\frac{4}{21}}{\\frac{13}{3}\\cdot-\\frac{1}{2}+\\frac{7}{2}\\cdot\\frac{1}{7}} = \\frac{\\frac{7}{3}+\\frac{4}{3}}{-\\frac{13}{6}+\\frac{1}{2}} = \\frac{\\frac{7}{3}+\\frac{4}{3}}{-\\frac{13}{6}+\\frac{3}{6}} = \\frac{\\frac{11}{3}}{-\\frac{5}{3}} = \\frac{11}{3} \\cdot -\\frac{3}{5} = -\\frac{11}{5}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{11}{7}}{-2}+\\frac{-2}{-\\frac{7}{4}}}{\\frac{-\\frac{5}{4}}{-3}+\\frac{-\\frac{5}{3}}{-2}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{\\frac{11}{7}}{-2}+\\frac{-2}{-\\frac{7}{4}}}{\\frac{-\\frac{5}{4}}{-3}+\\frac{-\\frac{5}{3}}{-2}} = \\frac{\\frac{11}{7}\\cdot-\\frac{1}{2}+-2\\cdot-\\frac{4}{7}}{-\\frac{5}{4}\\cdot-\\frac{1}{3}+-\\frac{5}{3}\\cdot-\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{11}{14}+\\frac{8}{7}}{\\frac{5}{12}+\\frac{5}{6}} = \\frac{-\\frac{11}{14}+\\frac{16}{14}}{\\frac{5}{12}+\\frac{10}{12}} = \\frac{\\frac{5}{14}}{\\frac{5}{4}} = \\frac{5}{14} \\cdot \\frac{4}{5} = \\frac{2}{7}$"]], | [["$f(x)=x^{4}+4x^{3}-90x^{2}+2x-2$", "$f'(x)=4x^{3}+12x^{2}-180x+2$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}+24x-180 = 12\\left(x^{2}+2x-15\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+2x-15=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -15): $\\left(x+5\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=3$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-15}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=3$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}+2x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x+2$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}+2x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x+2$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-4x^{3}-48x^{2}+3x+3$", "$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}-96x+3$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-24x-96 = 12\\left(x^{2}-2x-8\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-2x-8=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-72x^{2}-2x-2$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-144x-2$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-144 = 12\\left(x^{2}-x-12\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-12=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -12): $\\left(x+3\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-3$, $x_2=4$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-12}}{2}$ und daraus $x_1=-3$, $x_2=4$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}+6x^{3}-60x^{2}+3x-5$", "$f'(x)=4x^{3}+18x^{2}-120x+3$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}+36x-120 = 12\\left(x^{2}+3x-10\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+3x-10=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe 3, Produkt -10): $\\left(x+5\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=2$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=2$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-36x^{2}-5x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-72x-5$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-72 = 12\\left(x^{2}-x-6\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-6=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -6): $\\left(x+2\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=3$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-6}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=3$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}-3x-2$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x-3$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}+4x^{3}-48x^{2}+5x+5$", "$f'(x)=4x^{3}+12x^{2}-96x+5$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}+24x-96 = 12\\left(x^{2}+2x-8\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -8): $\\left(x+4\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=2$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=2$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"], ["$f(x)=x^{4}-6x^{3}-60x^{2}-5x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-18x^{2}-120x-5$<br>\n$f''(x) = 12x^{2}-36x-120 = 12\\left(x^{2}-3x-10\\right)$.<br>\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-3x-10=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:<br>\nFaktorisiert (Summe -3, Produkt -10): $\\left(x+2\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=5$.<br>\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=5$.<br>\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).<br>\n"]], |
" <hr> ", " <hr> "); | " <hr> "); |
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<div id="solnumbercrunch2"></div> | <div id="solwende4tengrades"></div> |
| <div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby extremalstellen-von-polynom-3ten-grades.rb 2</div> |
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</hidden> | </hidden> |
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=== Freitag 24. September 2021 === | |
Primfaktorzerlegung: Schreiben Sie als Produkt von Potenzen von Primzahlen, nach aufsteigender Basis geordnet.<JS>miniAufgabe("#exoprimfaktorzerlegung","#solprimfaktorzerlegung", | === Mittwoch 1. Mai 2024 === |
[["$84 \\cdot 2310 \\cdot 1100$", "$84 \\cdot 2310 \\cdot 1100 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 7 \\cdot 10 \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{2} \\cdot 11 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 5) \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{2} \\cdot 11 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{2} \\cdot 5^{2} \\cdot 11 \\quad = \\quad 2^{5} \\cdot 3^{2} \\cdot 7^{2} \\cdot 11^{2}$"], ["$735 \\cdot 231000 \\cdot 2900$", "$735 \\cdot 231000 \\cdot 2900 \\quad = \\quad 3 \\cdot 5 \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 7 \\cdot 10^{3} \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{2} \\cdot 29 \\quad = \\quad 3 \\cdot 5 \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 5)^{3} \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{2} \\cdot 29 \\quad = \\quad 3 \\cdot 5 \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{3} \\cdot 3 \\cdot 5^{3} \\cdot 7 \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{2} \\cdot 5^{2} \\cdot 29 \\quad = \\quad 2^{5} \\cdot 3^{2} \\cdot 5^{6} \\cdot 7^{3} \\cdot 11 \\cdot 29$"], ["$315 \\cdot 1650 \\cdot 290000$", "$315 \\cdot 1650 \\cdot 290000 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 5 \\cdot 10 \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{4} \\cdot 29 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 5 \\cdot (2 \\cdot 5) \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{4} \\cdot 29 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2 \\cdot 3 \\cdot 5^{2} \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{4} \\cdot 5^{4} \\cdot 29 \\quad = \\quad 2^{5} \\cdot 3^{3} \\cdot 5^{7} \\cdot 7 \\cdot 11 \\cdot 29$"], ["$36 \\cdot 105000 \\cdot 130000$", "$36 \\cdot 105000 \\cdot 130000 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot 10^{3} \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{4} \\cdot 13 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 5)^{3} \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{4} \\cdot 13 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{3} \\cdot 3 \\cdot 5^{4} \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{4} \\cdot 5^{4} \\cdot 13 \\quad = \\quad 2^{9} \\cdot 3^{3} \\cdot 5^{8} \\cdot 7 \\cdot 13$"], ["$1225 \\cdot 4200 \\cdot 23000$", "$1225 \\cdot 4200 \\cdot 23000 \\quad = \\quad 5^{2} \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 2 \\cdot 3 \\cdot 7 \\cdot 10^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{3} \\cdot 23 \\quad = \\quad 5^{2} \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 2 \\cdot 3 \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 5)^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{3} \\cdot 23 \\quad = \\quad 5^{2} \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{3} \\cdot 3 \\cdot 5^{2} \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{3} \\cdot 5^{3} \\cdot 23 \\quad = \\quad 2^{6} \\cdot 3 \\cdot 5^{7} \\cdot 7^{3} \\cdot 23$"], ["$315 \\cdot 6300 \\cdot 1700$", "$315 \\cdot 6300 \\cdot 1700 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3^{2} \\cdot 7 \\cdot 10^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{2} \\cdot 17 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3^{2} \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 5)^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{2} \\cdot 17 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{2} \\cdot 3^{2} \\cdot 5^{2} \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{2} \\cdot 5^{2} \\cdot 17 \\quad = \\quad 2^{4} \\cdot 3^{4} \\cdot 5^{5} \\cdot 7^{2} \\cdot 17$"], ["$315 \\cdot 23100 \\cdot 290000$", "$315 \\cdot 23100 \\cdot 290000 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 7 \\cdot 10^{2} \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{4} \\cdot 29 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 5)^{2} \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{4} \\cdot 29 \\quad = \\quad 3^{2} \\cdot 5 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 5^{2} \\cdot 7 \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{4} \\cdot 5^{4} \\cdot 29 \\quad = \\quad 2^{6} \\cdot 3^{3} \\cdot 5^{7} \\cdot 7^{2} \\cdot 11 \\cdot 29$"], ["$84 \\cdot 16500 \\cdot 1100$", "$84 \\cdot 16500 \\cdot 1100 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 5 \\cdot 10^{2} \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{2} \\cdot 11 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 5 \\cdot (2 \\cdot 5)^{2} \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{2} \\cdot 11 \\quad = \\quad 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 5^{3} \\cdot 11 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{2} \\cdot 5^{2} \\cdot 11 \\quad = \\quad 2^{6} \\cdot 3^{2} \\cdot 5^{5} \\cdot 7 \\cdot 11^{2}$"], ["$126 \\cdot 10500 \\cdot 7000$", "$126 \\cdot 10500 \\cdot 7000 \\quad = \\quad 2 \\cdot 3^{2} \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot 10^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 7 \\cdot 10^{3} \\quad = \\quad 2 \\cdot 3^{2} \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 5)^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 7 \\cdot (2 \\cdot 5)^{3} \\quad = \\quad 2 \\cdot 3^{2} \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{2} \\cdot 3 \\cdot 5^{3} \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{3} \\cdot 5^{3} \\cdot 7 \\quad = \\quad 2^{6} \\cdot 3^{3} \\cdot 5^{6} \\cdot 7^{3}$"], ["$735 \\cdot 4200 \\cdot 13000$", "$735 \\cdot 4200 \\cdot 13000 \\quad = \\quad 3 \\cdot 5 \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 2 \\cdot 3 \\cdot 7 \\cdot 10^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 10^{3} \\cdot 13 \\quad = \\quad 3 \\cdot 5 \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 2 \\cdot 3 \\cdot 7 \\cdot (2 \\cdot 5)^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, (2 \\cdot 5)^{3} \\cdot 13 \\quad = \\quad 3 \\cdot 5 \\cdot 7^{2} \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{3} \\cdot 3 \\cdot 5^{2} \\cdot 7 \\,\\, \\cdot \\,\\, 2^{3} \\cdot 5^{3} \\cdot 13 \\quad = \\quad 2^{6} \\cdot 3^{2} \\cdot 5^{6} \\cdot 7^{3} \\cdot 13$"]], | Eine Funktion 3. Grades hat die Form $f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$ mit $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ und $a\neq 0$. |
" <hr> ", " <hr> "); | |
| Erklären Sie, warum eine Funktion 3. Grades |
| * a) mindestens eine Nullstelle haben muss. |
| * b) entweder genau 2 oder keine lokale Extrema hat. |
| * c) immer genau eine Wendestelle hat. |
| |
| <hidden Lösungsvorschlag> |
| * a) Für betragsmässig genug grosse $x$ dominiert der Term $ax^3$ alle anderen Terme der Funktion. D.h. für $x \to \infty$ hat $f(x)$ das gleiche Vorzeichen wie $a$, für $x \to -\infty$ das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Funktion ist stetig, d.h. der Funktionsgraph macht keine Sprünge und hat keine Lücken. Da der Funktionsgraph für sehr kleine $x$ und sehr grosse $x$ einmal oberhalb und einmal unterhalb der $x$-Achse verläuft, muss er die $x$-Achse dazwischen mindestens einmal schneiden, d.h. die Funktion muss eine Nullstelle haben. |
| * b) Die Ableitung ist eine quadratische Funktion, die genau 2, eine oder keine Nullstellen hat. |
| * Keine Nullstellen, heisst keine Extrema. |
| * Genau eine Nullstelle heisst, die Ableitung hat die Form $f'(x)=u\cdot(x-v)^2$, mit $v$ als «doppelter» Nullstelle (mit $u\neq 0$). Damit ist die zweite Ableitung $f''(x)=2u \cdot (x-v)$ und damit ist $f''(v)=0$ und $v$ ein Wendestellenkandidat. Weiter ist $f'''(x)=2u \neq 0$, womit wir eine echte Wendestelle mit horizontaler Tangente haben, also ein Sattelpunkt und somit keine Extremalstelle. |
| * Zwei Nullstellen heisst, die Ableitung hat als quadratische Funktion die Form $f'(x)=u\cdot(x-v)(x-w) = u(x^2-(v+w)x+vw)$ mit $v \neq w$ den Nullstellen und $u \neq 0$. Die zweite Ableitung ist $f''(x) = u \cdot (2x-(v+w))$ und damit $f''(v)=u(2v-v-w) = u(w-v) \neq 0$ und $f''(w)=u(2w-v-w)=u(v-w) \neq 0$. Damit sind $v$ und $w$ zwei «echte» Extremalstellen von $f$. |
| * c) Die zweite Ableitung ist $f''(x)= 6ax+2b$ und hat genau eine Nullstelle, nämlich $-\frac{b}{3a}$, die immer existiert (wegen $a\neq 0$). Die dritte Ableitung ist konstant $f'''(x)=6a \neq 0$, womit eine Wendestelle vorliegt. |
| </hidden> |
| ==== 6. Mai 2024 bis 10. Mai 2024 ==== |
| === Dienstag 7. Mai 2024 === |
| Mit Hilfe des TR, berechnen Sie die Nullstellen, Extremalstellenkandidaten und Wendestellenkandidaten. |
| Machen Sie eine Tabelle mit diesen $x$-Werten sowie die zugehörigen $y$-Werte und Steigungen. |
| Für Extremalstellenkandidaten notieren Sie zusätzlich das Vorzeichen der zweiten Ableitung. |
| Skizzieren Sie dann mit diesen Informationen den Graphen. |
| <JS>miniAufgabe("#exokurvendiskussionMitTRquartic","#solkurvendiskussionMitTRquartic", |
| [["$f(x) = \\frac{1}{23}\\left(3x^{4}+4x^{3}-36x^{2}+0+94\\right)$", "<table style='border: 1px solid black;'><tr><td> $x$ </td><td> -3.88 </td><td> -3.00 </td><td> -1.78 </td><td> -1.65 </td><td> 0.00 </td><td> 1.11 </td><td> 2.00 </td></tr>\n<tr><td>$f(x)$ </td><td> 0.00 </td><td> -4.13 </td><td> -.57 </td><td> .00 </td><td> 4.08 </td><td> 2.57 </td><td> 1.30 </td></tr>\n<tr><td>$f'(x)$ </td><td> -10.58 </td><td> 0.00 </td><td> 4.28 </td><td> 4.24 </td><td> 0.00 </td><td> -2.11 </td><td> 0.00 </td></tr>\n<tr><td>$f''(x)$ </td><td> 16.46 </td><td> 7.82 </td><td> .00 </td><td> -.57 </td><td> -3.13 </td><td> .00 </td><td> 5.21 </td></tr></table>\n\n<br><svg height=\"447.74667\" viewBox=\"0 0 302.69333 447.74667\" width=\"302.69333\" xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\"><g transform=\"matrix(.13333333 0 0 -.13333333 0 447.74667)\"><path d=\"m65.4844 65.8867v3149.3033\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m380.418 65.8867v3149.3033\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m695.348 65.8867v3149.3033\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m1010.28 65.8867v3149.3033\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m1640.14 65.8867v3149.3033\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m1955.07 65.8867v3149.3033\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 65.8867h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 380.816h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 695.746h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 1010.68h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 1325.61h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 1955.47h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 2270.4h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 2585.33h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 2900.26h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:10\"/><path d=\"m65.4844 3215.19h1889.5856\" style=\"fill:none;stroke:#808080;stroke-width:5; |