Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- lehrkraefte:ks:miniex:ex02 [2018/10/22 11:10]
Simon Knaus
+++ lehrkraefte:ks:miniex:ex02 [2018/10/22 11:20]
Simon Knaus
@@ Line 27: / Line 27: @@
 ==== 3. September 2018 bis 7. September 2018 ====
-=== Montag 3. September 2018 ===
+=== Aufgabe 1 ===
 Schreiben Sie das entsprechende Potenzgesetze auf und beweisen Sie es für natürliche Zahlen:<JS>jQuery(function() {generate(jQuery, "#exopotenzgesetzebeweisen","#solpotenzgesetzebeweisen",
 [["$a^n \\cdot a^m$", "$a^n\\cdot a^m = a^{n+m}$. \n     <b>Beweis</b>: $a^n \\cdot a^m = \n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ Faktoren}} \\cdot\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{m \\text{ Faktoren}} =\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n+m \\text{ Faktoren}} =a^{n+m}$"], ["$(a \\cdot b)^n$", "$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$. <b>Beweis</b>: $(a \\cdot b)^n = \n    \\underbrace{(a \\cdot b) \\cdot (a \\cdot b) \\cdot \\ldots \\cdot (a \\cdot b)}_{n \\text{ Klammern}} =\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ Faktoren}} \\cdot\n    \\underbrace{b\\cdot b \\cdot \\ldots \\cdot b}_{n \\text{ Faktoren}} = a^n \\cdot b^n$."], ["$\\left(a^n\\right)^m$", "$\\left(a^n\\right)^m = a^{n \\cdot m}$.\n    <b>Beweis</b>: $\\left(a^n\\right)^m = \n    \\underbrace{a^n\\cdot a^n \\cdot \\ldots \\cdot a^n}_{m \\text{ Potenzen}} =\n    \\underbrace{\\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right)\\cdot \\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right) \\cdot \\ldots \\cdot \\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right)}_{m \\text{ Klammern}} =\n    a^{n \\cdot m}$."], ["$\\frac{a^n}{a^m}$ für $n \\geq m$", "$\\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$. <b>Beweis</b>\n    $\\frac{a^n}{a^m} = \\frac{ \\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n \\text{ Faktoren}}}{\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{m \\text{ Faktoren}}} \\stackrel{m \\text{ Faktoren kürzen}}{=} \\frac{\\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n-m \\text{ Faktoren}}}{1} = a^{n-m}$."], ["$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n$", "$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\frac{a^n}{b^n}$. <b>Beweis</b>:\n    $\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\underbrace{\\frac{a}{b}\\cdot \\frac{a}{b} \\cdot \\ldots \\cdot \\frac{a}{b}}_{n \\text{ Brüche}} =\n    \\frac{\\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n \\text{ Faktoren}}}{\\underbrace{b\\cdot b \\cdot \\ldots \\cdot b}_{n \\text{ Faktoren}}} =\n    \\frac{a^n}{b^n}$."]],
@@ Line 41: / Line 41: @@
 </HTML>
 </hidden>
-=== Dienstag 7. Februar 2017 ===
+=== Aufgabe 2 ===
 Vereinfachen Sie:
   - $$\left(x^{\frac{6}{5}}: x^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{40}{33}}$$
@@ Line 52: / Line 52: @@
   - $$x^{-\frac{2}{5}}$$
 </hidden>
-=== Freitag 20. Januar 2017 ===
+=== Aufgabe 3 ===
 Berechnen Sie von Hand und schreiben Sie in Normalform:
   - $\left(\frac{2}{3} + \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2$
@@ Line 64: / Line 64: @@
 </hidden>
-=== Dienstag 20. Juni 2017 ===
+=== Aufgabe 4 ===
 Vereinfachen Sie soweit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis ohne negative Exponenten.
@@ Line 75: / Line 75: @@
   - $64$
 oder etwas ausführlicher {{ :lehrkraefte:blc:miniaufgaben-potenzrechnung.pdf |}}
+</hidden>
+=== Auftrag 5 ===
+Ausquadrieren:
+  - $\qquad \left(a + \frac{1}{a}\right)^2$
+  - $\qquad \left(\sqrt{a} + a\right)^2$
+  - $\qquad \left(\sqrt{a} + \frac{1}{2}\cdot b\right)^2$
+<hidden Lösungen>
+  - $\qquad a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$
+  - $\qquad a + 2a\sqrt{a} + a^2$
+  - $\qquad a+b\cdot \sqrt{a} + \frac{1}{4}b^2$
+</hidden>
+=== Aufgabe 6 ===
+Berechnen Sie:
+  - $\left(\frac{4}{3}+2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$
+  - $\left(-\frac{5}{3}-2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$
+  - $\left(-\frac{7}{4}-\frac{3}{2}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$
+<hidden Lösungen>
+  - $ \frac{6}{5}$
+  - $ -\frac{6}{11}$
+  - $ -\frac{5}{13}$
+</hidden>
+=== Aufgabe 7 ===
+Vereinfachen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich:
+  - $$\frac{\sqrt{x^2}\cdot x^{\frac{-1}{3}}}{x^{-2}\cdot x^{0.5}}$$
+  - $$\frac{\sqrt{x^3}\cdot x^{\frac{-1}{4}}}{x^{-3}\cdot x^{0.5}}$$
+  - $$\frac{\sqrt{x^5}\cdot x^{\frac{-1}{3}}}{x^{-4}\cdot x^{0.25}}$$
+<hidden Lösungen>
+Alle Wurzeln in Potenzen verwandeln und Potenzgesetze anwenden
+  - $x^{\frac{13}{6}}$
+  - $x^{\frac{15}{4}}$
+  - $x^{\frac{71}{12}}$
+</hidden>
+=== Aufgabe 8 ===
+Vereinfachen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich und schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten.
+  - $$\sqrt[4]{\frac{\sqrt[9]{x}}{x^2}}$$
+  - $$\sqrt[5]{\frac{\sqrt[4]{x}}{x^3}}$$
+  - $$\sqrt[7]{\frac{\sqrt[5]{x}}{x^5}}$$
+<hidden Lösungen>
+Alle Wurzeln in Potenzen verwandeln und Potenzgesetze anwenden
+  - $x^{-\frac{17}{36}}$
+  - $x^{-\frac{11}{20}}$
+  - $x^{-\frac{24}{35}}$
+</hidden>
+=== Aufgabe 9 ===
+Bringe folgende Ausdrücke in Normalform
+  - $$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$$
+  - $$\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}$$
+  - $$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{11}}$$
+<hidden Lösungen>
+  - $\sqrt{2}+\frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{5}\sqrt{5}$
+  - $\sqrt{3}+\frac{1}{5}\sqrt{5}+\frac{1}{7}\sqrt{7}$
+  - $\sqrt{2}+\frac{1}{7}\sqrt{7}+\frac{1}{11}\sqrt{11}$
+</hidden>
+=== Aufgabe 10 ===
+Löse die folgenden Gleichungen
+  - $$\sqrt{x+1}=2-\sqrt{x+2}$$
+  - $$\sqrt{x-1}=2-\sqrt{x+2}$$
+  - $$\sqrt{x+3}=2-\sqrt{x+1}$$
+<hidden Lösungen>
+Das Prinzip der Lösung ist immer gleich. Am Beispiel der ersten Gleichung: Beidseitig quadrieren ergibt $x+1=(2-\sqrt{x+2})^2$. Den Term auf der rechten Seite ausmultiplizieren ergibt $x+1=(4-4\sqrt{x+2}+x+2)$. Anschliessend Wurzelterm auf eine Seite bringen ergibt $\sqrt{x+2}=-\frac{5}{4}$. Beidseitges quadrieren und subtrahieren von $2$ ergibt: $x=-\frac{7}{16}$. Wir verzichten auf die Probe (bei allen).
+  - $x=-\frac{7}{16}$
+  - $x=\frac{17}{16}$
+  - $x=-\frac{3}{4}$
 </hidden>