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--- lehrkraefte:blc:math:povray:lektion8lw [2017/06/19 15:07]
Ivo Blöchliger [Aufgabe 1]
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Ivo Blöchliger [Aufgabe 3, Pflanzenwachstum]
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 ===== Cosinus und Sinus im Einheitskreis =====
-==== Repetition ====
+==== Repetition: Trigonometrie im Einheitskreis ====
-Sei $P$ ein Punkt auf dem Einheitskreis (Kreis um $(0,0)$ mit Radius 1). Sei $\alpha$ der Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und $\vec{OP}$. Positive Winkel werden in der Richtung $x$- zu $y$-Achse gemessen (d.h. bei üblicher Achsenwahl im Gegenuhrzeigersinn).
+Sei $P$ ein Punkt auf dem Einheitskreis (Kreis um $(0,0)$ mit Radius 1). Die Koordinaten von $P$ sind $P=(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und $\vec{OP}$ ist. Positive Winkel werden in der Richtung $x$- zu $y$-Achse gemessen (d.h. bei üblicher Achsenwahl im Gegenuhrzeigersinn).
 ==== Aufgabe 0 ====
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 Ändern Sie die Frequenzen von $x$ und $y$ auf zwei benachbarte, kleine Primzahlen.
-Führen Sie eine dritte Schwingung für die $z$-Koordinate ein.
+Führen Sie eine dritte Schwingung für die $z$-Koordinate ein. Je nach Figur lohnt es sich, eine Animation damit zu erzeugen, um die Figur besser zu sehen.
+==== Aufgabe 2, Variabler Radius, bzw. Amplituden ====
+Bis jetzt war der Radius, bzw. die Amplitude fix 1.
+Schreiben Sie sich die Funktion $f$ einer Schwingung mit Frequenz 5 und Amplitude 0.3. Addieren Sie dann noch 1 zu dieser Funktion.
+  * Nehmen Sie noch einmal den Code mit dem Einheitskreis und variieren Sie den Radius mit ihrer Funktion $f$. Dazu reicht es, den Vektor im Makro mit der Funktion $f$ zu multiplizieren.
+  * Addieren Sie zum Resultat einen Vektor, dessen $z$-Komponente mit der gleichen Frequenz und Amplitude schwingt wie $f$. Ersetzen Sie aber $\sin$ durch $\cos$ (bzw. umgekehrt).
+==== Aufgabe 3, Pflanzenwachstum ====
+Bei Pflanze treten oft Spiralen auf, wie z.B. bei Ananas, Romanesco, Sonnenblumen, Tannzapfen, Blütenständen etc. Betrachtet man Elemente dieser Pflanzen, die grössenmässig (bzw. nach Radius geordnet) aufeinanderfolgen, stellt man fest, dass der Winkel dazwischen dem "goldenen" Winkel
+$$
+\varphi = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot 360^{\circ}
+$$
+entspricht.
+Die Idee ist, das $n$-te Element mit dem Winkel $n \cdot \varphi$ platzieren. Der Radius im Falle z.B. der Sonnenblume ist proportional zu $\sqrt{n}$. Dies hat zur Folge, dass die Anzahl Elemente pro Fläche in etwa konstant ist.
+Platzieren Sie Kugeln nach dieser Methode um den Blütenstand einer Sonnenblume zu erzeugen.