Show pageOld revisionsBacklinksBack to top This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong. ~~NOTOC~~ ====== Polynom-Division ====== ===== Erinnerung an schriftliche Division (mit Rest) ===== <WRAP center round box 100%> **Lehrervortrag, Tafel oder eTafel** Erinnerung an schriftliche Division am Beispiel (wie oft passt 7 in ...; multiplizere; subtrahiere; wie oft passt 7 in .... usw.) * $95053 : 7$ Eine Variante dieses Verfahrens funktioniert auch für Polynome, wie du nun lernen wirst! </WRAP> <WRAP center round box 100%> Warum ist das nützlich? * Faktorzerlegung und * Kürzen von Brüchen Das lernen wir in der nächsten Woche. **Lernziel** heute ist, das Verfahren "schriftliche Division von Polynomen" zu erlernen. </WRAP> ===== Aufgabe 1: Lernen am Beispiel, Schriftliche Division von Polynomen ===== <WRAP center round todo 100%> **Partnerarbeit (oder auch Einzelarbeit), ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden** Versteht (im Sinne von "Rezept anwenden") gemeinsam das Verfahren "schriftliche Division von Polynomen" mit Hilfe des {{:lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynomdivision-schrittweise-mit-zusatzseite-subtraktion.pdf | hier verlinkten Beispiels}}. Wer damit fertig ist, kann mit der nächsten Aufgabe weitermachen. </WRAP> ===== Aufgabe 2: Teste online, ob du das Verfahren verstanden hast ===== <WRAP center round todo 100%> **Einzelarbeit (gegenseitiges Helfen wie immer erlaubt), ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden** * Öffne **in einem neuen Tab (neue Registerkarte)** die Web-Seite [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivisionueben.htm]] (vermutlich geht das automatisch, sonst ''mouse right-click'' oder ''Ctrl''+''mouse left-click''). * Vergössere das Fenster links oben etwas (oder scrolle dort nach unten) und setze den Haken bei "Keine Aufgaben mit Rest": {{:lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:settings-polynom-division.png?300|}} * Klicke auf den Button "Neue Aufgabe". * Löse solange Aufgaben auf Level 1, bis du 3 Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst. <WRAP center round important 80%> Hinweise: * Zur Eingabe von Potenzen am Computer: Schreibe ''4x^3'' oder ''4*x^3'' für $4x^3$. * Der Computer hilft dir, die Polynomdivision schrittweise durchzuführen und macht dich dabei **sofort** auf Fehler aufmerksam. Du sollst **nicht** die Division auf einem Blatt Papier durchführen und dann das Ergebnis eingeben. * Wie auf der letzten Seite der pdf-Datei oben geschrieben: Bei den Subtraktionen sind alle Terme von oben abzuschreiben, also in etwa so: {{:lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:eingabe-webseite.png?400|}} * Wer Hilfe benötigt: Frag mich oder nutze die Hinweise im Fenster rechts oben. </WRAP> </WRAP> ===== Aufgabe 3: Mit Papier und Stift (oder Pen und Tablet), Vertiefung ===== <WRAP center round todo 100%> **Einzelarbeit, ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden** * (a) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch: <WRAP left round box 100%> $$(x^2+9x-22):(x-2)$$ </WRAP> Bemerkung: Wenn du richtig gerechnet hast, bleibt kein Rest übrig. * (b) Mache die Probe: Multipliziere dein Ergebnis mit $x-2$. ---- * <nowiki>(c)</nowiki> Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch: <WRAP left round box 100%> $$(x^3+x^2-2x-8):(x-2)$$ </WRAP> * (d) Zeig mir deine Lösung! - Das erspart dir die Probe und ich sehe, dass du es verstanden hast. <hidden Zusatzinfo: Du kannst auch online checken, ob du richtig gerechnet hast! (bitte durch Anklicken ausklappen)> Du kannst deine Rechnungen auch auf [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm]] überprüfen: Trage Dividend (= der zu Teilende) und Divisor (= der Teilende) ein und klicke auf den Button "Gleichheitszeichen". Wenn du etwas nach unten scrollst, siehst du die vollständige Polynomdivision. </hidden> ---- * (e) Manchmal bleibt bei der Polynomdivision auch ein Rest übrig! Dividiere schriftlich <WRAP left round box 100%> $$(x^2+9x-22):(x+2)$$ </WRAP> $\phantom{x}$ <hidden Hier ist die Lösung von (e) versteckt (bitte anklicken) - alternativ kannst du den Link in der Zusatzinfo oben verwenden> <WRAP left round box 100%> $$(x^2+9x-22):(x+2) = x+7 \qquad \text{ Rest } -36$$ oder anders geschrieben: $$x^2+9x-22 = (x+2) \cdot (x+7) -36$$ </WRAP> </hidden> ---- === Bonus-Aufgabe === * (f) Überlege dir anhand deiner Rechnung bei Teilaufgabe <nowiki>(c)</nowiki>, warum das Verfahren "funktioniert"! Erkläre es deinem Nachbarn. </WRAP> ===== Computerunterstütztes Üben (eventuell sinnvoll bei der Prüfungsvorbereitung) ===== <WRAP center round box 100%> * Du kannst neue Aufgaben (mit vorgegebenem Level) über den [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivisionueben.htm|Link in Aufgabe 2]] erzeugen und lösen, auch mit höherem Level und mit Rest. * Deine Ergebnisse kannst du relativ schnell über den [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm|Link in Aufgabe 3]] testen, falls du lieber mit Papier und Bleistift arbeitest (wie in der Prüfung). * Auf [[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm#aufgaben]] kannst du auch direkt eine Liste von Aufgaben mit Lösungen (und Lösungsweg) erzeugen. Das Level ist aber relativ hoch. </WRAP> ~~NOTOC~~ ====== Anwendungen der Polynomdivision: Faktorzerlegung von Polynomen und warum dies nützlich ist ====== ===== Verfahren zur Faktorzerlegung; Erklärung am Beispiel ===== <WRAP center round info 100%> Betrachte das folgende Polynom, das **nur ganzzahlige Koeffizienten (und Leitkoeffizient 1)** hat. $$x^2-x\underbrace{-6}_{\text{konstanter Koeffizient}}$$ (1) Schreibe alle positiven UND NEGATIVEN Teiler des konstanten Koeffizienten auf: $$1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6$$ (2) Suche eine **Nullstelle** unter diesen Zahlen: (Eine Zahl heisst //Nullstelle// eines gegebenen Polynoms, wenn Null herauskommt, wenn wir $x$ durch diese Zahl ersetzen.) * Ist 1 eine Nullstelle? Rechnung: $1^2-1-6 = -6 \not= 0$. Also ist 1 keine Nullstelle. * Ist 2 eine Nullstelle? Rechnung: $2^2-2-6 = -4 \not= 0$. Also ist 2 keine Nullstelle. * Ist 3 eine Nullstelle? Rechnung: $3^2-3-6=0$. Also ist 3 eine Nullstelle. Wir brechen die Nullstellensuche erfolgreich ab. (3) Dividiere das Ausgangspolynom durch $x-(\text{Nullstelle})$, also in unserem Fall durch $x-3$. Polynomdivision liefert((Sie geht in diesem Fall stets ohne Rest auf, da wir durch $x-(\text{Nullstelle})$ dividieren.)) $$(x^2-x-6):(x-3) = x+2$$ oder umgeschrieben $$x^2-x-6 = (x-3) \cdot (x+2)$$ Dies ist die gesuchte Faktorzerlegung (oder Faktorisierung) unseres Polynoms. Bemerkungen: * Leicht sieht man, dass auch -2 eine Nullstelle unseres Polynoms ist. Hätten wir diese zuerst gefunden, hätten wir durch $x-(-2)$ dividiert und dieselbe Faktorisierung erhalten. * Der konstante Koeffizient von $(x-3) \cdot (x+2)$ ist $(-3)\cdot 2=-6$ (denn die drei "anderen Produkte" enthalten $x$ mindestens einmal). Dies erklärt im Rückblick, warum wir die Liste der Teiler des konstanten Koeffizienten betrachtet haben. </WRAP> <WRAP center round info 100%> Dieses Verfahren zur Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten funktioniert oft, aber nicht immer. In unserem Beispiel hatte das Polynom Grad 2 (= die höchste auftretende Potenz von $x$). Das Verfahren geht genauso für Polynome von höherem Grad, nur muss man dann oft sehr viele Teiler darauf testen, ob sie Nullstelle sind. </WRAP> ===== Aufgabe 4, Faktorisieren quadratischer Polynome (= Polynome vom Grad zwei) ===== <WRAP center round todo 100%> Wende das soeben erlernte Faktorisierungs-Rezept auf die folgenden Polynome an: (Auch Raten ist erlaubt!) - $x^2 -3x +2$ - $x^2 -7x +10$ - $x^2 + 3x + 2$ Manchmal ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms auch aus anderen Gründen klar: Finde Faktorzerlegungen von (diese Faktorzerlegungen sind alle "offensichtlich"!) - $x^2+3x$ - $x^2-6x+9$ - $x^2 - 4$ - $x^2 - 2$ <hidden Experten-Bemerkung:> Im letzten Beispiel versagt das obige Faktorisierungs-Rezept: Keiner der Teiler von -2 ist Nullstelle des Polynoms $X^2-2$. Es gibt auch Polynome vom Grad zwei wie etwa $x^2+1$ (ohne Nullstelle), die sich nicht als Produkt zweier Polynome vom Grad eins schreiben lassen. Deswegen steht in der Info-Box mit den beiden Beobachtungen das Wort "oft". Der genaue mathematische Satz, der hinter unserer Strategie steckt, lautet: <WRAP center round box 100%> **Satz (kein Schulstoff)** Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind automatisch ganzzahlig und Teiler des konstanten Koeffizienten. </WRAP> </hidden> <hidden Lösungen:> - $(x-1)(x-2)$ - $(x-2)(x-5)$ - $(x+1)(x+2)$ - Ausklammern: $x(x+3)$ - binomische Formel: $(x-3)^2$ - binomische Formel: $(x-2)(x+2)$ - binomische Formel: $x^2-2 = x^2-(\sqrt{2})^2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ </hidden> </WRAP> <WRAP center round box 100%> Warum ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms wie beispielsweise $$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$ nützlich? Antwort: Sie ist hilfreich für das * **Lösen von Gleichungen:** Wenn man die Gleichung $x^2-5x+6=0$ lösen will((Was dasselbe ist wie das Bestimmen der Nullstellen von $x^2-5x+6$.)), so genügt es, die Gleichungen $x-2=0$ und $x-3=0$ zu lösen. * **Kürzen von Brüchen:** Es gilt $$\frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{x-3} = \frac{x-2}{1} = x-2$$ ((was man auch direkt durch Polynomdivision sehen kann)) oder etwas komplizierter $$\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2) \cdot(x+2)}{(x-2) \cdot (x-3)} = \frac{x+2}{x-3}.$$ </WRAP> ===== Aufgabe 5, "Zahnrad"-Icon, Faktorisieren eines Polynoms vom Grad 3 ===== <WRAP center round todo 100%> Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades! $$x^3-6x^2+11x-6$$ <hidden Hinweis: (bitte ausklappen)> Finde eine Nullstelle unter allen Teilern (mit und ohne Vorzeichen) des konstanten Terms. Dividiere durch $x-(\text{diese Nullstelle})$. Wende dasselbe Verfahren auf das Ergebnis an. </hidden> <hidden Lösung:> $(x-1)(x-2)(x-3)$ </hidden> </WRAP> lehrkraefte/snr/mathematik/klasse-1/2021-22/polynomdivision-1rg.txt Last modified: 2022/04/13 11:14by Olaf Schnürer