====KW39: Lineare und affine Abbildungen====
Wir betrachten Abbildungen von $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Speziell von Interesse sind dabei die linearen und affinen Abbildungen.

**Lineare Abbildungen**

Eine Abbildung $f$ von $\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f$ heisst linear, wenn gilt
$$(a) \quad f(a+b)=f(a)+f(b), \quad \forall a,b\in\mathbb{D}_f \qquad \text{und} \qquad (b) \quad f(\alpha\cdot a) = \alpha \cdot f(a), \quad \forall a,\in \mathbb{D}_f \quad\text{und} \quad \forall \alpha\in\mathbb{R}$$

Es ist leicht einzusehen, dass diese beiden Bedingungen für alle //quadratischen 2 x 2// Matrizen erfüllt sind. Im Weiteren sei $A$ immer eine 2 x 2 Matrix mit folgender Notation:$$A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right), \quad \text{mit den beiden Spaltenvektoren} \quad \vec{a}_1 =\left( \begin{array}{cc} a_{11}\\ a_{21}\end{array} \right), \quad  \vec{a}_2 =\left( \begin{array}{cc} a_{12}\\ a_{22}\end{array} \right)$$

**Aufgabe 1**

Zeige, dass die Abbildung $f: \;A\cdot\vec{x}=\vec{y}$ eine lineare Abbildung ist.

**Satz**

Die Bilder der kanonischen Basisvektoren unter der Abbildung $f$ bilden die Spalten der Abbildungsmatrix A. D.h. $$ A=\left(\vec{a}_1, \vec{a}_2 \right)\qquad \vec{a}_1=f(\vec{e}_1) \quad\text{und}\quad \vec{a}_2=f(\vec{e}_2)$$

**Affine Abbildungen**

Affine Abbildungen $f$ haben die Struktur $$f: \;A\cdot\vec{x}+\vec{b}=\vec{y} $$
Die obige Struktur stimmt mit der Struktur des IFS beim Barnsley Farn überein. Was machen diese Abbildungen geometrisch, wenn der Vektor $\vec{x}$ auf den Vektor $\vec{y}$ abgebildet wird? Es sind drei Dinge:
  - Eine Streckung / Stauchung: $|\vec{a}_i|>1$ bedeutet eine Streckung, $|\vec{a}_i|<1$ bedeutet eine Stauchung und $|\vec{a}_i|=1$ lässt die Länge konstant.
  - Eine Drehung / Spiegelung / Projektion. Für den Drehwinkel $\varphi$ gilt: $\tan\varphi_1 = \dfrac{a_{21}}{a_{11}}$ und $\tan\varphi_2 = \dfrac{-a_{12}}{a_{22}}$
  - Eine Verschiebung um den Vektor $\vec{b}$. 

Dazu siehe im Film [[https://vimeo.com/164671859|Is god a number?]] von der Stelle 25 Minuten bis 35 Minuten.

**Aufgabe 2**

  - Untersuch die vier Abbildungen des Barnsley Farns. D.h. bestimme die geometrische Bedeutung jeder Abbildung.
  - Wenn du die Bedeutung verstanden hast, dann ändere sie vollüberlegt ab und überprüfe deine Änderung / Erwartung mit einer entsprechenden Implementation. 

**Aufgabe 3**
  * Implementiere folgendes IFS.
1. Abbildung mit $p=?$
$$A_1=\left( \begin{array}{cc} 0.824074 & 0.281482 \\ -0.212346 & 0.864198 \end{array} \right) \qquad b_1=\left( \begin{array}{c} -1.882290 \\ -0.110607 \end{array} \right)$$
2. Abbildung mit $p=?$
$$A_2=\left( \begin{array}{cc} 0.088272 & 0.520988 \\ -0.463889 & -0.37778 \end{array} \right) \qquad b_2=\left( \begin{array}{c} 0.785360 \\ 8.095795 \end{array} \right)$$
  * An welches Fabelwesen erinnert dich das Bild?

**Aufgabe 4**

  * Implementiere folgendes IFS.

1. Abbildung mit $p=?$
$$A_1=\left( \begin{array}{cc} 0.307692 & -0.531469 \\ -0.461538 & -0.293706 \end{array} \right) \qquad b_1=\left( \begin{array}{c} 5.401953 \\ 8.655175 \end{array} \right)$$
2. Abbildung mit $p=?$
$$A_2=\left( \begin{array}{cc} 0.3072692 & -0.076923 \\ 0.153846 & -0.44755 \end{array} \right) \qquad b_2=\left( \begin{array}{c} -1.295248\\ 4.152990\end{array} \right)$$
3. Abbildung mit $p=?$
$$A_3=\left( \begin{array}{cc} 0.& 0.545455\\ 0.692308& -0.195804\end{array} \right) \qquad b_3=\left( \begin{array}{c} -4.893637\\ 7.269794\end{array} \right)$$
  * Was siehst du?