====== Nötige Methode für die Bezier-Klasse ======
  * x(t): Liefert die Position zum Parameter $t$.
  * v(t): Liefert die Geschwindigkeit zum Parameter $t$ ("exakt").
  * len(tmin, tmax): Liefert die Länge der Kurve zwischen den Parametern tmin, tmax (angenähert).
  * vnorm(t): Geschwindkeitsvektor mit Länge 1 zum Parameter $t$ ("exakt").
  * adl(t): Die Ableitung von vnorm nach der **Länge** der Kurve
  * 

===== Todo =====
  * forward: Interpolation der verbleibenden Länge, wenn über die Kurve hinaus gegangen wird
  * adl(t):
  * a(t,v,g): Effektiver Beschleunigungsvektor beim Punkt $p(t)$, wenn der Geschwindigkeitsbetrag v und Inverse Erdbeschleunigung gegeben ist.
  * koordsyst(t): Orthonormales Koordinatensystem (Liste von 3 Vektoren) mit $x$ parallel zu $v$, $y$ parallel zu $a$ und $z = x \times y$.
<hidden Python Code>
<code python bezier2.py>
# -*- coding: utf-8 -*-

from vector import Vector

class Bezier:
    
    def __init__(self,pts):
        if len(pts)==4:
            self.pts = [p.copy() for p in pts]
        if len(pts)==3:
            self.pts = [pts[0].copy(), 1/3*pts[0]+2/3*pts[1], 1/3*pts[2]*2/3*pts[1], pts[2].copy()]
        if len(pts)==2:
            self.pts = [pts[0].copy(), 2/3*pts[0]+1/3*pts[1], 1/3*pts[0]+2/3*pts[1], pts[1].copy()]
        
    # Punkt für Parameter t (in [0,1])        
    def x(self,t):
        return (1.0-t)**3*self.pts[0]+\
               3*(1.0-t)**2*t*self.pts[1]+\
               3*(1.0-t)*t**2*self.pts[2]+\
               t**3*self.pts[3]

    # Geschwindigkeit (dx/dt) in t-Parametrierung
    def v(self,t):
        return -3*(1.0-t)**2*self.pts[0]+\
               3*(1.0-4*t+3*t**2)*self.pts[1]+\
               3*(2*t-3*t**2)*self.pts[2]+\
               3*t**2*self.pts[3]

    # Normalisierte Geschwindigkeit
    def vnorm(self,t):
        return self.v(t).normalize()
    
    
    def adl(self,t, dt=0.000001): # Ableitung der normalisierten Geschwindigkeit nach der Länge
        dl = self.v(t).length*dt # (self.x(t+dt)-self.x(t-dt)).length
        return (self.vnorm(t+dt/2)-self.vnorm(t-dt/2))/dl
        
    # Effektive Beschleunigung im Punkt zum Parameter t, mit
    # gegebenem Geschwindigkeitsbetrag und Gravitationsvektor
    def aeff(self, t, v, g):
        return self.adl(t)*v*v-g
    
    # Orthonnormales Bahn-Koordinatensystem im Punkt zum Parameter t, mit
    # gegebenem Geschwindigkeitsbetrag und Gravitationsvektor.
    # Resultat (v,a, v cross a)
    def koordsyst(self, t, v, g):
        x = self.vnorm(t)
        # Effektive Beschleunigung
        aeff = self.aeff(t,v,g)
        # Projektion von aeff auf x (d.h. normalisierte Geschwindigkeit)
        av = x.dot(aeff)/(x.dot(x))*x
        # Effektive Beschleunigung in Normalebene zur Bahn.
        # (ist mathematisch rechtwinklig!)
        aa = (aeff-av).normalize()
        z = x.cross(aa)
        return (x,aa,z)
        
        
        
        
   
    # Laenge der Bezier-Kurve
    def length(self, tmin=0.0, tmax=1.0, steps=1000):
        l = 0.0
        # Zeitschritt
        dt = (tmax-tmin)/steps
        for i in range(steps):
            # Den i-ten Zeitpunkt von steps Zeitpunkten
            ti = (i+0.5)*dt+tmin
            l += self.v(ti).length*dt
        return l
    
    # Input: Startzeitpunkt t, Streckenlaenge l
    # Output: Endzeitpunkt t oder -Restlaenge
    def forward(self, l, startt, dt=0.0001):
        lastl = l
        lastt = startt
        while (startt<1.0 and l>0):
            dl = self.v(startt).length*dt
            lastl = l
            lastt = startt
            l -= dl
            startt += dt
        if startt<1.0:  # Noch auf der Bezierkurve
            return (startt-lastt)*lastl/(lastl+abs(l))+lastt
        
        if l>0: # Es ist noch Laenge uebrig, also auf naechster Kurve
            return -(lastl - (self.x(1)-self.x(lastt)).length)
        return 1.0 # Sonst genau auf dem Ende der Kurve
    

    # Zeichnet den Spline
    # Achtung: Funktioniert nur, wenn diese Datei ausgeführt wird...
    def draw(self, steps=1000):
        move(self.pts[0][0], self.pts[0][1]);
        for i in range(1,steps+1):
            p = self.x(1.0*i/steps)
            lineTo((p[0],p[1]))
                        

if __name__== "__main__":
    from gpanel import *
    makeGPanel(Size(600,600))
    window(0, 599, 0, 599)
    b = Bezier([Vector([100,500,0]), Vector([200,0,0]), Vector([300,300,0]), Vector([500,300,0])])
    b.draw()
    print(b.length(0,1,10000))
    t = 0.0
    while (t>=0.0):
        p = b.x(t)
        a = b.adl(t)
        pa = p+a*10000
        # move(p.x, p.y)
        # circle(5)
        line(p.x,p.y, pa.x, pa.y)
        t = b.forward(10,t)
        print(t)

</code>
</hidden>

====== Bahn-Koordinatensystem ======
===== Bewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag 1 =====
Kreisbewegung mit Geschwindigkeitsbetrag 1:

\begin{align*}
x(t) & =  r \cdot \textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
v(t) & =  x'(t) = \textrm{i}\textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
a(t) & =  v'(t) = -\frac{1}{r} \cdot \textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
\end{align*}

Beträgt jetzt der Betrag der Geschwindigkeit $\lambda$ anstatt 1, ändern sich die Gleichungen wie  folgt:

\begin{align*}
x(t) & =  r \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
v(t) & =  x'(t) =  \textrm{i}\lambda  \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
a(t) & =  v'(t) =  -\lambda^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
\end{align*}

D.h., wenn der Betrag der Geschwindigkeit von $1$ auf $\lambda$ erhöht wird, wird der Betrag der Beschleunigung mit $\lambda^2$ multipliziert.

===== Beschleunigung bei konstantem Geschwindigkeisbetrag 1 =====
Sei $\ell(t)$ die Bogenlänge der Bezierkurve, also $\ell(t) = \int_0^t |p'(s)| \textrm{d}s$. Insbesondere gilt dann
$\ell'(t) = |p'(t)|$. (Die Länge ändert sich so stark, wie der Punkt in $t$ schnell ist).

Sei $t(\ell)$ die Umkehrfunktion, d.h. der $t$-Parameter für eine bestimmte Länge. Die Ableitung ist dann
(nach der Formel $(f^{-1})' = \frac{1}{f'(f^{-1})}$ mit $f^{-1}=t$ und $f=\ell$):
$$
\frac{\textrm{d}t(\ell)}{\textrm{d}\ell} = \frac{1}{\ell'(t(\ell))} = \frac{1}{|p'(t(\ell))|}.
$$
(D.h. der Parameter $t$ ändert sich mit der Länge indirekt proportional zur $t$-Geschwindigkeit).

Anstatt der "normalen" Parametrierung in $t \in [0,1]$, stellen wir uns eine Parametrierung $p_{\ell}$ vor, so dass die Bogenlänge der Bezierkurve von $p_{\ell}(0)$ bis $p_{\ell}(\ell)$ genau $\ell$ beträgt.

Es gilt $p_{\ell}(\ell) = p(t(\ell))$ und
\[
v_n(t(\ell)) := \frac{\textrm{d}p_{\ell}(\ell)}{\textrm{d} \ell} = p'(t(\ell)) \cdot \frac{\textrm{d}t(\ell)}{\textrm{d}\ell} = 
p'(t(\ell)) \cdot \frac{1}{|p'(t(\ell))|}
\]
d.h. man erhält den auf den Betrag 1 normalisierten Geschwindgkeitsvektor (was ja genau der Sinn der $p_{\ell}$ Parametrierung ist).

Die zweite Ableitung von $p_{\ell}$ nach $\ell$ ergibt die Beschleunigung $a_n(\ell)$, die rechtwinklig auf $v_n$ steht (sonst würde sich der Betrag von $v_n$ ändern).

Diese zweite Ableitung berechnen wir nummerisch durch Ableiten der ersten:
\[
a_n(t(\ell)) := \frac{\mathrm{d}v_n(\ell)}{\mathrm{d}\ell} \approx \frac{v_n(t(\ell)+\Delta t)-v_n(t(\ell)-\Delta t)}{\ell(t+\Delta t)-\ell(t-\Delta t)} \approx \frac{v_n(t(\ell)+\Delta t)-v_n(t(\ell)-\Delta t)}{|p(t+\Delta t)-p(t-\Delta t)|}
\]

Algebraisch erhält man folgendes:
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\ell} \left(\frac{p'}{|p'|}\right) = 
\frac{p'' - e \cdot \left( e \cdot p''\right)}{|p'|^2}
\]
mit $e=\frac{p'}{|p'|}$. Das ist bis auf den Faktor $|p'|^2$ das Gram-Schmidt Verfahren. Sachen gibts...
===== Effektive Beschleunigung und Komponente in Bahnnormalebene =====
Sei $v_{\text{eff}}(t) \in \mathbb{R}$ der Betrag der effektiven Bahngeschwindigkeit im Punkt zum entsprechenden $t$-Parameter.
Die effektive Beschleunigung ist also 
\[
a_{\text{eff}}(t) =  (v_{\text{eff}}(t))^2 \cdot a_n(t) -g
\]
wobei $g$ die Gravitationsbeschleunigung ist.

Diese Beschleunigung zerlegen wir in zwei Komponenten, eine tangential zur Bahn $a_t$, eine rechtwinklig dazu $a_r$. Die Komponente $a_t$ sorgt für die Beschleunigung des Zugs, die Komponente $a_r$ ist für die Bahnneigung relevant. Diese sollte nämlich rechtwinklig zu $a_r$ sein.

$a_t$ ist die Projektion von $a_{\text{eff}}$ auf $v_n$. Es gilt (mit $|v_n|=1$):
\[
a_t = (\vec a_{\text{eff}} \cdot \vec v_n) \cdot \vec v_n \qquad \text{Skalarprodukt in der Klammer!}
\]
Und damit 
\[
a_r = a_{\text{eff}}-a_t
\]

Damit bilden wir ein Koordinatensystem $K(t)$ mit Ursprung $p(t)$ und Einheitsvektoren
\[
e_1 = v_n(t), \qquad e_2 = \frac{a_r(t)}{|a_r(t)|}, \qquad e_3 = v_n(t) \times a_r(t) \cdot \frac{1}{|a_r(t)|}
\]

===== Bau der Bahn =====
In geeigneter Schrittgrösse der Kurve entlang gehen, an jedem Punkt mit $K(t)$ Schienen-Punkte definieren.
Eventuell Stützen definieren.

Blender Code analog zur Generierung der glatten Kurve.
===== Simulation der Bewegung =====
Zustand: $t$ (Ort auf der Bahn), $v_{\text{eff}}$ (aktueller Betrag der Geschwindigkeit)

Schritt: Zeit um 1/framerate vorrücken, der Bahn folgen (z.B. um die Strecke, die mit $v_{\text{eff}}$ in dieser Zeit zurückgelegt würde, oder genauere schrittweise Simulation). Aus der Höhendifferenz und eventuell Reibung die neue Geschwindigkeit berechnen.

Kamera entsprechend positionieren und Keyframe setzen:

<code python>
cam = bpy.data.objects['Camera']
frame = 0
cam.animation_data_clear()
cam.matrix_world = ( (y.x,y.y,y.z,1), (-an.x, -an.y, -an.z, 1),  (-vv.x,-vv.y,-vv.z,1),  (pp.x, pp.y, pp.z, 0))
cam.keyframe_insert(data_path="rotation_euler", frame=frame)
cam.keyframe_insert(data_path="location", frame=frame)
frame+=1
</code>
Siehe auch https://blender.stackexchange.com/questions/108938/how-to-interpret-the-camera-world-matrix

D.h. die erste Koordinatenrichtung ist rechts, die zweite oben und die dritte ist entgegen der Blickrichtung.

===== Blender =====
Bezier Klasse laden in Blender:
<code python bahn.py>
# Nimmt die Bezierkurven aus myspline und erzeugt 
# die Bahn und die Kamera-Animation

# Import in Blender 2.8 (see https://devtalk.blender.org/t/2-80-using-multiple-internal-scripts-breaking-change/6980 )
Bezier = bpy.data.texts["bezier.py"].as_module().Bezier

obj = bpy.data.objects['mySpline']

# Kurvenpunkte auslesen
mypoints=[]
if obj.type == 'CURVE':
    for subcurve in obj.data.splines:
        curvetype = subcurve.type
        if curvetype == 'BEZIER':
            for bezpoint in subcurve.bezier_points:
                mypoints.append(bezpoint.handle_left)
                mypoints.append(bezpoint.co)
                mypoints.append(bezpoint.handle_right)
                

# Sammlung von Bezierkurven erzeugen
mySplines = []
numpoints = len(mypoints)
totalLength = 0
for i in range(numpoints//3):
    mySplines.append(Bezier((mypoints[i*3+1],
        mypoints[i*3+2], 
        mypoints[(i*3+3)%numpoints], 
        mypoints[(i*3+4)%numpoints])))
    totalLength+=mySplines[-1].length()


# Bahn erzeugen
try:
    bpy.ops.collection.objects_remove(bpy.data.collections['Rails'])
except:
    pass
    
railsCol = bpy.data.collections.new('Rails')
linksCol = bpy.data.collections.new('RailLinks')
railsCol.children.link(linksCol)
bpy.context.scene.collection.children.link(railsCol)
               
abstand = 0.2  # Bahnpunkte
ldone = 0  # Erledigte Bahnstrecke
i=0  # Aktuelle Bezierkurve
t = 0 # Aktuelle t-Parameter
g = Vector(0,0,-9.81) # Gravitationbeschleunigung
hmax = 40  # Hoehe fuer v=0
# Bahnpunkte: Ctrl-Links, Knoten, Ctrl-Rechts
railspts=[[],[],[]]  # Bahnpunkte, Schiene L, Schiene R, Träger 
while(ldone<totalLength):
    dl = abstand;
    tnext = -1
    while(tnext<0):
        tnext = mySplines[i].forward(dl, t)
        if (tnext<0) : # We get the negative remaining length
            i=(i+1)%numSplines
            t = 0
            dl=abs(tnext)
        else:
            ldone+=dl
    t = tnext
    # Potentielle Energie mgh
    ekin = (hmax-mySplines[i].x(t).z)*abs(g.z)
    # Ek = 1/2 * m * v^2
    v = (2*ekin)**0.5
    # Koordinatensystem (vorne, oben, rechts)
    k = mySplines[i].koordsyst(t,v,g)
    # Bahnpunkte berechnen
    #
    #
    #
    


# Blender-Kurven aus den Bahnpunkten erzeugen
for j in range(3):
    curvedata = bpy.data.curves.new(name="rail"+str(j), type='CURVE')
    curvedata.dimensions = '3D'
    objectdata = bpy.data.objects.new("rail"+str(j), curvedata)    
    objectdata.location = (0,0,0)
    objectdata.data.bevel_depth = 0.01

    railsCol.objects.link(objectdata)
 
    polyline = curvedata.splines.new('BEZIER')    
    polyline.bezier_points.add(len(railspts[j])-1)    
 
    for idx, (h1, knot, h2) in enumerate(railspts[j]):
        point = polyline.bezier_points[idx]
        point.co = knot
        point.handle_left = h1
        point.handle_right = h2
        point.handle_left_type = 'ALIGNED'
        point.handle_right_type = 'ALIGNED'

</code>