====Basen====
Im Sinne einer kleinen Vorbereitung auf die nächsten Themen betrachten wir diese Woche einige Begriffe der linearen Algebra (LinAlg).

===Basen===
Dazu betrachten wir drei Bereiche

  * Polynome $p_n$
  * Trigonometrische Polynome $T_n$
  * Reelle Vektorräume $R^n$

**Aufgabe**
  * Bei allen dreien kommt der Parameter $n$ vor. Was könnte $n$ bedeuten?
  * Wie sieht ein allgemeines Element aus diesen drei Bereichen aus?
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  - $p_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $a_n\neq 0$\\
  - $T_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot \cos (ix) + b_i \cdot \sin (ix), \quad$ mit $a_i,b_i \in\mathbb{R}$ und $a_n \lor b_n \neq 0$
  - $\mathbb{R}^n:\; \vec{v}=\sum_{i=1}^n a_i\cdot \vec{e}_i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $\vec{e}_i=\left( \begin{array}{c} 0 \\...\\1\\...\\0  \end{array} \right)$, d.h. mit einer $1$ in der $i$-ten Zeile. 
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**Aufgabe**
  * Aus welchen Grundbausteinen werden diese Elemente zusammengesetzt?
<hidden>
Die Grundbausteine heissen Basiselemente, alle Grundelemente zusammen nennen wir eine Basis. Eine Basis beinhaltet die minimale Anzahl von Elementen um die algebraische Struktur aufzubauen. Beachte: Basiselemente können auch Funktionen sein! ($\cos(ix), \; x^i$)
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  * Welche mathematischen Operationen werden dafür gebraucht?
<hidden>
Es ist eine gewichtete Summe, d.h. die Basiselemente werden mit einem Faktor $a_i$ multipliziert (gewichtet) und danach addiert. Dieses Konstrukt heisst **Linearkombination**.
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===Polynombasis===

Ein Polynom vom Grad $n$ in der Variable $x$ hat die Grundform $p_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i$ und damit die Basiselemente $$1,\; x,\; x^2,\; \dots,\; x^n $$ Alle diese Elemente als Menge bilden die Basis von $p_n$.

===Basis eines trigonometrischen Polynoms===
Ein trigonometrisches Polynom vom Grad $n$ in der Variablen $x$ hat die Grundform $T_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot \cos (ix) + b_i \cdot \sin (ix)$ und damit die Basiselemente $$1,\; \cos(x),\; \sin(x),\; \cos(2x),\; \sin(2x),\; \dots ,\; \cos(nx),\; \sin(nx)$$

===Die Ebene ($\mathbb{R}^2$) und der Raum ($\mathbb{R}^3$)===
Als nächstes folgt die Darstellung von Vektoren mit einem Koordinatensystem in der Ebene ($\mathbb{R}^2$) und im Raum ($\mathbb{R}^3$). Dazu verwenden wir ein kartesisches Koordinatensystem.

{{:kurse:efcomputergrafik:vdar_2d.png?400|}} $\qquad$ {{:kurse:efcomputergrafik:vdar_3d.png?400|}}

Jeder Vektor $\vec{v}$ wird als Summe der Richtungsvektoren (entlang der Koordinatenachsen) $\vec{v}_x$, $\vec{v}_x$ und $\vec{v}_z$ aufgefasst. D.h. $$\vec{v}=\vec{v}_x + \vec{v}_y + \vec{v}_z $$
Die Richtungsvektoren sind wiederum skalare Vielfache der Einheitsvektoren $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ und $\vec{e}_z$. Diese Einheitsvektoren (auch Basisvektoren genannt) haben die Länge 1 und die Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen.  $$\vec{v}_x=v_x\cdot \vec{e}_x, \quad \vec{v}_y=v_y\cdot \vec{e}_y, \quad\vec{v}_z=v_z\cdot \vec{e}_z$$
Jeder Vektor $\vec{v}$ lässt sich wie folgt aufschreiben.
$$ \vec{v}=\vec{v}_x + \vec{v}_y + \vec{v}_z =v_x\cdot \vec{e}_x + v_y\cdot \vec{e}_y + v_z\cdot \vec{e}_z$$
Mit der Konvention in der Ebene$$\vec{e}_x=\left( \begin{array}{c} 1\\0 \end{array} \right),\quad \vec{e}_y=\left( \begin{array}{c} 0\\1 \end{array} \right)  $$ und im Raum $$\vec{e}_x=\left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right),\quad \vec{e}_y=\left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right),\quad \vec{e}_z=\left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right)  $$ergibt sich folgende Darstellung eines Vektors mit kartesischen Koordinaten.
$$\vec{v}=v_x\cdot \vec{e}_x + v_y\cdot \vec{e}_y = v_x\cdot \left( \begin{array}{c} 1\\0 \end{array} \right) + v_y\cdot \left( \begin{array}{c} 0\\1 \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{c} v_x\\0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0\\v_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} v_x\\v_y \end{array} \right)$$

$$\vec{v}=v_x\cdot \vec{e}_x + v_y\cdot \vec{e}_y + v_z\cdot \vec{e}_z = v_x\cdot \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + v_y\cdot \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + v_z\cdot \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} v_x\\v_y\\v_z \end{array} \right)$$
Abschliessend noch drei Bezeichnungen:

  * Die **Zahlen** $v_x$, $v_y$ und $v_z$ heissen die **Koordinaten** des Vektors $\vec{v}$.
  * Die **Vektoren** $\vec{v}_x$, $\vec{v}_y$ und $\vec{v}_z$ heissen die **Komponenten** des Vektors $\vec{v}$.
  * Die **Vektoren** $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ und $\vec{e}_z$ heissen die kanonischen Basisvektoren und bilden eine Basis des $\mathbb{R}^3$.

**Aufgabe**
  * Gibt es mehr als eine Basis für den Raum, oder die Ebene?
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Ja, gibt es! Sogar unendlich viele verschiedene Basen. Mit einer Basis lässt sich eine Linearkombination $\sum_{i=1}^3 a_i\cdot \vec{e}_i$ bilden, mit der jeder Punkt des Raums erreichbar / adressierbar ist.
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  * Finde zwei weitere Basen des $\mathbb{R}^3$.

===Orthogonale Basen===
Sind die Basisvektoren paarweise senkrecht zueinander, dann sprechen wir von einer orthogonalen Basis. Orthogonal bedeutet: $$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

**Aufgabe**
  * Konstruiere eine eigene orthogonale Basis des $\mathbb{R}^3$.

Sind die Beträge der Basisvektoren eins, so sprechen wir von einer normierten Basis. Orthogonal und normiert zusammen führt zum Begriff der Orthonormalbasis.

**Aufgabe**
  * Konstruiere eine eigene Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3$. 

====Orthogonale Projektion==== 
Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$. Gesucht ist der Anteil von $\vec{v}_2$, welcher orthogonal zu $\vec{v}_1$ verläuft.

{{:kurse:efcomputergrafik:skalar_p.png?400|}}

Dazu bestimmen wir den Anteil von $\vec{v}_2$ in Richtung von $\vec{v}_1$ und subtrahieren diesen von $\vec{v}_2$. Es gilt:
$$\vec{v}_{21P}=\alpha \cdot \vec{v}_1 \qquad \text{und} \qquad \vec{v}_{21O}=\vec{v}_2-\vec{v}_{21P}$$ Wegen der Orthogonalität gilt weiter $$\vec{v}_{21O}\cdot \vec{v}_1 =0 $$ setzen wir ein erhalten wir
$$\left( \vec{v}_2-\alpha \cdot \vec{v}_1 \right) \cdot \vec{v}_1 =0 $$
Damit gilt für $\alpha$
$$\alpha = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1}= \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|^2}$$
und damit gilt für $\vec{v}_{21O}$
$$\vec{v}_{21O}=\vec{v}_{2} - \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|^2} \cdot \vec{v}_1$$

===Orthogonale Basis===
Seien die Vektoren $\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}, \; \vec{d}$ eine Basis des $\mathbb{R}^4$. Dann können wir schrittweise durch orthogonale Projektion eine Orthogonalbasis berechnen.
  - $\vec{a}$ bleibt
  - $$\vec{b'}=\vec{b}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a}$$
  - $$\vec{c'}=\vec{c}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a} - \frac{\vec{b'}\cdot\vec{c}}{|\vec{b'}|^2} \cdot \vec{b'}$$
  - $$\vec{d'}=\vec{d}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{d}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a} - \frac{\vec{b'}\cdot\vec{d}}{|\vec{b'}|^2} \cdot \vec{b'} - \frac{\vec{c'}\cdot\vec{d}}{|\vec{c'}|^2} \cdot \vec{c'}$$
  - allgemein: $$\vec{v}'_i=\vec{v}_i- \sum_{k=1}^{i-1}\frac{\vec{v}_k\cdot\vec{v}_i}{|\vec{v}_k|^2} \cdot \vec{v}_k, \quad \text{für }i\in\{2,3,\dots,n\}$$
  - bleibt noch die Normierung mit $$\vec{e}_a=\frac{1}{|\vec{a}|}\cdot \vec{a} $$

**Aufgabe**

Implementiere obigen Algorithmus in Python für eine Basis vom $\mathbb{R}^3$ und $\mathbb{R}^4$.