====== Algebraische Form ======
Bestimmen Sie die algebraische Form der Bezierkurven von Grad 1,2,3 (und $n$, wer möchte), und zwar
als konvexe Kombination der Kontrollpunkte mit den Koeffizienten als vollständig faktorisierte Polynome in $t$.


===== Form der Polynome und deren Ableitungen =====
Kontrollpunkte $\vec p_0$ bis $\vec p_n$:
$$
\vec p(t) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (1-t)^{n-i} \cdot t^i \cdot \vec p_i
$$

Für Grad 3:
$$
\vec p(t) = (1-t)^3 \cdot \vec p_0 + 3(1-t)^2t \cdot \vec p_1  + 3 \cdot (1-t)t^2 \cdot \vec p_2 + t^3 \cdot \vec p_3
$$
===== Ableitungen von $p(t)$ für $t \in [0,1]$ =====

$$
v(t) = -3(1-t)^2 \cdot \vec p_0 +
3(1-t)(1-3t)\cdot \vec p_1 +
3t(2-3t) \cdot \vec p_2 +
3t^2 \cdot \vec p_3
$$

Man findet $\vec v(0) = 3(\vec p_1 - \vec p_0)$, also Tangente parallel zu $P_0P_1$.
Analog mit $\vec v(1) = 3(\vec p_3 - \vec p_2)$.

Mit Maxima:
<code maxima>
p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
define(v(t), factorout(diff(p(t,a,b,c,d),t),t));
tex(v(t));
define(a(t), factorout(diff(v(t),t),t));
tex(a(t));
</code>
liefert
$$3\,d\,t^2+3\,b\,\left(t-1\right)\,\left(3\,t-1\right)-3\,c\,t\,
 \left(3\,t-2\right)-3\,a\,\left(t-1\right)^2$$
und
$$-6\,c\,\left(3\,t-1\right)+6\,b\,\left(3\,t-2\right)+6\,d\,t-6\,a\,
 \left(t-1\right)$$

Interessant sind auch hier die Werte von $a(0)$ und $a(1)$:
$$a(0) = 6\,c-12\,b+6\,a$$
$$a(1) = 6\,d-12\,c+6\,b$$


===== Darstellung von Kurven vom Grad 1 und 2 mit Hilfe von einer Kurve vom Grad 3 =====
==== Grad 1 ====
Damit die Geschwindigkeit für $t=0$ übereinstimmt, müssen die Kontrollpunkte sich bei $t=\frac{1}{3}$ und $t=\frac{2}{3}$ befinden. Beweis mit Maxima (ein OpenSource CAS-Programm):
<code maxima>
p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
factorout(expand(p(t, a, (2/3*a+1/3*b), a/3+2/3*b,b)),t);
tex(%);
</code>
liefert:
$$b\,t+a\,\left(1-t\right)$$
==== Grad 2 ====
Für den Grad zwei, mit Kontrollpunkten $q_0, q_1, q_2$ ist $\vec v(0) = 2(\vec q_1-\vec q_0)$. Damit die Geschwindigkeiten für $t=0$ übereinstimmen muss $p_1 = \frac{1}{3}q_0 + \frac{2}{3}q_1$ sein. Analog für $p_2$.
Beweis wieder mit Maxima:
<code maxima>
p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
factorout(expand(p(t, a, (2/3*b+1/3*a), c/3+2/3*b,c)),t);
tex(%);
</code>
liefert: 
$$c\,t^2-2\,b\,\left(t-1\right)\,t+a\,\left(t-1\right)^2$$


====== Analyse von SVG-Pfaden ======
Dokumentation:
  * Intro: https://www.w3schools.com/graphics/svg_path.asp
  * Bisschen ausführlicher: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/SVG/Tutorial/Paths
  * Specs: https://www.w3.org/TR/svg-paths/


====== Vorgehen ======
**Ziel**: 

SVG-Datei mit Inkscape erstellen -> Python Programm das die Pfade ausliest -> Konvertieren in Polygonzug -> Umrechnen in Plotter-Koordinaten -> Plotter Befehle -> WhiteBoard verschönern.

Wäre cool: {{ :kurse:efcomputergrafik:hello.svg |}}

  * Umgang mit Inkscape (erstellen von Pfaden)
  * Analyse der SVG-Datei
    * Welche Pfad-Element müssen implementiert werden, wie funktionieren diese?
    * Text-Analyse, Konvertierung der Daten in Python
  * Bezier-Klasse erstellen (für Kurven von Grad 1 bis 3).
    * Initialisierung
    * Zeichnen (Validierung)
    * Interpolation
  * Pfad-Klasse erstellen
    * Als Sammlung von Bezier-Kurven
  * Plotter Koordinatensystem analysieren
    * Geometrische Definition
    * Ausmessen im Tech-Lab
    * Nullpunkt festlegen
  * Plotter Sprache definieren
    * Koordinaten
    * Stift auf/ab
  * Arduino-Code anpassen

===== Umgang mit Inkscape =====

Download für die Schulcomputer: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:informatik:glf19:glf19#make_the_computer_zimmer_great_again

Nützliche Tastenkombinationen:
  * F1: Auswahlmodus (zum kopieren, löschen, verschieben, rotieren)
  * F2: Edit-Modus (Manipulation der Pfadelemente).

Pfad-Manipulationen:
  * Shift-Ctrl-C: Object to Path (Kreise, Rechtecke, Text wird erst *nicht* als Pfad gespeichert.) Bei Text ist danach noch eine Gruppe aufzulösen.
  * Ctrl-K: Combine (mehrere Pfade in einen Pfad zusammenfassen).