miniaufgabe.js ==== 13. Mai 2024 bis 17. Mai 2024 ==== === Dienstag 14. Mai 2024 === Bestimmen Sie mit Hilfe des TRs den Abstand des Graphen der Funktion $f(x)$ vom Ursprung. Dokumentieren Sie dazu formal Ihr Vorgehen sowie die Lösung auf 3 Nachkommastellen gerundet.miniAufgabe("#exoabstand_funktion_ursprung","#solabstand_funktion_ursprung", [["$f(x) = x^2 +4x +1$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{-0.248,-2.432,-3.32}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.258,3.719,3.55}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.258$."], ["$f(x) = x^2 -6x +4$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.728,3.342,4.929}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.746,5.917,5.092}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.746$."], ["$f(x) = x^2 -6x +7$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{1.433}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{1.504}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $1.504$."], ["$f(x) = x^2 +4x +1$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{-0.248,-2.432,-3.32}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.258,3.719,3.55}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.258$."], ["$f(x) = x^2 +2x -2$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.673,-1.203,-2.47}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.702,3.194,2.609}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.702$."], ["$f(x) = x^2 +2x -2$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.673,-1.203,-2.47}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.702,3.194,2.609}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.702$."], ["$f(x) = x^2 +2x -3$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.939,-1.144,-2.795}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.969,4.14,2.901}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.969$."], ["$f(x) = x^2 -6x +6$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{1.177,3.823,4.0}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{1.221,4.473,4.472}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $1.221$."], ["$f(x) = x^2 -4x +1$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.248,2.432,3.32}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.258,3.719,3.55}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.258$."], ["$f(x) = x^2 +4x +1$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{-0.248,-2.432,-3.32}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.258,3.719,3.55}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.258$."]], "
");
ruby abstand-funktion-ursprung.rb 1
 === Mittwoch 15. Mai 2024 === Zwei Korridore der Breite $a$ und $b$ kommen rechtwinklig zusammen. Wie lange ist der längstmögliche starre Stab, der horizontal um diese «Ecke» getragen werden kann? Machen Sie eine gute beschriftete Skizze und erklären Sie Ihren Lösungsweg.miniAufgabe("#exolongeststick","#sollongeststick", [["$a=2$, $b=\\frac{5}{2}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{5}{2}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 4.654$ mit Funktionswert $40.333$ und zweiter Ableitung $12.962>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{40.333} \\approx 6.351$."], ["$a=\\frac{27}{10}$, $b=\\frac{3}{2}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{3}{2}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 3.720$ mit Funktionswert $34.308$ und zweiter Ableitung $10.055>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{34.308} \\approx 5.857$."], ["$a=\\frac{23}{10}$, $b=\\frac{17}{5}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{17}{5}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 6.020$ mit Funktionswert $64.169$ und zweiter Ableitung $13.786>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{64.169} \\approx 8.011$."], ["$a=\\frac{8}{5}$, $b=\\frac{16}{5}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{16}{5}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 5.216$ mit Funktionswert $44.344$ und zweiter Ableitung $15.524>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{44.344} \\approx 6.659$."], ["$a=\\frac{17}{10}$, $b=\\frac{27}{10}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{27}{10}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 4.683$ mit Funktionswert $38.048$ und zweiter Ableitung $14.168>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{38.048} \\approx 6.168$."], ["$a=\\frac{21}{10}$, $b=\\frac{14}{5}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{14}{5}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 5.111$ mit Funktionswert $47.692$ und zweiter Ableitung $13.268>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{47.692} \\approx 6.906$."], ["$a=\\frac{16}{5}$, $b=\\frac{12}{5}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{12}{5}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 5.307$ mit Funktionswert $62.292$ und zweiter Ableitung $10.953>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{62.292} \\approx 7.893$."], ["$a=\\frac{31}{10}$, $b=\\frac{13}{5}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{13}{5}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 5.523$ mit Funktionswert $64.813$ und zweiter Ableitung $11.336>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{64.813} \\approx 8.051$."], ["$a=\\frac{3}{2}$, $b=\\frac{11}{5}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{11}{5}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 3.904$ mit Funktionswert $27.052$ und zweiter Ableitung $13.745>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{27.052} \\approx 5.201$."], ["$a=\\frac{29}{10}$, $b=\\frac{8}{5}$", "Im gewünschten Bereich ($x>b=\\frac{8}{5}$) liefert der TR folgenden Extremalstellenkandidaten $x \\approx 3.979$ mit Funktionswert $39.359$ und zweiter Ableitung $10.036>0$, also ein Minimum.
\nDie Minimale Länge ist ungefähr $\\sqrt{39.359} \\approx 6.274$."]], "
");
Hinweis: Mit einer guten Skizze sind viel weniger Erklärungen nötig! Sei $P$ ein Punkt auf der äusseren Wand im Korridor der Breite $a$ vor der Biegung. Sei $x$ der Abstand von $P$ zur äusseren Ecke $F$, mit $x>b$. Die Gerade durch $P$ und die innere Ecke $E$ wird mit der äusseren Wand vom Korridor mit Breite $b$ im Punkt $Q$ geschnitten. Gesucht ist die kürzeste Länge $\overline{PQ}$. Sei der $A$ auf $PF$ im Abstand $b$ von $FQ$. Analog dazu sei $B$ auf $FQ$ im Abstand $a$ von $PF$. Damit ist $AFBE$ ein Rechteck mit Seitenlängen $a$ und $b$. Sei $y=\overline{FQ}$. Die rechtwinkligen Dreiecke $PAE$ und $PFQ$ sind ähnlich, damit gilt $(x-b):a = x:y$. Daraus folgt $(x-b)y=ax$ und $y=\frac{ax}{x-b}$. Damit ist $\overline{PQ}=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{x^2+\left(\frac{ax}{x-b}\right)^2}$. $\overline{PQ}$ ist minimal, wenn $\overline{PQ}^2$ minimal ist. Wir suchen also das Minimum der Funktion $f(x)=x^2+\frac{a^2x^2}{(x-b)^2}$.
ruby optimierungs-aufgaben.rb 1