~~NOTOC~~
Falls numpy etc. auf Schulrechnern nicht verfügbar:
https://trinket.io/embed/python3/a5bd54189b
====== Wärmeleitungsgleichung simulieren ======
Die Mathematik und Formeln für die Iteration sind hier noch nicht dokumentiert (bisher an Tafel erklärt).
Wärmeleitungsgleichung $u_{t}=\Delta u$.
===== Numpy und Matplotlib: einige Befehle kennenlernen (und eventuell Bibliotheken installieren) =====
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# Zweidimensionale Tabelle (= zweidimensionales Array = zweidimensionale Matrix) mit Nullen als Einträgen erstellen. Beachte:
# - erster Index Zeilennummer (also y-Koordinate), Indizes 0 bis 4=5-1;
# - zweiter Index Spaltennummer (also x-Koordinate), Indizes von 0 bis 9=10-1.
u = np.zeros((5, 10))
# Setze die Einträge an den Positionen (0, 0) und ((0, 19) auf 80.
u[0, 0] = 80
u[0, 9] = 80
# Setze alle Einträge in der mittleren Zeile (Zeilennummer 2) auf 40.
for j in range(10):
u[2, j] = 40
# Ausgabe der Matrix
print(u)
plt.title(f"Have fun with numpy and matplotlib!")
plt.xlabel("Spalten (zweite Indizes)")
plt.ylabel(f"Zeilen (erste Indizes)")
plt.pcolormesh(u, cmap=plt.cm.jet, vmin=0, vmax=100)
plt.colorbar()
plt.savefig("beispiel.png")
plt.show()
===== Wärmeausbreitung (1-dimensional) in einem Stab simulieren =====
{{:lehrkraefte:snr:informatik:klasse-4:simulationen:stab-ort-zeit-diagramm.png?400|}}
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
# Länge des Stabes
n = 100
iterationen = 400
# alpha = Temperaturleitfähigkeit, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Temperaturleitf%C3%A4higkeit
alpha = 1
delta_x = 1
# Die folgende Wahl des Zeitschritts delta_t = Δt sorgt dafür, dass die numerische Simulation stabil läuft (ohne Begründung).
delta_t = (delta_x ** 2)/(4 * alpha)
# Die folgende Konstante gamma hängt von delta_t ab und taucht dann in der Simulation auf.
gamma = (alpha * delta_t) / (delta_x ** 2)
# Zweidimensionale Tabelle (Array), erste Koordinate Iterationsnummer, zweite Koordinate Ort.
u = np.zeros((iterationen + 1, n))
# Temperaturverteilung am Anfang
u[0, 1] = 80
# Aufgabe: Eigene Temperaturverteilung am Anfang definieren!
# Randwerte: Temperaturen an den Enden des Stabes (vorgegeben für alle Zeiten)
for i in range(iterationen):
u[i, 0] = 0
u[i, n - 1] = 0
# Start der Simulation
for i in range(1, iterationen + 1):
for x in range(1, n - 1):
# Aufgabe: Die folgende Zeile so anpassen, dass die Temperaturentwicklung wie in der Aufgabenstellung erläutert verläuft.
u[i, x] = u[i - 1, x - 1]
# print(u)
# Energie-/Wärme-Erhaltung (abgesehen von konstanten Randwerten)
# print([sum(z) for z in u])
plt.title(f"Heatmap eines horizontalen Stabes\n Zeitschritt Δt = {delta_t} pro Iteration")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel(f"Iterationen")
plt.pcolormesh(u, cmap=plt.cm.jet, vmin=0, vmax=100)
plt.colorbar()
plt.savefig("stab-ort-zeit-diagramm.png")
plt.show()
===== Beispiel zum Erstellen einer animierten gif-Datei (= kleiner Film) =====
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib import colormaps
import matplotlib.animation as animation
from matplotlib.animation import FuncAnimation
# Grösse des quadratischen Feldes
n = 30
# Anzahl der Iterationen
iterationen = 40
# Dreidimensionale Tabelle (Array), erste Koordinate Iterationsnummer (oft = Zeit), zweite Koordinate Zeile, dritte Koordinate Spalte.
u = np.zeros((iterationen + 1, n, n))
# Temperaturverteilung am Anfang
u[0, 5, 9] = 100
u[0, 5, 10] = 100
u[0, 5, n - 10] = 100
u[0, 5, n - 9] = 100
# Start der Simulation, i für Iterationsnummer, z für Zeilennummer, s für Spaltennummer
for i in range(1, iterationen + 1):
for z in range(1, n - 1):
for s in range(1, n - 1):
u[i, z, s] = (u[i - 1, z - 1, s - 1] + u[i - 1, z - 1, s + 1]) / 2
def animiere(i):
print(i)
plt.clf()
plt.title(f"Heatmap, Iteration = {i}")
plt.xlabel("s")
plt.ylabel("z")
plt.pcolormesh(u[i, :, :], cmap=plt.cm.jet, vmin=0, vmax=100)
plt.colorbar()
# plt.show()
anim = animation.FuncAnimation(plt.figure(), animiere, interval=1, frames=iterationen, repeat=False)
anim.save("ausbreitungsbeispiel.gif")
===== Wärmeausbreitung 2-dimensional, etwa in einem Zimmer mit beheizten Wänden und offenem Fenster =====
Zum Spass ist am Anfang noch eine Wärmeblase mitten im Raum...
{{:lehrkraefte:snr:informatik:klasse-4:simulationen:waermeausbreitung-raum-mit-fenster.gif?400|}}
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib import colormaps
import matplotlib.animation as animation
from matplotlib.animation import FuncAnimation
# Grösse des quadratischen Feldes
n = 30
iterationen = 60
# alpha = Temperaturleitfähigkeit, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Temperaturleitf%C3%A4higkeit
alpha = 2
delta_x = 1
delta_t = (delta_x ** 2)/(4 * alpha)
gamma = (alpha * delta_t) / (delta_x ** 2)
# Dreidimensionale Tabelle (Array), erste Koordinate Iterationsnummer, zweite Koordinate Zeile, dritte Koordinate Spalte.
u = np.zeros((iterationen + 1, n, n))
# Randwerte: Temperaturen am Rand des Quadrates (vorgegeben für alle Zeiten)
for i in range(iterationen):
for s in range(n):
u[i, 0, s] = 100
# Aufgabe: interessantere Randwerte vereinbaren! Etwa Raum mit offenem Fenster und Heizungen an den Wänden.
# Anfangswerte
# Aufgabe: Wer mag, definiert interessante Anfangswerte.
u[0, n // 2, n // 2] = 100
# Start der Simulation
for i in range(1, iterationen + 1):
for z in range(1, n - 1):
for s in range(1, n - 1):
# Aufgabe: Wärmeausbreitungsformel anpassen!
u[i, z, s] = u[i - 1, z - 1, s]
def animiere(i):
print(i)
plt.clf()
plt.title(f"Heatmap, Zeit t = {i * delta_t:.3f}")
plt.xlabel("s")
plt.ylabel("z")
plt.pcolormesh(u[i, :, :], cmap=plt.cm.jet, vmin=0, vmax=100)
plt.colorbar()
# plt.show()
anim = animation.FuncAnimation(plt.figure(), animiere, interval=1, frames=iterationen, repeat=False)
anim.save("feld.gif")