====== Zufallszahlen ======
Für Spiele und Simulationen sind Zufallszahlen äusserst nützlich. Auch für kryptographische Anwendungen werden Zufallszahlen gebraucht. Dafür sind die Zufallszahlen von Python aber **nicht geeignet**. Und sowieso: Programmieren Sie nie selbst Krypto (es sei denn, Sie machen seit 10 Jahren nichts anderes, als Kryptographie und Computerinnereien zu studieren).


<code python zufall.py>
import random

print("Floats, uniform von 0.0 bis ohne 1.0")
for i in range(10):
    print(random.random())

# Ich bevorzuge random.randrange weil es gleich wie range funktioniert
print("Ints, uniform von 0 bis und mit 3")
for i in range(10):
    print(random.randrange(4))

# Ich rate von random.randint ab und empfehle random.randrange 
print("Ints, uniform von 1 bis und mit 6")
for i in range(10):
    print(random.randint(1,6))

</code>
''random.randrange(a,b,s)'' wählt ein zufälliges Element aus ''range(a,b,s)'' aus.

Detaillierte Übersicht: https://machinelearningmastery.com/how-to-generate-random-numbers-in-python/

===== Aufgaben =====
  * Generieren Sie 10 Zufallszahlen (floats) zwischen 10.0 (inklusive) und 20.0 (exklusive).
  * Welchen Wert erhält man im Durchschnitt, wenn man mit zwei Würfeln auf einmal würfelt und sich jeweils den grösseren der beiden Werte notiert?
    * **Challenge**: Können Sie den Wert exakt berechnen? Wie sieht es mit $3$ und mehr Würfeln aus? Wie mit $n$?
  * Generieren Sie $n=10000$ mal einen zufälligen Punkt im Einheitsquadrat $[0,1] \times [0,1]$. Wie viele davon liegen im Einheitskreis (d.h. im Kreis mit Radius 1 um den Ursprung)? Wie viele müssten es sein? Berechnen Sie daraus eine Schätzung für $\pi$.

<hidden Lösungsvorschläge>
<code python float10bis20.py>
import random

print("Floats, uniform von 10.0 bis ohne 20.0")
for i in range(10):
    print(random.random()*10+10)
</code>


Simulation Maximum zweier Würfel:
<code python maxwurf2.py>
import random
n=100000
s = 0
for i in range(n):
    w1 = random.randint(1,6)
    w2 = random.randint(1,6)
    if w1>w2:
        s+=w1
    else:
        s+=w2
print("Durchschnitt (mit n=%d Versuchen): %f" % (n,s/n))
</code>

Oder noch eine kompaktere Variante mit Arrays:
<code python maxwurfarray.py>
import random
n=100000
numWurfel=2
s = 0
for i in range(n):
    s += max([random.randint(1,6) for j in range(numWurfel)])
print("Durchschnitt (mit n=%d Versuchen und %d Würfeln): %f" % (n,numWurfel,s/n))
</code>

Und exakt (durch Aufzählen aller Möglichkeiten)
<code python maxwurf2exakt.py>
n = 0
s = 0
for w1 in range(1,7):
    for w2 in range(1,7):
        s+=max(w1,w2)
        n+=1
print("Durchschnitt exakt %d/%d ~ %f" % (s,n,s/n))
</code>

Allgemein exakt. Um die Mathematik zu verstehen, denken Sie sich für n=2 Würfel ein 6x6 Raster und markieren Sie jene Felder, die zu einem gegebenen Maximum $m$ führen. Deren Anzahl kann als Differenz zweier Quadrate (bzw. Hyperwürfel für $n>2$) berechnet werden.
<code python maxwurfexakt.py>
numWurf = 2
n = 6**numWurf
s = 0
for w in range(1,7):
    s+=w*(w**numWurf-(w-1)**numWurf)

print("Durchschnitt exakt %d/%d ~ %f" % (s,n,s/n))
</code>

<code python kreisimquadrat.py>
import random
n = 1000000
s = 0
for i in range(n):
    r = random.random()**2+random.random()**2
    if (r<=1):
        s+=1
        
print("Durchschnitt %f, Schätzung für pi ~ %f" % (s/n, s/n*4))
</code>
</hidden>