~~NOTOC~~ ===== Miniaufgaben ===== * Auf jede Lektion (ausser Prüfungslektionen) ist eine Miniaufgabe vorzubereiten. Am Anfang der Lektion wird ein Würfel geworfen. Zeigt der Würfel eine Vier, Fünf oder Sechs, wird eine Aufgabe in Form eines Kurztests geprüft. * Jeder Schüler hat 5 Joker für das ganze Jahr. Diese werden über die [[lehrkraefte:blc:informatik:glf22:crypto:joker-chain|JokerChain]] verwaltet und können bis 23:59 am Vortag eingelöst werden. Bei Einsatz eines Jokers wird der Schüler vom eventuellen Kurztest ersatzlos dispensiert. Zeigt der Würfel 1-3, ist der Joker aber auch aufgebraucht! //Beachten Sie, dass via andere Kanäle keine Joker mehr eingelöst werden können. Bei Problemen werde ich Sie aber nach Möglichkeit unterstützen (mit genügend zeitlichem Vorlauf).// * Der Minikurztest ist auf mitgebrachtem **A4-Papier im Hochformat** zu lösen. Ausgefranste Ränder, zerknittertes Papier, abgerissene Ecken und Übergrössen führen zu **Abzug**. * Der Name ist **oben rechts** zu notieren. * Die Prüfungsblätter können mehrmals verwendet werden, die Aufgaben sind aber sauber abzugrenzen. * Schreiben Sie nicht mit Rot oder einer schlecht lesbaren Farbe, wie z.B. gelb. (Ja, ja, jede Regel hat eine Geschichte). * Der Durchschnitt aller Miniaufgaben zählt als eine volle 6. Prüfungsnote. miniaufgabe.js ==== 22. April 2024 bis 26. April 2024 ==== === Dienstag 23. April 2024 === Leiten Sie von Hand und ohne Unterlagen ab: miniAufgabe("#exonurpolynome","#solnurpolynome", [["a) $f(x)=-\\frac{4}{3}x^{11}-\\frac{1}{9}x^{9}+\\frac{2}{3}x^{3}\\quad$ b) $f(x)=-\\frac{1}{2}x^{12}+\\frac{1}{5}x^{7}+\\frac{1}{2}x^{4}\\quad$ ", "a) $f'(x)=-\\frac{44}{3}x^{10}-x^{8}+2x^{2}\\quad$ b) $f'(x)=-6x^{11}+\\frac{7}{5}x^{6}+2x^{3}\\quad$ "], ["a) $f(x)=-\\frac{4}{3}x^{11}-\\frac{4}{9}x^{6}+\\frac{2}{9}x^{2}\\quad$ b) $f(x)=\\frac{1}{5}x^{12}-\\frac{1}{2}x^{7}+\\frac{4}{3}x^{5}\\quad$ ", "a) $f'(x)=-\\frac{44}{3}x^{10}-\\frac{8}{3}x^{5}+\\frac{4}{9}x\\quad$ b) $f'(x)=\\frac{12}{5}x^{11}-\\frac{7}{2}x^{6}+\\frac{20}{3}x^{4}\\quad$ "], ["a) $f(x)=-\\frac{1}{3}x^{11}-\\frac{1}{2}x^{10}+\\frac{1}{6}x^{5}\\quad$ b) $f(x)=-\\frac{2}{3}x^{11}-\\frac{2}{7}x^{9}+\\frac{2}{9}x^{8}\\quad$ ", "a) $f'(x)=-\\frac{11}{3}x^{10}-5x^{9}+\\frac{5}{6}x^{4}\\quad$ b) $f'(x)=-\\frac{22}{3}x^{10}-\\frac{18}{7}x^{8}+\\frac{16}{9}x^{7}\\quad$ "], ["a) $f(x)=-\\frac{1}{2}x^{9}+\\frac{1}{3}x^{5}-\\frac{3}{8}x^{2}\\quad$ b) $f(x)=-\\frac{4}{3}x^{12}-\\frac{3}{5}x^{11}-\\frac{4}{9}x^{4}\\quad$ ", "a) $f'(x)=-\\frac{9}{2}x^{8}+\\frac{5}{3}x^{4}-\\frac{3}{4}x\\quad$ b) $f'(x)=-16x^{11}-\\frac{33}{5}x^{10}-\\frac{16}{9}x^{3}\\quad$ "], ["a) $f(x)=\\frac{3}{5}x^{12}-\\frac{2}{3}x^{5}+\\frac{1}{4}x^{4}\\quad$ b) $f(x)=\\frac{3}{4}x^{9}-\\frac{3}{7}x^{5}-\\frac{2}{5}x^{2}\\quad$ ", "a) $f'(x)=\\frac{36}{5}x^{11}-\\frac{10}{3}x^{4}+x^{3}\\quad$ b) $f'(x)=\\frac{27}{4}x^{8}-\\frac{15}{7}x^{4}-\\frac{4}{5}x\\quad$ "], ["a) $f(x)=\\frac{2}{3}x^{12}+\\frac{3}{8}x^{8}+\\frac{4}{3}x^{7}\\quad$ b) $f(x)=-\\frac{1}{5}x^{12}-\\frac{1}{3}x^{6}-\\frac{1}{2}x^{3}\\quad$ ", "a) $f'(x)=8x^{11}+3x^{7}+\\frac{28}{3}x^{6}\\quad$ b) $f'(x)=-\\frac{12}{5}x^{11}-2x^{5}-\\frac{3}{2}x^{2}\\quad$ "], ["a) $f(x)=\\frac{1}{4}x^{12}-\\frac{1}{2}x^{10}-\\frac{2}{5}x^{7}\\quad$ b) $f(x)=-\\frac{1}{8}x^{12}-\\frac{1}{5}x^{5}-\\frac{3}{4}x^{4}\\quad$ ", "a) $f'(x)=3x^{11}-5x^{9}-\\frac{14}{5}x^{6}\\quad$ b) $f'(x)=-\\frac{3}{2}x^{11}-x^{4}-3x^{3}\\quad$ "], ["a) $f(x)=\\frac{3}{2}x^{12}-\\frac{2}{3}x^{10}+\\frac{1}{8}x^{3}\\quad$ b) $f(x)=\\frac{3}{4}x^{12}+\\frac{1}{3}x^{9}-\\frac{2}{5}x^{4}\\quad$ ", "a) $f'(x)=18x^{11}-\\frac{20}{3}x^{9}+\\frac{3}{8}x^{2}\\quad$ b) $f'(x)=9x^{11}+3x^{8}-\\frac{8}{5}x^{3}\\quad$ "], ["a) $f(x)=\\frac{4}{9}x^{12}+\\frac{4}{9}x^{6}-\\frac{3}{8}x^{3}\\quad$ b) $f(x)=\\frac{1}{3}x^{6}+\\frac{1}{4}x^{5}+\\frac{2}{3}x^{2}\\quad$ ", "a) $f'(x)=\\frac{16}{3}x^{11}+\\frac{8}{3}x^{5}-\\frac{9}{8}x^{2}\\quad$ b) $f'(x)=2x^{5}+\\frac{5}{4}x^{4}+\\frac{4}{3}x\\quad$ "], ["a) $f(x)=\\frac{1}{8}x^{10}-\\frac{2}{7}x^{8}-\\frac{4}{7}x^{3}\\quad$ b) $f(x)=\\frac{1}{3}x^{12}-\\frac{1}{5}x^{6}-\\frac{1}{2}x^{2}\\quad$ ", "a) $f'(x)=\\frac{5}{4}x^{9}-\\frac{16}{7}x^{7}-\\frac{12}{7}x^{2}\\quad$ b) $f'(x)=4x^{11}-\\frac{6}{5}x^{5}-x\\quad$ "]], "
");
ruby ableiten-von-hand.rb 4
 === Mittwoch 24. April 2024 === Die folgenden Funktionen haben genau zwei Extremalpunkte. Bestimmen Sie diese.miniAufgabe("#exoextrema3tengrades","#solextrema3tengrades", [["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-\\frac{3}{2}x^{2}-10x+2$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-3x-10$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -3, Produkt -10): $\\left(x+2\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{40}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{263}{6}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{40}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(5, -\\frac{263}{6}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}+\\frac{1}{2}x^{2}-12x+4$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}+x-12$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 1, Produkt -12): $\\left(x+4\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=3$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-12}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=3$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{116}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{37}{2}$.
\n$E_1 = \\left(-4, \\frac{116}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(3, -\\frac{37}{2}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-\\frac{1}{2}x^{2}-20x+2$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-x-20$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{158}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{413}{6}$.
\n$E_1 = \\left(-4, \\frac{158}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(5, -\\frac{413}{6}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-\\frac{1}{2}x^{2}-20x+4$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-x-20$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{164}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{401}{6}$.
\n$E_1 = \\left(-4, \\frac{164}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(5, -\\frac{401}{6}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}+\\frac{3}{2}x^{2}-10x+4$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}+3x-10$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 3, Produkt -10): $\\left(x+5\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=2$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=2$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{299}{6}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{22}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-5, \\frac{299}{6}\\right)$ $E_2 = \\left(2, -\\frac{22}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-8x+4$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-2x-8$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{40}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{68}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{40}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{68}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-8x-5$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-2x-8$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{13}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{95}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{13}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{95}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-8x+4$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-2x-8$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{40}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{68}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{40}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(4, -\\frac{68}{3}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}-\\frac{3}{2}x^{2}-10x-3$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}-3x-10$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -3, Produkt -10): $\\left(x+2\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{25}{3}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{293}{6}$.
\n$E_1 = \\left(-2, \\frac{25}{3}\\right)$ $E_2 = \\left(5, -\\frac{293}{6}\\right)$ "], ["$f(x)=\\frac{1}{3}x^{3}+\\frac{1}{2}x^{2}-6x-2$", "Ableitung: $f'(x)=x^{2}+x-6$.
\nNullstellen von $f'(x)$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 1, Produkt -6): $\\left(x+3\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-3$, $x_2=2$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-6}}{2}$ und daraus $x_1=-3$, $x_2=2$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Extremalstellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der zweiten Ableitung überprüfen).
\nDie Extremalpunkte erhalten wir durch Einsetzen: $y_1=f(x_1) = \\frac{23}{2}$ und $y_2=f(x_2)=-\\frac{28}{3}$.
\n$E_1 = \\left(-3, \\frac{23}{2}\\right)$ $E_2 = \\left(2, -\\frac{28}{3}\\right)$ "]], "
");
ruby extremalstellen-von-polynom-3ten-grades.rb 1
 ==== 29. April 2024 bis 3. Mai 2024 ==== === Dienstag 30. April 2024 === Die folgenden Funktionen haben genau zwei Wendestellenkandidaten. Bestimmen Sie diese.miniAufgabe("#exowende4tengrades","#solwende4tengrades", [["$f(x)=x^{4}+4x^{3}-90x^{2}+2x-2$", "$f'(x)=4x^{3}+12x^{2}-180x+2$
\n$f''(x) = 12x^{2}+24x-180 = 12\\left(x^{2}+2x-15\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+2x-15=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -15): $\\left(x+5\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=3$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-15}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=3$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}+2x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x+2$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}+2x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x+2$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-4x^{3}-48x^{2}+3x+3$", "$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}-96x+3$
\n$f''(x) = 12x^{2}-24x-96 = 12\\left(x^{2}-2x-8\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-2x-8=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-72x^{2}-2x-2$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-144x-2$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-144 = 12\\left(x^{2}-x-12\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-12=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -12): $\\left(x+3\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-3$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-12}}{2}$ und daraus $x_1=-3$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}+6x^{3}-60x^{2}+3x-5$", "$f'(x)=4x^{3}+18x^{2}-120x+3$
\n$f''(x) = 12x^{2}+36x-120 = 12\\left(x^{2}+3x-10\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+3x-10=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 3, Produkt -10): $\\left(x+5\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=2$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=2$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-36x^{2}-5x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-72x-5$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-72 = 12\\left(x^{2}-x-6\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-6=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -6): $\\left(x+2\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=3$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-6}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=3$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}-3x-2$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x-3$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}+4x^{3}-48x^{2}+5x+5$", "$f'(x)=4x^{3}+12x^{2}-96x+5$
\n$f''(x) = 12x^{2}+24x-96 = 12\\left(x^{2}+2x-8\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -8): $\\left(x+4\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=2$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=2$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-6x^{3}-60x^{2}-5x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-18x^{2}-120x-5$
\n$f''(x) = 12x^{2}-36x-120 = 12\\left(x^{2}-3x-10\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-3x-10=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -3, Produkt -10): $\\left(x+2\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"]], "
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ruby extremalstellen-von-polynom-3ten-grades.rb 2
 === Mittwoch 1. Mai 2024 === Eine Funktion 3. Grades hat die Form $f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$ mit $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ und $a\neq 0$. Erklären Sie, warum eine Funktion 3. Grades * a) mindestens eine Nullstelle haben muss. * b) entweder genau 2 oder keine lokale Extrema hat. * c) immer genau eine Wendestelle hat. * a) Für betragsmässig genug grosse $x$ dominiert der Term $ax^3$ alle anderen Terme der Funktion. D.h. für $x \to \infty$ hat $f(x)$ das gleiche Vorzeichen wie $a$, für $x \to -\infty$ das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Funktion ist stetig, d.h. der Funktionsgraph macht keine Sprünge und hat keine Lücken. Da der Funktionsgraph für sehr kleine $x$ und sehr grosse $x$ einmal oberhalb und einmal unterhalb der $x$-Achse verläuft, muss er die $x$-Achse dazwischen mindestens einmal schneiden, d.h. die Funktion muss eine Nullstelle haben. * b) Die Ableitung ist eine quadratische Funktion, die genau 2, eine oder keine Nullstellen hat. * Keine Nullstellen, heisst keine Extrema. * Genau eine Nullstelle heisst, die Ableitung hat die Form $f'(x)=u\cdot(x-v)^2$, mit $v$ als «doppelter» Nullstelle (mit $u\neq 0$). Damit ist die zweite Ableitung $f''(x)=2u \cdot (x-v)$ und damit ist $f''(v)=0$ und $v$ ein Wendestellenkandidat. Weiter ist $f'''(x)=2u \neq 0$, womit wir eine echte Wendestelle mit horizontaler Tangente haben, also ein Sattelpunkt und somit keine Extremalstelle. * Zwei Nullstellen heisst, die Ableitung hat als quadratische Funktion die Form $f'(x)=u\cdot(x-v)(x-w) = u(x^2-(v+w)x+vw)$ mit $v \neq w$ den Nullstellen und $u \neq 0$. Die zweite Ableitung ist $f''(x) = u \cdot (2x-(v+w))$ und damit $f''(v)=u(2v-v-w) = u(w-v) \neq 0$ und $f''(w)=u(2w-v-w)=u(v-w) \neq 0$. Damit sind $v$ und $w$ zwei «echte» Extremalstellen von $f$. * c) Die zweite Ableitung ist $f''(x)= 6ax+2b$ und hat genau eine Nullstelle, nämlich $-\frac{b}{3a}$, die immer existiert (wegen $a\neq 0$). Die dritte Ableitung ist konstant $f'''(x)=6a \neq 0$, womit eine Wendestelle vorliegt. ==== Aufgaben vom aktuellen Jahr ==== * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw18-2024|KW18, 29. April 2024: Wendepunkte quartischer Funktionen bestimmen, Aussagen zu Null-, Extremal und Wendestellen allgemeiner kubischer Funktionen beweisen.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw17-2024|KW17, 22. April 2024: Polyonome ableiten, Extremalpunkte kubischer Funktionen bestimmen]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw13-2024|KW13, 25. März 2024: Produkt- und Kettenregel auf Polynomterme anweden. Quotienten- und Kettenregel auf Polynomterme anweden.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw12-2024|KW12, 18. März 2024: Terme als Baum und Computernotation notieren]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw10-2024|KW10, 4. März 2024: Ableiten mit Ketten- und Produktregel, Ableiten mit Ketten- und Quotientenregel]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw09-2024|KW9, 26. Februar 2024: Ableiten mit Kettenregel, Ableiten mit Produktregel]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw08-2024|KW8, 19. Februar 2024: $f'(x)=f(x)\cdot f'(0)$ für $f(x)=a^x$ zeigen, Funktionen als Verknüpfung zweier Funktionen schreiben.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw07-2024|KW7, 12. Februar 2024: $x^2$ und $x^3$ mit Grenzwert ableiten, Polynome mit Regeln ableiten.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw06-2024|KW6, 5. Februar 2024: Grafisch ableiten.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw03-2024|KW3, 15. Januar 2024: Logarithmusgleichungen mit nötigem Basiswechsel]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw02-2024|KW2, 8. Januar 2024: Logarithmengesetze anwenden, Logarthmusgleichung lösen, die auf eine quadratische Gleichung führt]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw51-2023|KW51, 18. Dezember 2023: Logarithmusfunktionen ablesen, Exponentialgleichungen durch Logarthmieren lösen]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw50-2023|KW50, 11. Dezember 2023: Einfache Exponentialgleichungen von Hand ohne Logarithmen, Einfache Logarithmen von Hand]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw49-2023|KW49, 4. Dezember 2023: Exponentialfunktionen ablesen, Exponentialfunktion aus Text]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw48-2023|KW48, 27. November 2023: Wertetabellen von Potenzfunktionen mit rationalen Basen, Funktionsgraphen transformieren einfach]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw47-2023|KW47, 20. November 2023: Potenzgesetze in $\mathbb{N}$ beweisen, Potenzgesetze in Vereinfachungen anwenden.]] * KW46, 13. November 2023: Keine Miniaufgaben * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw45-2023|KW45, 6. November 2023: Arithmetische Reihe berechnen, $a_0$, $a_1$ als quadratische Polynome gegben, berechne $a_2$.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw44-2023|KW44, 30. Oktober 2023: Summenzeichen ausschreiben, Implizite Teilsummen von AF und AG mit Summenzeichen schreiben.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw43-2023|KW43, 23. Oktober 2023: GF oder AF aus drei Gliedern bestimmen (mit Bruchzahlen)]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw39-2023|KW39, 25. September 2023: Parameter von AF aus zwei Gliedern, Parameter von GF aus zwei Gliedern]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw38-2023|KW38, 18. September 2023: Ganzzahlige Potenzen auswendig lernen, AF/GF implizit zu explizit]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw37-2023|KW37, 11. September 2023: Strecke zu gleichseitigem Dreieck ergänzen.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw36-2023|KW36, 4. September 2023: Vektoren auf gewünschte Länge skalieren (mit Brüchen), Strecke zum Quadrat ergänzen.]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw35-2023|KW35, 28. August 2023: Länge von Vektoren in Normalform]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw34-2023|KW34, 21. August 2023: POV-Ray Code für Rotationen und Translation eines orientierten Torus produzieren, Gleichmässige Bewegung beschreiben, in mathematischer Notation und POV-Ray Code]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw33-2023|KW33, 14. August 2023: Kugeln, Zylinder und Kegel in POV-Ray Syntax beschreiben]] === Ältere Aufgaben === * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:zweite-klasse22-23|Aufgaben vom 2. Jahr 22/23]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:erste-klasse21-22|Aufgaben vom 1. Jahr 21/22]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:vierte-klasse19-20|Aufgaben vom 4. Jahr 19/20]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:vierte-klasse18-19|Aufgaben vom 4. Jahr 18/19]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:Dritte-Klasse|Aufgaben vom 3. Jahr 17/18]] * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben:Zweite-Klasse|Aufgaben vom 2. Jahr 16/17]] * [[lehrkraefte:ks:wochenaufgaben|Aufgaben von S. Knaus]]