miniaufgabe.js
==== 3. Januar 2022 bis 7. Januar 2022 ====
=== Donnerstag 6. Januar 2022 ===
Ausrechnen, Resultat als gekürzter Bruch:miniAufgabe("#exokettenbruch","#solkettenbruch",
[["$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{1 + \\frac{1}{5}}}$", "$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{1 + \\frac{1}{5}}} = 1 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{\\frac{6}{5}}} = 1 + \\frac{1}{3 + \\frac{5}{6}} = 1 + \\frac{1}{\\frac{23}{6}} = 1 + \\frac{6}{23} = \\frac{29}{23}$"], ["$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{5}}}$", "$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{5}}} = 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{\\frac{16}{5}}} = 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{5}{16}} = 1 + \\frac{1}{\\frac{37}{16}} = 1 + \\frac{16}{37} = \\frac{53}{37}$"], ["$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{2}}}$", "$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{2}}} = 2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{\\frac{9}{2}}} = 2 + \\frac{1}{3 + \\frac{2}{9}} = 2 + \\frac{1}{\\frac{29}{9}} = 2 + \\frac{9}{29} = \\frac{67}{29}$"], ["$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{4}}}$", "$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{4}}} = 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{\\frac{17}{4}}} = 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{4}{17}} = 2 + \\frac{1}{\\frac{38}{17}} = 2 + \\frac{17}{38} = \\frac{93}{38}$"], ["$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{2}}}$", "$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{2}}} = 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{\\frac{9}{2}}} = 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{2}{9}} = 1 + \\frac{1}{\\frac{20}{9}} = 1 + \\frac{9}{20} = \\frac{29}{20}$"], ["$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{3}}}$", "$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{3}}} = 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{\\frac{10}{3}}} = 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{3}{10}} = 2 + \\frac{1}{\\frac{23}{10}} = 2 + \\frac{10}{23} = \\frac{56}{23}$"], ["$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{5}}}$", "$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{5}}} = 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{\\frac{21}{5}}} = 1 + \\frac{1}{2 + \\frac{5}{21}} = 1 + \\frac{1}{\\frac{47}{21}} = 1 + \\frac{21}{47} = \\frac{68}{47}$"], ["$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{3}}}$", "$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{3}}} = 2 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{\\frac{10}{3}}} = 2 + \\frac{1}{3 + \\frac{3}{10}} = 2 + \\frac{1}{\\frac{33}{10}} = 2 + \\frac{10}{33} = \\frac{76}{33}$"], ["$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{4}}}$", "$\\displaystyle 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{4}}} = 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{1}{\\frac{9}{4}}} = 2 + \\frac{1}{2 + \\frac{4}{9}} = 2 + \\frac{1}{\\frac{22}{9}} = 2 + \\frac{9}{22} = \\frac{53}{22}$"], ["$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{4}}}$", "$\\displaystyle 1 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{4 + \\frac{1}{4}}} = 1 + \\frac{1}{3 + \\frac{1}{\\frac{17}{4}}} = 1 + \\frac{1}{3 + \\frac{4}{17}} = 1 + \\frac{1}{\\frac{55}{17}} = 1 + \\frac{17}{55} = \\frac{72}{55}$"]],
" ", "
");
ruby doppelbrueche-mit-zahlen-und-potenzen.rb 3
=== Freitag 7. Januar 2022 ===
Schreiben Sie das entsprechende Potenzgesetz auf und beweisen Sie es für natürliche Zahlen:miniAufgabe("#exopotenzgesetzebeweisen","#solpotenzgesetzebeweisen",
[["$a^n \\cdot a^m$", "$a^n\\cdot a^m = a^{n+m}$. \n Beweis: $a^n \\cdot a^m = \n \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{Anzahl } n \\text{ Faktoren}} \\cdot\n \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{Anzahl } m \\text{ Faktoren}} =\n \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{Anzahl } n+m \\text{ Faktoren}} =a^{n+m}$"], ["$(a \\cdot b)^n$", "$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$. Beweis: $(a \\cdot b)^n = \n \\underbrace{(a \\cdot b) \\cdot (a \\cdot b) \\cdot \\ldots \\cdot (a \\cdot b)}_{\\text{Anzahl } n \\text{ Klammern}} =\n \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{Anzahl } n \\text{ Faktoren}} \\cdot\n \\underbrace{b\\cdot b \\cdot \\ldots \\cdot b}_{\\text{Anzahl } n \\text{ Faktoren}} = a^n \\cdot b^n$."], ["$\\left(a^n\\right)^m$", "$\\left(a^n\\right)^m = a^{n \\cdot m}$.\n Beweis: $\\left(a^n\\right)^m = \n \\underbrace{a^n\\cdot a^n \\cdot \\ldots \\cdot a^n}_{\\text{Anzahl } m \\text{ Potenzen}} =\n \\underbrace{\\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{Anzahl } \\text{$n$ Faktoren}}\\right)\\cdot \\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{Anzahl } \\text{$n$ Faktoren}}\\right) \\cdot \\ldots \\cdot \\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{Anzahl } \\text{$n$ Faktoren}}\\right)}_{\\text{Anzahl } m \\text{ Klammern}} =\n a^{n \\cdot m}$."], ["$\\frac{a^n}{a^m}$ für $n \\geq m$", "$\\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$. Beweis\n $\\frac{a^n}{a^m} = \\frac{ \\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{\\text{Anzahl } n \\text{ Faktoren}}}{\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{Anzahl } m \\text{ Faktoren}}} \\stackrel{\\text{Anzahl } m \\text{ Faktoren kürzen}}{=} \\frac{\\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{\\text{Anzahl } n-m \\text{ Faktoren}}}{1} = a^{n-m}$."], ["$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n$", "$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\frac{a^n}{b^n}$. Beweis:\n $\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\underbrace{\\frac{a}{b}\\cdot \\frac{a}{b} \\cdot \\ldots \\cdot \\frac{a}{b}}_{\\text{Anzahl } m \\text{ Brüche}} =\n \\frac{\\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{\\text{Anzahl } n \\text{ Faktoren}}}{\\underbrace{b\\cdot b \\cdot \\ldots \\cdot b}_{\\text{Anzahl } n \\text{ Faktoren}}} =\n \\frac{a^n}{b^n}$."]],
"
", "
");
ruby potenzgesetzebeweisen.rb 1