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  miniaufgabe.js
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==== 8. Januar 2024 bis 12. Januar 2024 ====
=== Montag 8. Januar 2024 ===

Wenden Sie Logarithmengesetze an und schreiben Sie als Summe von Vielfachen von $\log_a(x)$ und $\log_a(y)$.<JS>miniAufgabe("#exoexpgleichungen3","#solexpgleichungen3",
[["$\\log_a\\left(\\left(x^{6} y^{-2}\\right)^{-5}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{2}\\right)^{3}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{6} y^{-2}\\right)^{-5}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{2}\\right)^{3}\\right) = \\log_a\\left(x^{-30} y^{10}\\right) + \\log_a\\left(x^{-12} y^{6}\\right) = \\log_a\\left(x^{-30}\\right) + \\log_a\\left(y^{10}\\right) + \\log_a\\left(x^{-12}\\right) + \\log_a\\left(y^{6}\\right) =$\n<br>$-30\\log_a\\left(x\\right) +10 \\log_a\\left(y\\right)-12\\log_a\\left(x\\right) +6 \\log_a\\left(y\\right) = -42 \\log_a(x) +16\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{5}\\right)^{-6}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{5}\\right)^{4}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{5}\\right)^{-6}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{5}\\right)^{4}\\right) = \\log_a\\left(x^{24} y^{-30}\\right) + \\log_a\\left(x^{-16} y^{20}\\right) = \\log_a\\left(x^{24}\\right) + \\log_a\\left(y^{-30}\\right) + \\log_a\\left(x^{-16}\\right) + \\log_a\\left(y^{20}\\right) =$\n<br>$24\\log_a\\left(x\\right) -30 \\log_a\\left(y\\right)-16\\log_a\\left(x\\right) +20 \\log_a\\left(y\\right) = 8 \\log_a(x) -10\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{2}\\right)^{5}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{2}\\right)^{-3}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{2}\\right)^{5}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{2}\\right)^{-3}\\right) = \\log_a\\left(x^{-20} y^{10}\\right) + \\log_a\\left(x^{12} y^{-6}\\right) = \\log_a\\left(x^{-20}\\right) + \\log_a\\left(y^{10}\\right) + \\log_a\\left(x^{12}\\right) + \\log_a\\left(y^{-6}\\right) =$\n<br>$-20\\log_a\\left(x\\right) +10 \\log_a\\left(y\\right)+12\\log_a\\left(x\\right) -6 \\log_a\\left(y\\right) = -8 \\log_a(x) +4\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{5} y^{-2}\\right)^{3}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{5} y^{-3}\\right)^{-6}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{5} y^{-2}\\right)^{3}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{5} y^{-3}\\right)^{-6}\\right) = \\log_a\\left(x^{15} y^{-6}\\right) + \\log_a\\left(x^{-30} y^{18}\\right) = \\log_a\\left(x^{15}\\right) + \\log_a\\left(y^{-6}\\right) + \\log_a\\left(x^{-30}\\right) + \\log_a\\left(y^{18}\\right) =$\n<br>$15\\log_a\\left(x\\right) -6 \\log_a\\left(y\\right)-30\\log_a\\left(x\\right) +18 \\log_a\\left(y\\right) = -15 \\log_a(x) +12\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{2} y^{-6}\\right)^{-3}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-5} y^{6}\\right)^{4}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{2} y^{-6}\\right)^{-3}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-5} y^{6}\\right)^{4}\\right) = \\log_a\\left(x^{-6} y^{18}\\right) + \\log_a\\left(x^{-20} y^{24}\\right) = \\log_a\\left(x^{-6}\\right) + \\log_a\\left(y^{18}\\right) + \\log_a\\left(x^{-20}\\right) + \\log_a\\left(y^{24}\\right) =$\n<br>$-6\\log_a\\left(x\\right) +18 \\log_a\\left(y\\right)-20\\log_a\\left(x\\right) +24 \\log_a\\left(y\\right) = -26 \\log_a(x) +42\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{-2} y^{5}\\right)^{-3}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{3} y^{-6}\\right)^{6}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{-2} y^{5}\\right)^{-3}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{3} y^{-6}\\right)^{6}\\right) = \\log_a\\left(x^{6} y^{-15}\\right) + \\log_a\\left(x^{18} y^{-36}\\right) = \\log_a\\left(x^{6}\\right) + \\log_a\\left(y^{-15}\\right) + \\log_a\\left(x^{18}\\right) + \\log_a\\left(y^{-36}\\right) =$\n<br>$6\\log_a\\left(x\\right) -15 \\log_a\\left(y\\right)+18\\log_a\\left(x\\right) -36 \\log_a\\left(y\\right) = 24 \\log_a(x) -51\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{6} y^{-4}\\right)^{4}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-2} y^{6}\\right)^{-5}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{6} y^{-4}\\right)^{4}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-2} y^{6}\\right)^{-5}\\right) = \\log_a\\left(x^{24} y^{-16}\\right) + \\log_a\\left(x^{10} y^{-30}\\right) = \\log_a\\left(x^{24}\\right) + \\log_a\\left(y^{-16}\\right) + \\log_a\\left(x^{10}\\right) + \\log_a\\left(y^{-30}\\right) =$\n<br>$24\\log_a\\left(x\\right) -16 \\log_a\\left(y\\right)+10\\log_a\\left(x\\right) -30 \\log_a\\left(y\\right) = 34 \\log_a(x) -46\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{3}\\right)^{4}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{3} y^{-6}\\right)^{-2}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{-4} y^{3}\\right)^{4}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{3} y^{-6}\\right)^{-2}\\right) = \\log_a\\left(x^{-16} y^{12}\\right) + \\log_a\\left(x^{-6} y^{12}\\right) = \\log_a\\left(x^{-16}\\right) + \\log_a\\left(y^{12}\\right) + \\log_a\\left(x^{-6}\\right) + \\log_a\\left(y^{12}\\right) =$\n<br>$-16\\log_a\\left(x\\right) +12 \\log_a\\left(y\\right)-6\\log_a\\left(x\\right) +12 \\log_a\\left(y\\right) = -22 \\log_a(x) +24\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{-2} y^{6}\\right)^{-4}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-3} y^{6}\\right)^{6}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{-2} y^{6}\\right)^{-4}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{-3} y^{6}\\right)^{6}\\right) = \\log_a\\left(x^{8} y^{-24}\\right) + \\log_a\\left(x^{-18} y^{36}\\right) = \\log_a\\left(x^{8}\\right) + \\log_a\\left(y^{-24}\\right) + \\log_a\\left(x^{-18}\\right) + \\log_a\\left(y^{36}\\right) =$\n<br>$8\\log_a\\left(x\\right) -24 \\log_a\\left(y\\right)-18\\log_a\\left(x\\right) +36 \\log_a\\left(y\\right) = -10 \\log_a(x) +12\\log_a(y)$"], ["$\\log_a\\left(\\left(x^{3} y^{-5}\\right)^{5}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{3} y^{-2}\\right)^{-2}\\right)$", "$\\log_a\\left(\\left(x^{3} y^{-5}\\right)^{5}\\right) + \\log_a\\left(\\left(x^{3} y^{-2}\\right)^{-2}\\right) = \\log_a\\left(x^{15} y^{-25}\\right) + \\log_a\\left(x^{-6} y^{4}\\right) = \\log_a\\left(x^{15}\\right) + \\log_a\\left(y^{-25}\\right) + \\log_a\\left(x^{-6}\\right) + \\log_a\\left(y^{4}\\right) =$\n<br>$15\\log_a\\left(x\\right) -25 \\log_a\\left(y\\right)-6\\log_a\\left(x\\right) +4 \\log_a\\left(y\\right) = 9 \\log_a(x) -21\\log_a(y)$"]],
" <hr> ", " <hr> ");
</JS>
<HTML>
<div id="exoexpgleichungen3"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solexpgleichungen3"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby exponential-gleichungen-und-logarithmen.rb 3</div>
</HTML>

</hidden>

=== Dienstag 9. Januar 2024 ===
Lösen Sie folgende Logarithmusgleichung:<JS>miniAufgabe("#exoexpgleichungen4","#solexpgleichungen4",
[["$\\log_{8}(-1x+6) + \\log_{8}(-2x-2) = \\log_{8}(-5x-14)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{8}(-1x+6) + \\log_{8}(-2x-2) & = \\log_{8}(-5x-14) && |8^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(-1x+6)(-2x-2) & = (-5x-14) && |\\text{TU}\\\\\n2x^2-10x-12 & = -5x-14 && |\\text{TU}\\\\\n2x^2-5x+2 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 25-16 = 9$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{5 \\pm 3}{4}$<br>\n$x_1 = 2$ und $x_2 = \\frac{1}{2}$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=2: \\quad \\quad$$-1x+6 = 4 >0$ und $-2x-2 = -6 \\leq 0$ und $-5x-14 = -24 \\leq 0$. Damit ist $x=2$ keine Lösung.<br>\nFür $x=\\frac{1}{2}: \\quad \\quad$$-1x+6 = \\frac{11}{2} >0$ und $-2x-2 = -3 \\leq 0$ und $-5x-14 = -\\frac{33}{2} \\leq 0$. Damit ist $x=\\frac{1}{2}$ keine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{2}(-1x+4) + \\log_{2}(-2x+3) = \\log_{2}(-6x+10)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{2}(-1x+4) + \\log_{2}(-2x+3) & = \\log_{2}(-6x+10) && |2^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(-1x+4)(-2x+3) & = (-6x+10) && |\\text{TU}\\\\\n2x^2-11x+12 & = -6x+10 && |\\text{TU}\\\\\n2x^2-5x+2 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 25-16 = 9$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{5 \\pm 3}{4}$<br>\n$x_1 = 2$ und $x_2 = \\frac{1}{2}$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=2: \\quad \\quad$$-1x+4 = 2 >0$ und $-2x+3 = -1 \\leq 0$ und $-6x+10 = -2 \\leq 0$. Damit ist $x=2$ keine Lösung.<br>\nFür $x=\\frac{1}{2}: \\quad \\quad$$-1x+4 = \\frac{7}{2} >0$ und $-2x+3 = 2 >0$ und $-6x+10 = 7 >0$. Damit ist $x=\\frac{1}{2}$ eine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{6}(-1x+4) + \\log_{6}(1x+9) = \\log_{6}(-8x+38)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{6}(-1x+4) + \\log_{6}(1x+9) & = \\log_{6}(-8x+38) && |6^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(-1x+4)(1x+9) & = (-8x+38) && |\\text{TU}\\\\\n-1x^2-5x+36 & = -8x+38 && |\\text{TU}\\\\\n-1x^2+3x-2 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 9-8 = 1$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-3 \\pm 1}{-2}$<br>\n$x_1 = 1$ und $x_2 = 2$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=1: \\quad \\quad$$-1x+4 = 3 >0$ und $1x+9 = 10 >0$ und $-8x+38 = 30 >0$. Damit ist $x=1$ eine Lösung.<br>\nFür $x=2: \\quad \\quad$$-1x+4 = 2 >0$ und $1x+9 = 11 >0$ und $-8x+38 = 22 >0$. Damit ist $x=2$ eine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{10}(1x-7) + \\log_{10}(1x+5) = \\log_{10}(-6x-39)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{10}(1x-7) + \\log_{10}(1x+5) & = \\log_{10}(-6x-39) && |10^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(1x-7)(1x+5) & = (-6x-39) && |\\text{TU}\\\\\n1x^2-2x-35 & = -6x-39 && |\\text{TU}\\\\\n1x^2+4x+4 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 16-16 = 0$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-4 \\pm 0}{2}$<br>\n$x_1 = -2$ und $x_2 = -2$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=-2: \\quad \\quad$$1x-7 = -9 \\leq 0$ und $1x+5 = 3 >0$ und $-6x-39 = -27 \\leq 0$. Damit ist $x=-2$ keine Lösung.<br>\nFür $x=-2: \\quad \\quad$$1x-7 = -9 \\leq 0$ und $1x+5 = 3 >0$ und $-6x-39 = -27 \\leq 0$. Damit ist $x=-2$ keine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{9}(1x+2) + \\log_{9}(1x+4) = \\log_{9}(5x+10)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{9}(1x+2) + \\log_{9}(1x+4) & = \\log_{9}(5x+10) && |9^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(1x+2)(1x+4) & = (5x+10) && |\\text{TU}\\\\\n1x^2+6x+8 & = 5x+10 && |\\text{TU}\\\\\n1x^2+1x-2 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 1+8 = 9$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-1 \\pm 3}{2}$<br>\n$x_1 = 1$ und $x_2 = -2$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=1: \\quad \\quad$$1x+2 = 3 >0$ und $1x+4 = 5 >0$ und $5x+10 = 15 >0$. Damit ist $x=1$ eine Lösung.<br>\nFür $x=-2: \\quad \\quad$$1x+2 = 0 \\leq 0$ und $1x+4 = 2 >0$ und $5x+10 = 0 \\leq 0$. Damit ist $x=-2$ keine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{2}(1x+9) + \\log_{2}(-1x+3) = \\log_{2}(-7x+25)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{2}(1x+9) + \\log_{2}(-1x+3) & = \\log_{2}(-7x+25) && |2^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(1x+9)(-1x+3) & = (-7x+25) && |\\text{TU}\\\\\n-1x^2-6x+27 & = -7x+25 && |\\text{TU}\\\\\n-1x^2+1x+2 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 1+8 = 9$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-1 \\pm 3}{-2}$<br>\n$x_1 = -1$ und $x_2 = 2$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=-1: \\quad \\quad$$1x+9 = 8 >0$ und $-1x+3 = 4 >0$ und $-7x+25 = 32 >0$. Damit ist $x=-1$ eine Lösung.<br>\nFür $x=2: \\quad \\quad$$1x+9 = 11 >0$ und $-1x+3 = 1 >0$ und $-7x+25 = 11 >0$. Damit ist $x=2$ eine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{5}(-2x-9) + \\log_{5}(-1x+4) = \\log_{5}(-4x-38)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{5}(-2x-9) + \\log_{5}(-1x+4) & = \\log_{5}(-4x-38) && |5^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(-2x-9)(-1x+4) & = (-4x-38) && |\\text{TU}\\\\\n2x^2+1x-36 & = -4x-38 && |\\text{TU}\\\\\n2x^2+5x+2 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 25-16 = 9$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-5 \\pm 3}{4}$<br>\n$x_1 = -\\frac{1}{2}$ und $x_2 = -2$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=-\\frac{1}{2}: \\quad \\quad$$-2x-9 = -8 \\leq 0$ und $-1x+4 = \\frac{9}{2} >0$ und $-4x-38 = -36 \\leq 0$. Damit ist $x=-\\frac{1}{2}$ keine Lösung.<br>\nFür $x=-2: \\quad \\quad$$-2x-9 = -5 \\leq 0$ und $-1x+4 = 6 >0$ und $-4x-38 = -30 \\leq 0$. Damit ist $x=-2$ keine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{11}(-1x+5) + \\log_{11}(1x+2) = \\log_{11}(3x+6)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{11}(-1x+5) + \\log_{11}(1x+2) & = \\log_{11}(3x+6) && |11^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(-1x+5)(1x+2) & = (3x+6) && |\\text{TU}\\\\\n-1x^2+3x+10 & = 3x+6 && |\\text{TU}\\\\\n-1x^2+0x+4 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 0+16 = 16$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{0 \\pm 4}{-2}$<br>\n$x_1 = -2$ und $x_2 = 2$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=-2: \\quad \\quad$$-1x+5 = 7 >0$ und $1x+2 = 0 \\leq 0$ und $3x+6 = 0 \\leq 0$. Damit ist $x=-2$ keine Lösung.<br>\nFür $x=2: \\quad \\quad$$-1x+5 = 3 >0$ und $1x+2 = 4 >0$ und $3x+6 = 12 >0$. Damit ist $x=2$ eine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{4}(1x+7) + \\log_{4}(-1x+4) = \\log_{4}(-7x+32)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{4}(1x+7) + \\log_{4}(-1x+4) & = \\log_{4}(-7x+32) && |4^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(1x+7)(-1x+4) & = (-7x+32) && |\\text{TU}\\\\\n-1x^2-3x+28 & = -7x+32 && |\\text{TU}\\\\\n-1x^2+4x-4 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 16-16 = 0$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-4 \\pm 0}{-2}$<br>\n$x_1 = 2$ und $x_2 = 2$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=2: \\quad \\quad$$1x+7 = 9 >0$ und $-1x+4 = 2 >0$ und $-7x+32 = 18 >0$. Damit ist $x=2$ eine Lösung.<br>\nFür $x=2: \\quad \\quad$$1x+7 = 9 >0$ und $-1x+4 = 2 >0$ und $-7x+32 = 18 >0$. Damit ist $x=2$ eine Lösung.<br>\n"], ["$\\log_{4}(-1x+3) + \\log_{4}(-1x-4) = \\log_{4}(-3x-16)$", "\\[\\begin{align*} \\log_{4}(-1x+3) + \\log_{4}(-1x-4) & = \\log_{4}(-3x-16) && |4^{(\\cdot)} \\quad \\text{ Probe am Schluss!}\\\\\n(-1x+3)(-1x-4) & = (-3x-16) && |\\text{TU}\\\\\n1x^2+1x-12 & = -3x-16 && |\\text{TU}\\\\\n1x^2+4x+4 & = 0 \\end{align*}\\]\n\nQuadratische Gleichung mit $D=b^2-4ac = 16-16 = 0$<br>\nLösungen $x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-4 \\pm 0}{2}$<br>\n$x_1 = -2$ und $x_2 = -2$.<br>\nProbe, ob alle Argumente der Logarithmen positiv sind:<br>\nFür $x=-2: \\quad \\quad$$-1x+3 = 5 >0$ und $-1x-4 = -2 \\leq 0$ und $-3x-16 = -10 \\leq 0$. Damit ist $x=-2$ keine Lösung.<br>\nFür $x=-2: \\quad \\quad$$-1x+3 = 5 >0$ und $-1x-4 = -2 \\leq 0$ und $-3x-16 = -10 \\leq 0$. Damit ist $x=-2$ keine Lösung.<br>\n"]],
" <hr> ", " <hr> ");
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<div id="exoexpgleichungen4"></div>

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<hidden Lösungen>

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<div id="solexpgleichungen4"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby exponential-gleichungen-und-logarithmen.rb 4</div>
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