<PRELOAD>
  miniaufgabe.js
</PRELOAD>


==== 16. Januar 2023 bis 20. Januar 2023 ====
=== Dienstag 17. Januar 2023 ===
Für den gegebenen Winkel $\alpha$, geben Sie die exakten Werte für $\cos(\alpha)$, $\sin(\alpha)$ und $\tan(\alpha)$ an. Erklären Sie mit einer Skizze eines speziellen Dreiecks, wie diese Werte berechnet werden können. Alle Nenner sind wurzelfrei anzugeben!<JS>miniAufgabe("#exotrig-wert-exakt1","#soltrig-wert-exakt1",
[["$\\alpha=30^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(30^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(30^\\circ\\right) = \\frac{1}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(30^\\circ) = \\frac{\\sin(30^\\circ)}{\\cos(30^\\circ)} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha=60^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(60^\\circ\\right) = \\frac{1}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(60^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(60^\\circ) = \\frac{\\sin(60^\\circ)}{\\cos(60^\\circ)} = \\sqrt{3}$"], ["$\\alpha=120^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(120^\\circ\\right) = -\\frac{1}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(120^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(120^\\circ) = \\frac{\\sin(120^\\circ)}{\\cos(120^\\circ)} = -\\sqrt{3}$"], ["$\\alpha=150^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(150^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(150^\\circ\\right) = \\frac{1}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(150^\\circ) = \\frac{\\sin(150^\\circ)}{\\cos(150^\\circ)} = -\\frac{1}{\\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha=210^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(210^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(210^\\circ\\right) = -\\frac{1}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(210^\\circ) = \\frac{\\sin(210^\\circ)}{\\cos(210^\\circ)} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha=240^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(240^\\circ\\right) = -\\frac{1}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(240^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(240^\\circ) = \\frac{\\sin(240^\\circ)}{\\cos(240^\\circ)} = \\sqrt{3}$"], ["$\\alpha=300^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(300^\\circ\\right) = \\frac{1}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(300^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(300^\\circ) = \\frac{\\sin(300^\\circ)}{\\cos(300^\\circ)} = -\\sqrt{3}$"], ["$\\alpha=330^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(330^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(330^\\circ\\right) = -\\frac{1}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(330^\\circ) = \\frac{\\sin(330^\\circ)}{\\cos(330^\\circ)} = -\\frac{1}{\\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha=45^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck  mit Hypotenuse 1 («Halbes Quadrat»). Damit haben die Katheten die Länge $\\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(45^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(45^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(45^\\circ) = \\frac{\\sin(45^\\circ)}{\\cos(45^\\circ)} = 1$"], ["$\\alpha=135^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck  mit Hypotenuse 1 («Halbes Quadrat»). Damit haben die Katheten die Länge $\\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(135^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(135^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(135^\\circ) = \\frac{\\sin(135^\\circ)}{\\cos(135^\\circ)} = -1$"], ["$\\alpha=225^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck  mit Hypotenuse 1 («Halbes Quadrat»). Damit haben die Katheten die Länge $\\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(225^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(225^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(225^\\circ) = \\frac{\\sin(225^\\circ)}{\\cos(225^\\circ)} = 1$"], ["$\\alpha=315^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck  mit Hypotenuse 1 («Halbes Quadrat»). Damit haben die Katheten die Länge $\\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist<br>$\\displaystyle \\cos\\left(315^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(315^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$<br>$\\displaystyle \\tan(315^\\circ) = \\frac{\\sin(315^\\circ)}{\\cos(315^\\circ)} = -1$"]],
" &nbsp; &nbsp; ", " <hr> ");
</JS>
<HTML>
<div id="exotrig-wert-exakt1"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="soltrig-wert-exakt1"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby trigwerte-exakt.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>

=== Donnerstag 19. Januar 2023 ===
Machen Sie brauchbar genaue Handskizze vom rechtwinkligen Dreieck $ABC$ (mit rechtem Winkel $\gamma$ in $C$), zeichnen Sie die gegebenen Grössen ein und berechnen Sie die Längen der zwei fehlenden Seiten auf 3 Nachkommastellen genau. Überprüfen Sie Ihre Resultate auf Plausibilität anhand Ihrer Skizze!<JS>miniAufgabe("#exogagahhag1","#solgagahhag1",
[["$a=6$, $\\alpha=26^\\circ$", "$\\sin(\\alpha) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\sin(\\alpha)} \\approx 13.687$<br> $\\tan(\\alpha) = \\frac{a}{b}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=\\frac{a}{\\tan(\\alpha)} \\approx 12.302$"], ["$a=8$, $\\alpha=72^\\circ$", "$\\sin(\\alpha) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\sin(\\alpha)} \\approx 8.412$<br> $\\tan(\\alpha) = \\frac{a}{b}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=\\frac{a}{\\tan(\\alpha)} \\approx 2.599$"], ["$c=10$, $\\beta=37^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 7.986$<br>$\\sin(\\beta) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\sin(\\beta) \\approx 6.018$"], ["$a=8$, $\\alpha=64^\\circ$", "$\\sin(\\alpha) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\sin(\\alpha)} \\approx 8.901$<br> $\\tan(\\alpha) = \\frac{a}{b}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=\\frac{a}{\\tan(\\alpha)} \\approx 3.902$"], ["$c=10$, $\\beta=48^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 6.691$<br>$\\sin(\\beta) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\sin(\\beta) \\approx 7.431$"], ["$a=9$, $\\beta=38^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\cos(\\beta)} \\approx 11.421$<br> $\\tan(\\beta) = \\frac{b}{a}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=a \\cdot \\tan(\\beta) \\approx 7.032$"], ["$c=8$, $\\beta=17^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 7.650$<br>$\\sin(\\beta) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\sin(\\beta) \\approx 2.339$"], ["$a=5$, $\\beta=39^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\cos(\\beta)} \\approx 6.434$<br> $\\tan(\\beta) = \\frac{b}{a}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=a \\cdot \\tan(\\beta) \\approx 4.049$"], ["$c=8$, $\\alpha=46^\\circ$", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 5.557$<br>$\\sin(\\alpha) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\sin(\\alpha) \\approx 5.755$"], ["$c=8$, $\\beta=28^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 7.064$<br>$\\sin(\\beta) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\sin(\\beta) \\approx 3.756$"], ["$c=13$, $\\beta=54^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 7.641$<br>$\\sin(\\beta) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\sin(\\beta) \\approx 10.517$"], ["$c=6$, $\\alpha=72^\\circ$", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 1.854$<br>$\\sin(\\alpha) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\sin(\\alpha) \\approx 5.706$"], ["$a=8$, $\\beta=38^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\cos(\\beta)} \\approx 10.152$<br> $\\tan(\\beta) = \\frac{b}{a}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=a \\cdot \\tan(\\beta) \\approx 6.250$"], ["$c=8$, $\\alpha=56^\\circ$", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 4.474$<br>$\\sin(\\alpha) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\sin(\\alpha) \\approx 6.632$"], ["$c=13$, $\\beta=76^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=c\\cdot \\cos(\\alpha) \\approx 3.145$<br>$\\sin(\\beta) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=c\\cdot \\sin(\\beta) \\approx 12.614$"], ["$a=5$, $\\alpha=65^\\circ$", "$\\sin(\\alpha) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\sin(\\alpha)} \\approx 5.517$<br> $\\tan(\\alpha) = \\frac{a}{b}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=\\frac{a}{\\tan(\\alpha)} \\approx 2.332$"], ["$a=11$, $\\beta=12^\\circ$", "$\\cos(\\beta) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\cos(\\beta)} \\approx 11.246$<br> $\\tan(\\beta) = \\frac{b}{a}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=a \\cdot \\tan(\\beta) \\approx 2.338$"], ["$b=5$, $\\alpha=21^\\circ$", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{b}{\\cos(\\alpha)} \\approx 5.356$<br> $\\tan(\\alpha) = \\frac{a}{b}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=b \\cdot \\tan(\\alpha) \\approx 1.919$"], ["$b=6$, $\\alpha=71^\\circ$", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{b}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{b}{\\cos(\\alpha)} \\approx 18.429$<br> $\\tan(\\alpha) = \\frac{a}{b}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{a}=b \\cdot \\tan(\\alpha) \\approx 17.425$"], ["$a=10$, $\\alpha=73^\\circ$", "$\\sin(\\alpha) = \\frac{a}{c}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{c}=\\frac{a}{\\sin(\\alpha)} \\approx 10.457$<br> $\\tan(\\alpha) = \\frac{a}{b}$, $\\qquad$ also $\\mathbf{b}=\\frac{a}{\\tan(\\alpha)} \\approx 3.057$"]],
" <hr> ", " <hr> ");
</JS>
<HTML>
<div id="exogagahhag1"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
Die zweite fehlende Seite könnte auch über andere trigonometrische Funktionen und die erste fehlende Seite berechnet werden, oder via Pythagoras.
<HTML>
<div id="solgagahhag1"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby trigonometrie-im-rechtwinkligen-dreieck.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>