miniaufgabe.js
==== 19. Februar 2024 bis 23. Februar 2024 ====
=== Dienstag 20. Februar 2024 ===
Gegeben ist $f(x)=a^x$ mit reller positiver Basis $a$ mit $a \neq 1$.
Zeigen Sie mit Hilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten, dass $\left(f(x)\right)' = f(x) \cdot f'(0)$.
\[
\begin{multline*}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} = \\
\lim_{h \to 0} \frac{a^x \cdot a^h-a^x}{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{a^x \cdot \left(a^h-1\right)}{h} = \\
a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{0+h}-a^0}{h} = a^x \cdot f'(0)
\end{multline*}
\]
=== Mittwoch 21. Februar 2024 ===
Schreiben Sie die Funktion $k(x)$ als Verknüpfung $f(g(x))$, zweier nicht-trivialen Funktionen $f(x)$ und $g(x)$. (Eine triviale Funktion wäre $f(x)=x$):
miniAufgabe("#exofunktionenentschachteln","#solfunktionenentschachteln",
[["$k(x)=\\mathrm{e}^{x^4}$", "$f(x)=\\mathrm{e}^x,\\quad g(x)=x^4$"], ["$k(x)=\\left(\\mathrm{e}^x\\right)^4$", "$f(x)=x^4,\\quad g(x)=\\mathrm{e}^x$"], ["$k(x)=\\ln\\left(x^5+x^4\\right)$", "$f(x)=\\ln(x),\\quad g(x)=x^5+x^4$"], ["$k(x)=\\left(\\ln(x)\\right)^4$", "$f(x)=x^4,\\quad g(x)=\\ln(x)$"], ["$k(x)=\\sqrt{\\ln(x)}$", "$f(x)=\\sqrt{x},\\quad g(x)=\\ln(x)$"], ["$k(x)=\\mathrm{e}^{\\sqrt{x}}$", "$f(x)=\\mathrm{e}^x,\\quad g(x)=\\sqrt{x}$"], ["$k(x)=\\ln\\left(\\sqrt{x}\\right)$", "$f(x)=\\ln(x),\\quad g(x)=\\sqrt{x}$"], ["$k(x)=\\mathrm{e}^{\\mathrm{e}^x}$", "$f(x)=\\mathrm{e}^x,\\quad g(x)=\\mathrm{e}^x$"], ["$k(x)=\\ln(\\ln(x))$", "$f(x)=\\ln(x),\\quad g(x)=\\ln(x)$"], ["$k(x)=\\sqrt{\\sqrt{x}}$", "$f(x)=\\sqrt{x},\\quad g(x)=\\sqrt{x}$"], ["$k(x)=\\left(x^4+1\\right)^9$", "$f(x)=x^9,\\quad g(x)=x^4+1$"]],
" $\\qquad$ ", " $\\qquad$ ", 3);
ruby funktionenentschachteln.rb