miniaufgabe.js
==== 28. März 2022 bis 1. April 2022 ====
=== Donnerstag 31. März 2022 ===
Lösen Sie nach $x$ auf.miniAufgabe("#exolinungl_ohne_param","#sollinungl_ohne_param",
[["$\\displaystyle \\left(x+\\frac{6}{5}\\right)^{2}-\\frac{8}{5}-6x < \\left(x+\\frac{4}{5}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{4}{5}\\right)$", "\\begin{align} \\left(x+\\frac{6}{5}\\right)^{2}-\\frac{8}{5}-6x & < \\left(x+\\frac{4}{5}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{4}{5}\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}+\\frac{12}{5}x-6x+\\frac{36}{25}-\\frac{8}{5} & < x^{2}-\\frac{16}{25}&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-\\frac{18}{5}x-\\frac{4}{25} & < x^{2}-\\frac{16}{25}&&|-x^{2} \\\\\n-\\frac{18}{5}x-\\frac{4}{25} & < -\\frac{16}{25}&&|+\\frac{4}{25}\\\\\n-\\frac{18}{5}x & < -\\frac{12}{25}&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -\\frac{18}{5} & < -\\frac{12}{25}&&|: -\\frac{18}{5}\\\\\nx & > \\frac{-\\frac{12}{25}}{-\\frac{18}{5}}&&|\\text{TU}\\\\\nx & > \\frac{2}{15}\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x+3\\right)^{2}-9-7x < \\left(x+6\\right) \\cdot \\left(x-6\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x+3\\right)^{2}-9-7x & < \\left(x+6\\right) \\cdot \\left(x-6\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}+6x-7x+9-9 & < x^{2}-36&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-x & < x^{2}-36&&|-x^{2} \\\\\n-x & < -36&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -1 & < -36&&|: -1\\\\\nx & > \\frac{-36}{-1}&&|\\text{TU}\\\\\nx & > 36\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x-3\\right)^{2}-\\frac{9}{4}-5x < \\left(x+\\frac{3}{2}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{3}{2}\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x-3\\right)^{2}-\\frac{9}{4}-5x & < \\left(x+\\frac{3}{2}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{3}{2}\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-5x-6x+9-\\frac{9}{4} & < x^{2}-\\frac{9}{4}&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-11x+\\frac{27}{4} & < x^{2}-\\frac{9}{4}&&|-x^{2} \\\\\n-11x+\\frac{27}{4} & < -\\frac{9}{4}&&|-\\frac{27}{4}\\\\\n-11x & < -9&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -11 & < -9&&|: -11\\\\\nx & > \\frac{-9}{-11}&&|\\text{TU}\\\\\nx & > \\frac{9}{11}\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x-\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{9}{4}-7x < \\left(x+3\\right) \\cdot \\left(x-3\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x-\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{9}{4}-7x & < \\left(x+3\\right) \\cdot \\left(x-3\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x-7x+\\frac{9}{4}-\\frac{9}{4} & < x^{2}-9&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-10x & < x^{2}-9&&|-x^{2} \\\\\n-10x & < -9&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -10 & < -9&&|: -10\\\\\nx & > \\frac{-9}{-10}&&|\\text{TU}\\\\\nx & > \\frac{9}{10}\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x+\\frac{6}{5}\\right)^{2}-\\frac{8}{5}-5x > \\left(x+\\frac{4}{5}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{4}{5}\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x+\\frac{6}{5}\\right)^{2}-\\frac{8}{5}-5x & > \\left(x+\\frac{4}{5}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{4}{5}\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}+\\frac{12}{5}x-5x+\\frac{36}{25}-\\frac{8}{5} & > x^{2}-\\frac{16}{25}&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-\\frac{13}{5}x-\\frac{4}{25} & > x^{2}-\\frac{16}{25}&&|-x^{2} \\\\\n-\\frac{13}{5}x-\\frac{4}{25} & > -\\frac{16}{25}&&|+\\frac{4}{25}\\\\\n-\\frac{13}{5}x & > -\\frac{12}{25}&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -\\frac{13}{5} & > -\\frac{12}{25}&&|: -\\frac{13}{5}\\\\\nx & < \\frac{-\\frac{12}{25}}{-\\frac{13}{5}}&&|\\text{TU}\\\\\nx & < \\frac{12}{65}\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}+\\frac{21}{4}-6x \\geq \\left(x-3\\right) \\cdot \\left(x+3\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}+\\frac{21}{4}-6x & \\geq \\left(x-3\\right) \\cdot \\left(x+3\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}+3x-6x+\\frac{21}{4}+\\frac{9}{4} & \\geq x^{2}-9&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x+\\frac{15}{2} & \\geq x^{2}-9&&|-x^{2} \\\\\n-3x+\\frac{15}{2} & \\geq -9&&|-\\frac{15}{2}\\\\\n-3x & \\geq -\\frac{33}{2}&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -3 & \\geq -\\frac{33}{2}&&|: -3\\\\\nx & \\leq \\frac{-\\frac{33}{2}}{-3}&&|\\text{TU}\\\\\nx & \\leq \\frac{11}{2}\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}+\\frac{9}{4}-6x < \\left(x-3\\right) \\cdot \\left(x+3\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}+\\frac{9}{4}-6x & < \\left(x-3\\right) \\cdot \\left(x+3\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}+3x-6x+\\frac{9}{4}+\\frac{9}{4} & < x^{2}-9&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x+\\frac{9}{2} & < x^{2}-9&&|-x^{2} \\\\\n-3x+\\frac{9}{2} & < -9&&|-\\frac{9}{2}\\\\\n-3x & < -\\frac{27}{2}&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -3 & < -\\frac{27}{2}&&|: -3\\\\\nx & > \\frac{-\\frac{27}{2}}{-3}&&|\\text{TU}\\\\\nx & > \\frac{9}{2}\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x+2\\right)^{2}-\\frac{14}{3}-6x \\geq \\left(x+\\frac{4}{3}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{4}{3}\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x+2\\right)^{2}-\\frac{14}{3}-6x & \\geq \\left(x+\\frac{4}{3}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{4}{3}\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}+4x-6x+4-\\frac{14}{3} & \\geq x^{2}-\\frac{16}{9}&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-2x-\\frac{2}{3} & \\geq x^{2}-\\frac{16}{9}&&|-x^{2} \\\\\n-2x-\\frac{2}{3} & \\geq -\\frac{16}{9}&&|+\\frac{2}{3}\\\\\n-2x & \\geq -\\frac{10}{9}&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -2 & \\geq -\\frac{10}{9}&&|: -2\\\\\nx & \\leq \\frac{-\\frac{10}{9}}{-2}&&|\\text{TU}\\\\\nx & \\leq \\frac{5}{9}\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{15}{4}-6x \\geq \\left(x-3\\right) \\cdot \\left(x+3\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x+\\frac{3}{2}\\right)^{2}-\\frac{15}{4}-6x & \\geq \\left(x-3\\right) \\cdot \\left(x+3\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}+3x-6x+\\frac{9}{4}-\\frac{15}{4} & \\geq x^{2}-9&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x-\\frac{3}{2} & \\geq x^{2}-9&&|-x^{2} \\\\\n-3x-\\frac{3}{2} & \\geq -9&&|+\\frac{3}{2}\\\\\n-3x & \\geq -\\frac{15}{2}&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -3 & \\geq -\\frac{15}{2}&&|: -3\\\\\nx & \\leq \\frac{-\\frac{15}{2}}{-3}&&|\\text{TU}\\\\\nx & \\leq \\frac{5}{2}\\\\\n \\end{align}$"], ["$\\displaystyle \\left(x+\\frac{4}{5}\\right)^{2}-2-4x \\geq \\left(x+\\frac{6}{5}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{6}{5}\\right)$", "$\\begin{align} \\left(x+\\frac{4}{5}\\right)^{2}-2-4x & \\geq \\left(x+\\frac{6}{5}\\right) \\cdot \\left(x-\\frac{6}{5}\\right)&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}+\\frac{8}{5}x-4x+\\frac{16}{25}-2 & \\geq x^{2}-\\frac{36}{25}&&|\\text{TU}\\\\\nx^{2}-\\frac{12}{5}x-\\frac{34}{25} & \\geq x^{2}-\\frac{36}{25}&&|-x^{2} \\\\\n-\\frac{12}{5}x-\\frac{34}{25} & \\geq -\\frac{36}{25}&&|+\\frac{34}{25}\\\\\n-\\frac{12}{5}x & \\geq -\\frac{2}{25}&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot -\\frac{12}{5} & \\geq -\\frac{2}{25}&&|: -\\frac{12}{5}\\\\\nx & \\leq \\frac{-\\frac{2}{25}}{-\\frac{12}{5}}&&|\\text{TU}\\\\\nx & \\leq \\frac{1}{30}\\\\\n \\end{align}$"]],
"
", "
");
ruby lineare-ungleichungen.rb 1
=== Freitag 1. April 2022 ===
Lösen Sie nach $x$ auf mit Diskussion der Spezialfälle. $p$ ist ein Parameter.miniAufgabe("#exolinungl_mit_param","#sollinungl_mit_param",
[["$\\displaystyle \\left(-2x+5\\right) \\cdot \\left(-7z+4\\right) \\geq \\left(-5x+7\\right) \\cdot \\left(-4z+2\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(-2x+5\\right) \\cdot \\left(-7z+4\\right) & \\geq \\left(-5x+7\\right) \\cdot \\left(-4z+2\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n14xz-8x-35z+20 & \\geq 20xz-10x-28z+14\\\\\n14xz-8x-35z+20 & \\geq 20xz-10x-28z+14&&|-20xz+10x\\\\\n-6xz+2x-35z+20 & \\geq -28z+14&&|+35z-20\\\\\n-6xz+2x & \\geq 7z-6&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(-6z+2\\right) & \\geq 7z-6&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $-6z+2$:
\\begin{align*}\n-6z+2 & > 0&&|-2\\\\\n-6z & > -2&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot -6 & > -2&&|: -6\\\\\nz & < \\frac{-2}{-6}&&|\\text{TU}\\\\\nz & < \\frac{1}{3}\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z < \\frac{1}{3}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x \\geq \\frac{7z-6}{-6z+2}$
\nFall 2: $\\fbox{$z > \\frac{1}{3}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x \\leq \\frac{7z-6}{-6z+2}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = \\frac{1}{3}$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 \\geq \\frac{7}{3}-6\\\\\n0 \\geq -\\frac{11}{3}\\\\\n\\end{align*}$
\nEine wahre Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\mathbb{R}.$"], ["$\\displaystyle \\left(5x-4\\right) \\cdot \\left(2z-7\\right) \\geq \\left(5x+3\\right) \\cdot \\left(-4z-7\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(5x-4\\right) \\cdot \\left(2z-7\\right) & \\geq \\left(5x+3\\right) \\cdot \\left(-4z-7\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n10xz-35x-8z+28 & \\geq -20xz-35x-12z-21\\\\\n10xz-35x-8z+28 & \\geq -20xz-35x-12z-21&&|+20xz+35x\\\\\n30xz-8z+28 & \\geq -12z-21&&|+8z-28\\\\\n30xz & \\geq -4z-49&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot 30z & \\geq -4z-49&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $30z$:
\\begin{align*}\n30z & > 0&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot 30 & > 0&&|: 30\\\\\nz & > \\frac{0}{30}&&|\\text{TU}\\\\\nz & > 0\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z > 0$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x \\geq \\frac{-4z-49}{30z}$
\nFall 2: $\\fbox{$z < 0$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x \\leq \\frac{-4z-49}{30z}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = 0$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 \\geq 0-49\\\\\n0 \\geq -49\\\\\n\\end{align*}$
\nEine wahre Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\mathbb{R}.$"], ["$\\displaystyle \\left(-7x+6\\right) \\cdot \\left(-3z+4\\right) < \\left(3x-5\\right) \\cdot \\left(2z-6\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(-7x+6\\right) \\cdot \\left(-3z+4\\right) & < \\left(3x-5\\right) \\cdot \\left(2z-6\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n21xz-28x-18z+24 & < 6xz-18x-10z+30\\\\\n21xz-28x-18z+24 & < 6xz-18x-10z+30&&|-6xz+18x\\\\\n15xz-10x-18z+24 & < -10z+30&&|+18z-24\\\\\n15xz-10x & < 8z+6&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(15z-10\\right) & < 8z+6&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $15z-10$:
\\begin{align*}\n15z-10 & > 0&&|+10\\\\\n15z & > 10&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot 15 & > 10&&|: 15\\\\\nz & > \\frac{10}{15}&&|\\text{TU}\\\\\nz & > \\frac{2}{3}\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z > \\frac{2}{3}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x < \\frac{8z+6}{15z-10}$
\nFall 2: $\\fbox{$z < \\frac{2}{3}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x > \\frac{8z+6}{15z-10}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = \\frac{2}{3}$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 < 6+\\frac{16}{3}\\\\\n0 < \\frac{34}{3}\\\\\n\\end{align*}$
\nEine wahre Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\mathbb{R}.$"], ["$\\displaystyle \\left(4x-7\\right) \\cdot \\left(-5z+3\\right) \\geq \\left(-2x+3\\right) \\cdot \\left(6z-4\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(4x-7\\right) \\cdot \\left(-5z+3\\right) & \\geq \\left(-2x+3\\right) \\cdot \\left(6z-4\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n-20xz+12x+35z-21 & \\geq -12xz+8x+18z-12\\\\\n-20xz+12x+35z-21 & \\geq -12xz+8x+18z-12&&|+12xz-8x\\\\\n-8xz+4x+35z-21 & \\geq 18z-12&&|-35z+21\\\\\n-8xz+4x & \\geq -17z+9&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(-8z+4\\right) & \\geq -17z+9&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $-8z+4$:
\\begin{align*}\n-8z+4 & > 0&&|-4\\\\\n-8z & > -4&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot -8 & > -4&&|: -8\\\\\nz & < \\frac{-4}{-8}&&|\\text{TU}\\\\\nz & < \\frac{1}{2}\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z < \\frac{1}{2}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x \\geq \\frac{-17z+9}{-8z+4}$
\nFall 2: $\\fbox{$z > \\frac{1}{2}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x \\leq \\frac{-17z+9}{-8z+4}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = \\frac{1}{2}$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 \\geq 9-\\frac{17}{2}\\\\\n0 \\geq \\frac{1}{2}\\\\\n\\end{align*}$
\nEin falsche Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\emptyset.$"], ["$\\displaystyle \\left(4x-5\\right) \\cdot \\left(2z-3\\right) \\leq \\left(-5x+7\\right) \\cdot \\left(-4z+2\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(4x-5\\right) \\cdot \\left(2z-3\\right) & \\leq \\left(-5x+7\\right) \\cdot \\left(-4z+2\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n8xz-12x-10z+15 & \\leq 20xz-10x-28z+14\\\\\n8xz-12x-10z+15 & \\leq 20xz-10x-28z+14&&|-20xz+10x\\\\\n-12xz-2x-10z+15 & \\leq -28z+14&&|+10z-15\\\\\n-12xz-2x & \\leq -18z-1&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(-12z-2\\right) & \\leq -18z-1&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $-12z-2$:
\\begin{align*}\n-12z-2 & > 0&&|+2\\\\\n-12z & > 2&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot -12 & > 2&&|: -12\\\\\nz & < \\frac{2}{-12}&&|\\text{TU}\\\\\nz & < -\\frac{1}{6}\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z < -\\frac{1}{6}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x \\leq \\frac{-18z-1}{-12z-2}$
\nFall 2: $\\fbox{$z > -\\frac{1}{6}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x \\geq \\frac{-18z-1}{-12z-2}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = -\\frac{1}{6}$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 \\leq 3-1\\\\\n0 \\leq 2\\\\\n\\end{align*}$
\nEine wahre Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\mathbb{R}.$"], ["$\\displaystyle \\left(-2x-6\\right) \\cdot \\left(4z+3\\right) \\geq \\left(2x+7\\right) \\cdot \\left(-3z-4\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(-2x-6\\right) \\cdot \\left(4z+3\\right) & \\geq \\left(2x+7\\right) \\cdot \\left(-3z-4\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n-8xz-6x-24z-18 & \\geq -6xz-8x-21z-28\\\\\n-8xz-6x-24z-18 & \\geq -6xz-8x-21z-28&&|+6xz+8x\\\\\n-2xz+2x-24z-18 & \\geq -21z-28&&|+24z+18\\\\\n-2xz+2x & \\geq 3z-10&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(-2z+2\\right) & \\geq 3z-10&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $-2z+2$:
\\begin{align*}\n-2z+2 & > 0&&|-2\\\\\n-2z & > -2&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot -2 & > -2&&|: -2\\\\\nz & < \\frac{-2}{-2}&&|\\text{TU}\\\\\nz & < 1\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z < 1$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x \\geq \\frac{3z-10}{-2z+2}$
\nFall 2: $\\fbox{$z > 1$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x \\leq \\frac{3z-10}{-2z+2}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = 1$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 \\geq 3-10\\\\\n0 \\geq -7\\\\\n\\end{align*}$
\nEine wahre Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\mathbb{R}.$"], ["$\\displaystyle \\left(-7x-6\\right) \\cdot \\left(2z+3\\right) < \\left(-6x-7\\right) \\cdot \\left(2z+4\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(-7x-6\\right) \\cdot \\left(2z+3\\right) & < \\left(-6x-7\\right) \\cdot \\left(2z+4\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n-14xz-21x-12z-18 & < -12xz-24x-14z-28\\\\\n-14xz-21x-12z-18 & < -12xz-24x-14z-28&&|+12xz+24x\\\\\n-2xz+3x-12z-18 & < -14z-28&&|+12z+18\\\\\n-2xz+3x & < -2z-10&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(-2z+3\\right) & < -2z-10&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $-2z+3$:
\\begin{align*}\n-2z+3 & > 0&&|-3\\\\\n-2z & > -3&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot -2 & > -3&&|: -2\\\\\nz & < \\frac{-3}{-2}&&|\\text{TU}\\\\\nz & < \\frac{3}{2}\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z < \\frac{3}{2}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x < \\frac{-2z-10}{-2z+3}$
\nFall 2: $\\fbox{$z > \\frac{3}{2}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x > \\frac{-2z-10}{-2z+3}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = \\frac{3}{2}$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 < -3-10\\\\\n0 < -13\\\\\n\\end{align*}$
\nEin falsche Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\emptyset.$"], ["$\\displaystyle \\left(-5x+7\\right) \\cdot \\left(-3z+2\\right) < \\left(-4x+6\\right) \\cdot \\left(-3z+2\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(-5x+7\\right) \\cdot \\left(-3z+2\\right) & < \\left(-4x+6\\right) \\cdot \\left(-3z+2\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n15xz-10x-21z+14 & < 12xz-8x-18z+12\\\\\n15xz-10x-21z+14 & < 12xz-8x-18z+12&&|-12xz+8x\\\\\n3xz-2x-21z+14 & < -18z+12&&|+21z-14\\\\\n3xz-2x & < 3z-2&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(3z-2\\right) & < 3z-2&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $3z-2$:
\\begin{align*}\n3z-2 & > 0&&|+2\\\\\n3z & > 2&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot 3 & > 2&&|: 3\\\\\nz & > \\frac{2}{3}\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z > \\frac{2}{3}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x < \\frac{3z-2}{3z-2}$
\nFall 2: $\\fbox{$z < \\frac{2}{3}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x > \\frac{3z-2}{3z-2}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = \\frac{2}{3}$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 < 2-2\\\\\n0 < 0\\\\\n\\end{align*}$
\nEin falsche Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\emptyset.$"], ["$\\displaystyle \\left(4x+5\\right) \\cdot \\left(-7z-3\\right) > \\left(-3x-4\\right) \\cdot \\left(7z+6\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(4x+5\\right) \\cdot \\left(-7z-3\\right) & > \\left(-3x-4\\right) \\cdot \\left(7z+6\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n-28xz-12x-35z-15 & > -21xz-18x-28z-24\\\\\n-28xz-12x-35z-15 & > -21xz-18x-28z-24&&|+21xz+18x\\\\\n-7xz+6x-35z-15 & > -28z-24&&|+35z+15\\\\\n-7xz+6x & > 7z-9&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(-7z+6\\right) & > 7z-9&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $-7z+6$:
\\begin{align*}\n-7z+6 & > 0&&|-6\\\\\n-7z & > -6&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot -7 & > -6&&|: -7\\\\\nz & < \\frac{-6}{-7}&&|\\text{TU}\\\\\nz & < \\frac{6}{7}\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z < \\frac{6}{7}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x > \\frac{7z-9}{-7z+6}$
\nFall 2: $\\fbox{$z > \\frac{6}{7}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x < \\frac{7z-9}{-7z+6}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = \\frac{6}{7}$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 > 6-9\\\\\n0 > -3\\\\\n\\end{align*}$
\nEine wahre Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\mathbb{R}.$"], ["$\\displaystyle \\left(-4x-2\\right) \\cdot \\left(6z+5\\right) > \\left(5x+2\\right) \\cdot \\left(-7z-3\\right)$", "\\begin{align*}\n\\left(-4x-2\\right) \\cdot \\left(6z+5\\right) & > \\left(5x+2\\right) \\cdot \\left(-7z-3\\right)&&|\\text{TU}\\\\\n-24xz-20x-12z-10 & > -35xz-15x-14z-6\\\\\n-24xz-20x-12z-10 & > -35xz-15x-14z-6&&|+35xz+15x\\\\\n11xz-5x-12z-10 & > -14z-6&&|+12z+10\\\\\n11xz-5x & > -2z+4&&|\\text{TU}\\\\\nx \\cdot \\left(11z-5\\right) & > -2z+4&&(\\alpha) \\\\\n\\end{align*}\nFallunterscheidung je nach Vorzeichen von $11z-5$:
\\begin{align*}\n11z-5 & > 0&&|+5\\\\\n11z & > 5&&|\\text{TU}\\\\\nz \\cdot 11 & > 5&&|: 11\\\\\nz & > \\frac{5}{11}\\\\\n\\end{align*}
\nFall 1: $\\fbox{$z > \\frac{5}{11}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch positiven Term.
\n$\\displaystyle x > \\frac{-2z+4}{11z-5}$
\nFall 2: $\\fbox{$z < \\frac{5}{11}$}$, d.h. Division der Ungleichung $(\\alpha)$ durch negativen Term.
\n$\\displaystyle x < \\frac{-2z+4}{11z-5}$
\nFall 3: $\\fbox{$z = \\frac{5}{11}$}$, eingesetzt in der Ungleichung $(\\alpha)$:
\n$\\begin{align*}\n0 > 4-\\frac{10}{11}\\\\\n0 > \\frac{34}{11}\\\\\n\\end{align*}$
\nEin falsche Aussage. Also ist $\\mathbb{L}=\\emptyset.$"]],
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