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miniaufgabe.js
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==== 22. April 2019 bis 26. April 2019 ====
=== Mittwoch 24. April 2019 ===
Berechnen Sie die Längen folgender Vektoren. 
Alle Wurzeln sind quadrat- und bruchfrei zu schreiben. 
Brüche sind vollständig zu kürzen.
<JS>miniAufgabe("#exoveclenghtroots","#solveclenghtroots",
[["$\\begin{pmatrix}-\\frac{4}{5}\\\\ \\frac{2}{5}\\\\ -\\frac{2}{3} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{16}{25}+\\frac{4}{25}+\\frac{4}{9}} = \\sqrt{\\frac{56}{45}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} \\cdot \\sqrt{\\frac{5}{5}} = \\frac{2}{15} \\sqrt{70}$"], ["$\\begin{pmatrix}\\frac{5}{8}\\\\ \\frac{5}{4}\\\\ -\\frac{5}{8} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{25}{64}+\\frac{25}{16}+\\frac{25}{64}} = \\sqrt{\\frac{75}{32}} = \\frac{5}{4} \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{5}{4} \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{5}{8} \\sqrt{6}$"], ["$\\begin{pmatrix}\\frac{3}{10}\\\\ -\\frac{3}{5}\\\\ -\\frac{3}{10} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{9}{100}+\\frac{9}{25}+\\frac{9}{100}} = \\sqrt{\\frac{27}{50}} = \\frac{3}{5} \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{5} \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{10} \\sqrt{6}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{3}{2}\\\\ -\\frac{3}{10}\\\\ -\\frac{9}{10} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{9}{4}+\\frac{9}{100}+\\frac{81}{100}} = \\sqrt{\\frac{63}{20}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{7}{5}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{7}{5}} \\cdot \\sqrt{\\frac{5}{5}} = \\frac{3}{10} \\sqrt{35}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{2}{5}\\\\ \\frac{2}{3}\\\\ \\frac{4}{5} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{4}{25}+\\frac{4}{9}+\\frac{16}{25}} = \\sqrt{\\frac{56}{45}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} \\cdot \\sqrt{\\frac{5}{5}} = \\frac{2}{15} \\sqrt{70}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{3}{4}\\\\ -\\frac{9}{8}\\\\ \\frac{3}{8} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{9}{16}+\\frac{81}{64}+\\frac{9}{64}} = \\sqrt{\\frac{63}{32}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{\\frac{7}{2}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{\\frac{7}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{8} \\sqrt{14}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{7}{4}\\\\ -\\frac{5}{2}\\\\ -\\frac{7}{4} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{49}{16}+\\frac{25}{4}+\\frac{49}{16}} = \\sqrt{\\frac{99}{8}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{11}{2}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{11}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{22}$"], ["$\\begin{pmatrix}\\frac{3}{4}\\\\ -\\frac{9}{8}\\\\ -\\frac{3}{8} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{9}{16}+\\frac{81}{64}+\\frac{9}{64}} = \\sqrt{\\frac{63}{32}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{\\frac{7}{2}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{\\frac{7}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{8} \\sqrt{14}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{3}{4}\\\\ -\\frac{3}{2}\\\\ \\frac{3}{4} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{9}{16}+\\frac{9}{4}+\\frac{9}{16}} = \\sqrt{\\frac{27}{8}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{6}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{3}{2}\\\\ -\\frac{9}{4}\\\\ \\frac{9}{4} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{9}{4}+\\frac{81}{16}+\\frac{81}{16}} = \\sqrt{\\frac{99}{8}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{11}{2}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{11}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{22}$"]],
" &nbsp; &nbsp; ");
</JS>
<HTML>
<div id="exoveclenghtroots"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
<HTML>
<div id="solveclenghtroots"></div>
</HTML>
</hidden>

=== Freitag 26. April 2019 ===

Bestimmen Sie von Hand den ungefähren Winkel (auf $15^\circ$ genau) zwischen den Vektoren $\vec u$ und $\vec v$. Machen Sie eine Skizze im Einheitskreis, um den Winkel zum errechneten Cosinus-Wert zu bestimmen.<JS>miniAufgabe("#exowinkelzwischenvektorenvonhand","#solwinkelzwischenvektorenvonhand",
[["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -8 \\\\ 4 \\\\ -8\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 4 \\\\ 8\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-112}{12 \\cdot 12} = -\\frac{7}{9} \\approx -0.77$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 141$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 2 \\\\ 1\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -10 \\\\ -10 \\\\ 5\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{5}{3 \\cdot 15} = \\frac{1}{9} \\approx 0.11$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 84$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -2 \\\\ 1\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 6 \\\\ -6\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-12}{3 \\cdot 9} = -\\frac{4}{9} \\approx -0.43$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 116$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -10 \\\\ -5 \\\\ 10\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ 6 \\\\ -6\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-60}{15 \\cdot 9} = -\\frac{4}{9} \\approx -0.43$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 116$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ 4 \\\\ -7\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ 1 \\\\ 8\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-36}{9 \\cdot 9} = -\\frac{4}{9} \\approx -0.43$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 116$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 6 \\\\ 6\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -4 \\\\ 4\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-6}{9 \\cdot 6} = -\\frac{1}{9} \\approx -0.1$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 96$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 6 \\\\ 3\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 6 \\\\ -3\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-9}{9 \\cdot 9} = -\\frac{1}{9} \\approx -0.1$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 96$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -8 \\\\ -8\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\\\ -2\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-4}{12 \\cdot 3} = -\\frac{1}{9} \\approx -0.1$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 96$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -1 \\\\ -2\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -3 \\\\ -6\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{3}{3 \\cdot 9} = \\frac{1}{9} \\approx 0.11$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 84$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -8 \\\\ 8\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 6 \\\\ 6\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{12}{12 \\cdot 9} = \\frac{1}{9} \\approx 0.11$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 84$^\\circ$"]],
"<br><hr>", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exowinkelzwischenvektorenvonhand"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
<HTML>
<div id="solwinkelzwischenvektorenvonhand"></div>
</HTML>
</hidden>