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miniaufgabe.js
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==== 6. Mai 2019 bis 10. Mai 2019 ====
=== Mittwoch 8. Mai 2019 ===
Bis am Montag, 14:20 waren Aufgaben enthalten für die $|q|\geq 1$ war. Solche Summen sind natürlich nicht endlich. Für den Fehler entschuldige ich mich.

Berechnen Sie folgende unendliche geometrische Reihe:
<JS>miniAufgabe("#exounendliche_geometrische_reihe","#solunendliche_geometrische_reihe",
[["$s=\\frac{16}{3}-4+3-\\ldots$", "$q = \\frac{-4}{\\frac{16}{3}} = -\\frac{3}{4}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=\\frac{16}{3}\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{3}{4}\\right)} = \\frac{16}{3}\\cdot \\frac{1}{\\frac{7}{4}} = \\frac{16}{3}\\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{64}{21}$"], ["$s=32-16+8-\\ldots$", "$q = \\frac{-16}{32} = -\\frac{1}{2}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=32\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)} = 32\\cdot \\frac{1}{\\frac{3}{2}} = 32\\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{64}{3}$"], ["$s=90-30+10-\\ldots$", "$q = \\frac{-30}{90} = -\\frac{1}{3}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=90\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{1}{3}\\right)} = 90\\cdot \\frac{1}{\\frac{4}{3}} = 90\\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{135}{2}$"], ["$s=\\frac{27}{4}-\\frac{9}{2}+3-\\ldots$", "$q = \\frac{-\\frac{9}{2}}{\\frac{27}{4}} = -\\frac{2}{3}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=\\frac{27}{4}\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)} = \\frac{27}{4}\\cdot \\frac{1}{\\frac{5}{3}} = \\frac{27}{4}\\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{81}{20}$"], ["$s=27-9+3-\\ldots$", "$q = \\frac{-9}{27} = -\\frac{1}{3}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=27\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{1}{3}\\right)} = 27\\cdot \\frac{1}{\\frac{4}{3}} = 27\\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{81}{4}$"], ["$s=\\frac{32}{3}-8+6-\\ldots$", "$q = \\frac{-8}{\\frac{32}{3}} = -\\frac{3}{4}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=\\frac{32}{3}\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{3}{4}\\right)} = \\frac{32}{3}\\cdot \\frac{1}{\\frac{7}{4}} = \\frac{32}{3}\\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{128}{21}$"], ["$s=32-16+8-\\ldots$", "$q = \\frac{-16}{32} = -\\frac{1}{2}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=32\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)} = 32\\cdot \\frac{1}{\\frac{3}{2}} = 32\\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{64}{3}$"], ["$s=20-10+5-\\ldots$", "$q = \\frac{-10}{20} = -\\frac{1}{2}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=20\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)} = 20\\cdot \\frac{1}{\\frac{3}{2}} = 20\\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{40}{3}$"], ["$s=\\frac{27}{2}-9+6-\\ldots$", "$q = \\frac{-9}{\\frac{27}{2}} = -\\frac{2}{3}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=\\frac{27}{2}\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)} = \\frac{27}{2}\\cdot \\frac{1}{\\frac{5}{3}} = \\frac{27}{2}\\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{81}{10}$"], ["$s=9-6+4-\\ldots$", "$q = \\frac{-6}{9} = -\\frac{2}{3}$. Es ist $s=g_1\\cdot \\frac{1}{1-q}$<br>$s=9\\cdot \\frac{1}{1-\\left(-\\frac{2}{3}\\right)} = 9\\cdot \\frac{1}{\\frac{5}{3}} = 9\\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{27}{5}$"]],
" <br> ", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exounendliche_geometrische_reihe"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
<HTML>
<div id="solunendliche_geometrische_reihe"></div>
</HTML>
</hidden>


=== Freitag 10. Mai 2019 ===

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ an. Bestimmen Sie dann, ob die Punkte $C$ und $D$ auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ liegen.
<JS>miniAufgabe("#exopointonline","#solpointonline",
[["$A=\\left(5,\\,-6,\\,6\\right),\\, B=\\left(6,\\,-2,\\,-5\\right),\\,C=\\left(-1,\\,-30,\\,72\\right),\\,D=\\left(3,\\,-18,\\,39\\right)$", "$A=\\left(5,\\,-6,\\,6\\right),\\, B=\\left(6,\\,-2,\\,-5\\right),\\,C=\\left(-1,\\,-30,\\,72\\right),\\,D=\\left(3,\\,-18,\\,39\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ -6 \\\\ 6\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 4 \\\\ -11\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 2. Komponente: $-6+\\lambda \\cdot 4 = -30$ liefert $\\lambda = -6$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-6\\right) = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ -30 \\\\ 72\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 2. Komponente: $-6+\\lambda \\cdot 4 = -18$ liefert $\\lambda = -3$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-3\\right) = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -18 \\\\ 39\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(4,\\,-6,\\,5\\right),\\, B=\\left(-4,\\,-2,\\,-6\\right),\\,C=\\left(44,\\,-26,\\,60\\right),\\,D=\\left(-20,\\,7,\\,-28\\right)$", "$A=\\left(4,\\,-6,\\,5\\right),\\, B=\\left(-4,\\,-2,\\,-6\\right),\\,C=\\left(44,\\,-26,\\,60\\right),\\,D=\\left(-20,\\,7,\\,-28\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -6 \\\\ 5\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} -8 \\\\ 4 \\\\ -11\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 2. Komponente: $-6+\\lambda \\cdot 4 = -26$ liefert $\\lambda = -5$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-5\\right) = \\begin{pmatrix} 44 \\\\ -26 \\\\ 60\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 3. Komponente: $5+\\lambda \\cdot \\left(-11\\right) = -28$ liefert $\\lambda = 3$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(3\\right) = \\begin{pmatrix} -20 \\\\ 6 \\\\ -28\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(-2,\\,4,\\,4\\right),\\, B=\\left(5,\\,5,\\,-6\\right),\\,C=\\left(-45,\\,-2,\\,64\\right),\\,D=\\left(-30,\\,0,\\,44\\right)$", "$A=\\left(-2,\\,4,\\,4\\right),\\, B=\\left(5,\\,5,\\,-6\\right),\\,C=\\left(-45,\\,-2,\\,64\\right),\\,D=\\left(-30,\\,0,\\,44\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ 4 \\\\ 4\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} 7 \\\\ 1 \\\\ -10\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 2. Komponente: $4+\\lambda \\cdot 1 = -2$ liefert $\\lambda = -6$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-6\\right) = \\begin{pmatrix} -44 \\\\ -2 \\\\ 64\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 3. Komponente: $4+\\lambda \\cdot \\left(-10\\right) = 44$ liefert $\\lambda = -4$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-4\\right) = \\begin{pmatrix} -30 \\\\ 0 \\\\ 44\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(-6,\\,-6,\\,-2\\right),\\, B=\\left(-3,\\,-5,\\,-3\\right),\\,C=\\left(-24,\\,-12,\\,4\\right),\\,D=\\left(-18,\\,-11,\\,2\\right)$", "$A=\\left(-6,\\,-6,\\,-2\\right),\\, B=\\left(-3,\\,-5,\\,-3\\right),\\,C=\\left(-24,\\,-12,\\,4\\right),\\,D=\\left(-18,\\,-11,\\,2\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -6 \\\\ -2\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ -1\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 1. Komponente: $-6+\\lambda \\cdot 3 = -24$ liefert $\\lambda = -6$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-6\\right) = \\begin{pmatrix} -24 \\\\ -12 \\\\ 4\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 3. Komponente: $-2+\\lambda \\cdot \\left(-1\\right) = 2$ liefert $\\lambda = -4$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-4\\right) = \\begin{pmatrix} -18 \\\\ -10 \\\\ 2\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(-3,\\,-3,\\,-5\\right),\\, B=\\left(-2,\\,3,\\,4\\right),\\,C=\\left(-8,\\,-33,\\,-50\\right),\\,D=\\left(-7,\\,-21,\\,-32\\right)$", "$A=\\left(-3,\\,-3,\\,-5\\right),\\, B=\\left(-2,\\,3,\\,4\\right),\\,C=\\left(-8,\\,-33,\\,-50\\right),\\,D=\\left(-7,\\,-21,\\,-32\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} -3 \\\\ -3 \\\\ -5\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 6 \\\\ 9\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 3. Komponente: $-5+\\lambda \\cdot 9 = -50$ liefert $\\lambda = -5$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-5\\right) = \\begin{pmatrix} -8 \\\\ -33 \\\\ -50\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 2. Komponente: $-3+\\lambda \\cdot 6 = -21$ liefert $\\lambda = -3$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-3\\right) = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -21 \\\\ -32\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(-6,\\,6,\\,3\\right),\\, B=\\left(-3,\\,3,\\,5\\right),\\,C=\\left(-21,\\,21,\\,-7\\right),\\,D=\\left(-13,\\,12,\\,-1\\right)$", "$A=\\left(-6,\\,6,\\,3\\right),\\, B=\\left(-3,\\,3,\\,5\\right),\\,C=\\left(-21,\\,21,\\,-7\\right),\\,D=\\left(-13,\\,12,\\,-1\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 6 \\\\ 3\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -3 \\\\ 2\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 1. Komponente: $-6+\\lambda \\cdot 3 = -21$ liefert $\\lambda = -5$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-5\\right) = \\begin{pmatrix} -21 \\\\ 21 \\\\ -7\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 2. Komponente: $6+\\lambda \\cdot \\left(-3\\right) = 12$ liefert $\\lambda = -2$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-2\\right) = \\begin{pmatrix} -12 \\\\ 12 \\\\ -1\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(4,\\,-4,\\,-3\\right),\\, B=\\left(3,\\,5,\\,-6\\right),\\,C=\\left(1,\\,23,\\,-11\\right),\\,D=\\left(8,\\,-40,\\,9\\right)$", "$A=\\left(4,\\,-4,\\,-3\\right),\\, B=\\left(3,\\,5,\\,-6\\right),\\,C=\\left(1,\\,23,\\,-11\\right),\\,D=\\left(8,\\,-40,\\,9\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ -4 \\\\ -3\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 9 \\\\ -3\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 1. Komponente: $4+\\lambda \\cdot \\left(-1\\right) = 1$ liefert $\\lambda = 3$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(3\\right) = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 23 \\\\ -12\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 3. Komponente: $-3+\\lambda \\cdot \\left(-3\\right) = 9$ liefert $\\lambda = -4$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-4\\right) = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ -40 \\\\ 9\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(-4,\\,-3,\\,5\\right),\\, B=\\left(3,\\,-4,\\,-5\\right),\\,C=\\left(31,\\,-8,\\,-45\\right),\\,D=\\left(38,\\,-9,\\,-54\\right)$", "$A=\\left(-4,\\,-3,\\,5\\right),\\, B=\\left(3,\\,-4,\\,-5\\right),\\,C=\\left(31,\\,-8,\\,-45\\right),\\,D=\\left(38,\\,-9,\\,-54\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} -4 \\\\ -3 \\\\ 5\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} 7 \\\\ -1 \\\\ -10\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 2. Komponente: $-3+\\lambda \\cdot \\left(-1\\right) = -8$ liefert $\\lambda = 5$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(5\\right) = \\begin{pmatrix} 31 \\\\ -8 \\\\ -45\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 1. Komponente: $-4+\\lambda \\cdot 7 = 38$ liefert $\\lambda = 6$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(6\\right) = \\begin{pmatrix} 38 \\\\ -9 \\\\ -55\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(-6,\\,-3,\\,3\\right),\\, B=\\left(4,\\,4,\\,-5\\right),\\,C=\\left(34,\\,25,\\,-28\\right),\\,D=\\left(14,\\,11,\\,-13\\right)$", "$A=\\left(-6,\\,-3,\\,3\\right),\\, B=\\left(4,\\,4,\\,-5\\right),\\,C=\\left(34,\\,25,\\,-28\\right),\\,D=\\left(14,\\,11,\\,-13\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -3 \\\\ 3\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} 10 \\\\ 7 \\\\ -8\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 2. Komponente: $-3+\\lambda \\cdot 7 = 25$ liefert $\\lambda = 4$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(4\\right) = \\begin{pmatrix} 34 \\\\ 25 \\\\ -29\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 3. Komponente: $3+\\lambda \\cdot \\left(-8\\right) = -13$ liefert $\\lambda = 2$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(2\\right) = \\begin{pmatrix} 14 \\\\ 11 \\\\ -13\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ auf $g$.\n<br>\n"], ["$A=\\left(-6,\\,-4,\\,2\\right),\\, B=\\left(5,\\,4,\\,5\\right),\\,C=\\left(-72,\\,-52,\\,-16\\right),\\,D=\\left(-38,\\,-28,\\,-7\\right)$", "$A=\\left(-6,\\,-4,\\,2\\right),\\, B=\\left(5,\\,4,\\,5\\right),\\,C=\\left(-72,\\,-52,\\,-16\\right),\\,D=\\left(-38,\\,-28,\\,-7\\right)$<br>\nParameterdarstellung: $\\vec{OG}(\\lambda) = \\vec{OA}+\\lambda \\cdot \\vec{AB} = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ -4 \\\\ 2\\end{pmatrix}  + \\lambda \\begin{pmatrix} 11 \\\\ 8 \\\\ 3\\end{pmatrix} $\n<br>\nPunkt $C$, 3. Komponente: $2+\\lambda \\cdot 3 = -16$ liefert $\\lambda = -6$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-6\\right) = \\begin{pmatrix} -72 \\\\ -52 \\\\ -16\\end{pmatrix} $. Also liegt $C$ auf $g$.\n<br>\nPunkt $D$, 3. Komponente: $2+\\lambda \\cdot 3 = -7$ liefert $\\lambda = -3$. Eingesetzt: $\\vec{OG}\\left(-3\\right) = \\begin{pmatrix} -39 \\\\ -28 \\\\ -7\\end{pmatrix} $. Also liegt $D$ <b>nicht</b> auf $g$.\n<br>\n"]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
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<div id="solpointonline"></div>
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