==== 29. April 2024 bis 3. Mai 2024 ====
=== Dienstag 30. April 2024 ===
Die folgenden Funktionen haben genau zwei Wendestellenkandidaten. Bestimmen Sie diese.
\n$f''(x) = 12x^{2}+24x-180 = 12\\left(x^{2}+2x-15\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+2x-15=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -15): $\\left(x+5\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=3$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-15}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=3$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}+2x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x+2$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}+2x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x+2$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-4x^{3}-48x^{2}+3x+3$", "$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}-96x+3$
\n$f''(x) = 12x^{2}-24x-96 = 12\\left(x^{2}-2x-8\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-2x-8=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -2, Produkt -8): $\\left(x+2\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-72x^{2}-2x-2$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-144x-2$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-144 = 12\\left(x^{2}-x-12\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-12=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -12): $\\left(x+3\\right)\\left(x-4\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-3$, $x_2=4$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-12}}{2}$ und daraus $x_1=-3$, $x_2=4$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}+6x^{3}-60x^{2}+3x-5$", "$f'(x)=4x^{3}+18x^{2}-120x+3$
\n$f''(x) = 12x^{2}+36x-120 = 12\\left(x^{2}+3x-10\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+3x-10=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 3, Produkt -10): $\\left(x+5\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-5$, $x_2=2$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-5$, $x_2=2$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-36x^{2}-5x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-72x-5$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-72 = 12\\left(x^{2}-x-6\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-6=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -6): $\\left(x+2\\right)\\left(x-3\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=3$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-6}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=3$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-2x^{3}-120x^{2}-3x-2$", "$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-240x-3$
\n$f''(x) = 12x^{2}-12x-240 = 12\\left(x^{2}-x-20\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -1, Produkt -20): $\\left(x+4\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{1\\pm\\sqrt{1-4\\cdot-20}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}+4x^{3}-48x^{2}+5x+5$", "$f'(x)=4x^{3}+12x^{2}-96x+5$
\n$f''(x) = 12x^{2}+24x-96 = 12\\left(x^{2}+2x-8\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe 2, Produkt -8): $\\left(x+4\\right)\\left(x-2\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-4$, $x_2=2$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{-2\\pm\\sqrt{4-4\\cdot-8}}{2}$ und daraus $x_1=-4$, $x_2=2$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
\n"], ["$f(x)=x^{4}-6x^{3}-60x^{2}-5x-3$", "$f'(x)=4x^{3}-18x^{2}-120x-5$
\n$f''(x) = 12x^{2}-36x-120 = 12\\left(x^{2}-3x-10\\right)$.
\nNullstellen: $f''(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2}-3x-10=0$: Entweder faktorisieren oder Mitternachtsformel:
\nFaktorisiert (Summe -3, Produkt -10): $\\left(x+2\\right)\\left(x-5\\right)=0$. Daraus liest man ab: $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nOder Mitternachtsformel: $\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\frac{3\\pm\\sqrt{9-4\\cdot-10}}{2}$ und daraus $x_1=-2$, $x_2=5$.
\nDamit haben wir zwei Kandidaten für die Wendestellen. (Dass es wirklich welche sind, könnte man mit der dritten Ableitung überprüfen).
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