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  miniaufgabe.js
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==== 8. Mai 2023 bis 12. Mai 2023 ====
=== Montag 8. Mai 2023 ===
Bestimmen Sie die Anzahl Lösungen folgender Gleichungen (ohne die Lösungen selbst zu bestimmen):<JS>miniAufgabe("#exoquadratischegleichungen2","#solquadratischegleichungen2",
[["a) $\\frac{2}{9} \\cdot x^{2}+\\frac{2}{3}x+\\frac{1}{2} = 0$ $\\qquad$ b) $\\frac{5}{4} \\cdot x^{2}-\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{10} = 0$ $\\qquad$ c) $-\\frac{1}{3} \\cdot x^{2}-\\frac{4}{3}x+\\frac{4}{3} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{4}{9}-\\frac{4}{9} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{5}{4} \\cdot \\frac{1}{10} = \\frac{1}{4}-\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{4}{3}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{1}{3}\\right) \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{9}+\\frac{16}{9} = \\frac{32}{9}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen."], ["a) $\\frac{3}{8} \\cdot x^{2}-\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{6} = 0$ $\\qquad$ b) $\\frac{3}{10} \\cdot x^{2}-\\frac{1}{2}x+\\frac{5}{8} = 0$ $\\qquad$ c) $\\frac{3}{2} \\cdot x^{2}+\\frac{3}{2}x+\\frac{1}{8} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{4}-\\frac{1}{4} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{3}{10} \\cdot \\frac{5}{8} = \\frac{1}{4}-\\frac{3}{4} = -\\frac{1}{2}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{3}{2} \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{9}{4}-\\frac{3}{4} = \\frac{3}{2}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen."], ["a) $-\\frac{1}{2} \\cdot x^{2}+\\frac{1}{2}x-\\frac{1}{4} = 0$ $\\qquad$ b) $\\frac{1}{2} \\cdot x^{2}-\\frac{1}{2}x-\\frac{1}{8} = 0$ $\\qquad$ c) $\\frac{1}{3} \\cdot x^{2}+\\frac{4}{3}x+\\frac{4}{3} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\left(-\\frac{1}{4}\\right) = \\frac{1}{4}-\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{1}{2}\\left(-\\frac{1}{8}\\right) = \\frac{1}{4}+\\frac{1}{4} = \\frac{1}{2}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen.<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{4}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{9}-\\frac{16}{9} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung"], ["a) $\\frac{1}{2} \\cdot x^{2}-\\frac{1}{2}x+\\frac{3}{8} = 0$ $\\qquad$ b) $\\frac{2}{9} \\cdot x^{2}+\\frac{2}{3}x+\\frac{1}{8} = 0$ $\\qquad$ c) $-\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+\\frac{3}{2}x-\\frac{9}{4} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{8} = \\frac{1}{4}-\\frac{3}{4} = -\\frac{1}{2}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{4}{9}-\\frac{1}{9} = \\frac{1}{3}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen.<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{1}{4}\\right)\\left(-\\frac{9}{4}\\right) = \\frac{9}{4}-\\frac{9}{4} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung"], ["a) $\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+\\frac{1}{3}x-\\frac{1}{9} = 0$ $\\qquad$ b) $-\\frac{1}{7} \\cdot x^{2}+\\frac{4}{7}x-\\frac{4}{7} = 0$ $\\qquad$ c) $\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{2} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{1}{4}\\left(-\\frac{1}{9}\\right) = \\frac{1}{9}+\\frac{1}{9} = \\frac{2}{9}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen.<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{4}{7}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{1}{7}\\right)\\left(-\\frac{4}{7}\\right) = \\frac{16}{49}-\\frac{16}{49} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}-\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen"], ["a) $-\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{4} = 0$ $\\qquad$ b) $\\frac{5}{4} \\cdot x^{2}+\\frac{5}{2}x+\\frac{5}{4} = 0$ $\\qquad$ c) $-\\frac{3}{8} \\cdot x^{2}-\\frac{1}{2}x-\\frac{2}{3} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot \\frac{1}{4} = \\frac{1}{4}+\\frac{1}{4} = \\frac{1}{2}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen.<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{5}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{5}{4} \\cdot \\frac{5}{4} = \\frac{25}{4}-\\frac{25}{4} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{3}{8}\\right)\\left(-\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{1}{4}-1 = -\\frac{3}{4}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen"], ["a) $\\frac{4}{7} \\cdot x^{2}-\\frac{4}{7}x+\\frac{2}{7} = 0$ $\\qquad$ b) $\\frac{1}{6} \\cdot x^{2}+\\frac{2}{3}x-\\frac{2}{3} = 0$ $\\qquad$ c) $-\\frac{4}{11} \\cdot x^{2}-\\frac{4}{3}x-\\frac{11}{9} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{4}{7}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{4}{7} \\cdot \\frac{2}{7} = \\frac{16}{49}-\\frac{32}{49} = -\\frac{16}{49}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{1}{6}\\left(-\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{4}{9}+\\frac{4}{9} = \\frac{8}{9}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen.<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{4}{3}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{4}{11}\\right)\\left(-\\frac{11}{9}\\right) = \\frac{16}{9}-\\frac{16}{9} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung"], ["a) $\\frac{1}{2} \\cdot x^{2}+\\frac{1}{3}x+\\frac{1}{9} = 0$ $\\qquad$ b) $-\\frac{1}{3} \\cdot x^{2}+\\frac{4}{3}x+\\frac{4}{3} = 0$ $\\qquad$ c) $\\frac{2}{5} \\cdot x^{2}-\\frac{4}{3}x+\\frac{10}{9} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{9}-\\frac{2}{9} = -\\frac{1}{9}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{4}{3}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{1}{3}\\right) \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{9}+\\frac{16}{9} = \\frac{32}{9}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen.<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{4}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{10}{9} = \\frac{16}{9}-\\frac{16}{9} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung"], ["a) $-\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+\\frac{2}{3}x+\\frac{4}{9} = 0$ $\\qquad$ b) $\\frac{3}{13} \\cdot x^{2}+\\frac{2}{3}x+\\frac{13}{9} = 0$ $\\qquad$ c) $\\frac{2}{9} \\cdot x^{2}+\\frac{1}{3}x+\\frac{1}{8} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot \\frac{4}{9} = \\frac{4}{9}+\\frac{4}{9} = \\frac{8}{9}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen.<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{3}{13} \\cdot \\frac{13}{9} = \\frac{4}{9}-\\frac{4}{3} = -\\frac{8}{9}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{1}{9}-\\frac{1}{9} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung"], ["a) $-\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+\\frac{1}{3}x+\\frac{1}{9} = 0$ $\\qquad$ b) $\\frac{2}{5} \\cdot x^{2}-\\frac{2}{3}x+\\frac{5}{6} = 0$ $\\qquad$ c) $\\frac{3}{10} \\cdot x^{2}+\\frac{3}{2}x+\\frac{15}{8} = 0$", "a) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^{2}-4\\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{9}+\\frac{1}{9} = \\frac{2}{9}$.<br>Diskriminante ist positiv, also zwei Lösungen.<br>b) $D = b^2-4ac = \\left(-\\frac{2}{3}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{5}{6} = \\frac{4}{9}-\\frac{4}{3} = -\\frac{8}{9}$.<br>Diskriminante ist negativ, also keine Lösungen<br>c) $D = b^2-4ac = \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2}-4 \\cdot \\frac{3}{10} \\cdot \\frac{15}{8} = \\frac{9}{4}-\\frac{9}{4} = 0$.<br>Diskriminante ist Null, also genau eine Lösung"]],
" <hr> ", " <hr> ");
</JS>
<HTML>
<div id="exoquadratischegleichungen2"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solquadratischegleichungen2"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby quadratische-gleichungen.rb 2</div>
</HTML>

</hidden>


=== Dienstag 9. Mai 2023 ===
Bestimmen Sie von folgender Gleichung die zweite Lösung $x_2$, wenn die erste Lösung bekannt ist (aber nicht die Konstante $c$).<JS>miniAufgabe("#exoquadratischegleichungen3","#solquadratischegleichungen3",
[["$2 \\cdot x^{2}-18x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=7$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n2 \\cdot x^{2}-18x+c &  = 0&& | :2\\\\\n\\frac{2 \\cdot x^{2}-18x+c}{2} &  = \\frac{0}{2}&& | \\text{TU}\\\\\n\\frac{2x^{2}-18x+c}{2} &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-9x+\\frac{1}{2}c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $-9$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=7$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-7\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x-7\\right)x+\\left(x-7\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x-7\\right)-x_2\\left(x-7\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx-7x-x_2x-x_2\\left(-7\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-7x-x_2x-x_2\\left(-7\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-7x-xx_2+7x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}-7x+7x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2-7\\right)+7x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $-7-x_2 = -9$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=2$."], ["$4 \\cdot x^{2}+8x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=5$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n4 \\cdot x^{2}+8x+c &  = 0&& | :4\\\\\n\\frac{4 \\cdot x^{2}+8x+c}{4} &  = \\frac{0}{4}&& | \\text{TU}\\\\\n\\frac{4x^{2}+8x+c}{4} &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+2x+\\frac{1}{4}c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $2$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=5$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-5\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x-5\\right)x+\\left(x-5\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x-5\\right)-x_2\\left(x-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx-5x-x_2x-x_2\\left(-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-5x-x_2x-x_2\\left(-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-5x-xx_2+5x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}-5x+5x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2-5\\right)+5x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $-5-x_2 = 2$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=-7$."], ["$4 \\cdot x^{2}-44x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=3$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n4 \\cdot x^{2}-44x+c &  = 0&& | :4\\\\\n\\frac{4 \\cdot x^{2}-44x+c}{4} &  = \\frac{0}{4}&& | \\text{TU}\\\\\n\\frac{4x^{2}-44x+c}{4} &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-11x+\\frac{1}{4}c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $-11$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=3$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-3\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x-3\\right)x+\\left(x-3\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x-3\\right)-x_2\\left(x-3\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx-3x-x_2x-x_2\\left(-3\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x-x_2x-x_2\\left(-3\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x-xx_2+3x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}-3x+3x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2-3\\right)+3x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $-3-x_2 = -11$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=8$."], ["$2 \\cdot x^{2}+10x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=-7$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n2 \\cdot x^{2}+10x+c &  = 0&& | :2\\\\\n\\frac{2 \\cdot x^{2}+10x+c}{2} &  = \\frac{0}{2}&& | \\text{TU}\\\\\n\\frac{2x^{2}+10x+c}{2} &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+5x+\\frac{1}{2}c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $5$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=-7$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-\\left(-7\\right)\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x+7\\right)x+\\left(x+7\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x+7\\right)-x_2\\left(x+7\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx+7x-x_2x-x_2 \\cdot 7 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+7x-x_2x-x_2 \\cdot 7 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+7x-xx_2-7x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}+7x-7x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2+7\\right)-7x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $7-x_2 = 5$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=2$."], ["$4 \\cdot x^{2}+20x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=4$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n4 \\cdot x^{2}+20x+c &  = 0&& | :4\\\\\n\\frac{4 \\cdot x^{2}+20x+c}{4} &  = \\frac{0}{4}&& | \\text{TU}\\\\\n\\frac{4x^{2}+20x+c}{4} &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+5x+\\frac{1}{4}c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $5$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=4$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-4\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x-4\\right)x+\\left(x-4\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x-4\\right)-x_2\\left(x-4\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx-4x-x_2x-x_2\\left(-4\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-4x-x_2x-x_2\\left(-4\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-4x-xx_2+4x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}-4x+4x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2-4\\right)+4x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $-4-x_2 = 5$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=-9$."], ["$\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+2x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=-2$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+2x+c &  = 0&& | \\cdot 4\\\\\n\\left(\\frac{1}{4} \\cdot x^{2}+2x+c\\right) \\cdot 4 &  = 0 \\cdot 4&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(\\frac{1}{4}x^{2}+2x+c\\right) \\cdot 4 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n4\\left(\\frac{1}{4}x^{2}+2x+c\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n4 \\cdot \\frac{1}{4}x^{2}+4 \\cdot 2x+4c &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+8x+4c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $8$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=-2$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-\\left(-2\\right)\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x+2\\right)x+\\left(x+2\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x+2\\right)-x_2\\left(x+2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx+2x-x_2x-x_2 \\cdot 2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+2x-x_2x-x_2 \\cdot 2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+2x-xx_2-2x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}+2x-2x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2+2\\right)-2x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $2-x_2 = 8$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=-6$."], ["$\\frac{1}{9} \\cdot x^{2}-1x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=3$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n\\frac{1}{9} \\cdot x^{2}-1x+c &  = 0&& | \\cdot 9\\\\\n\\left(\\frac{1}{9} \\cdot x^{2}-1x+c\\right) \\cdot 9 &  = 0 \\cdot 9&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(\\frac{1}{9}x^{2}-x+c\\right) \\cdot 9 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n9\\left(\\frac{1}{9}x^{2}-x+c\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n9 \\cdot \\frac{1}{9}x^{2}+9\\left(-x\\right)+9c &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-9x+9c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $-9$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=3$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-3\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x-3\\right)x+\\left(x-3\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x-3\\right)-x_2\\left(x-3\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx-3x-x_2x-x_2\\left(-3\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x-x_2x-x_2\\left(-3\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x-xx_2+3x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}-3x+3x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2-3\\right)+3x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $-3-x_2 = -9$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=6$."], ["$4 \\cdot x^{2}-52x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=5$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n4 \\cdot x^{2}-52x+c &  = 0&& | :4\\\\\n\\frac{4 \\cdot x^{2}-52x+c}{4} &  = \\frac{0}{4}&& | \\text{TU}\\\\\n\\frac{4x^{2}-52x+c}{4} &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-13x+\\frac{1}{4}c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $-13$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=5$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-5\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x-5\\right)x+\\left(x-5\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x-5\\right)-x_2\\left(x-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx-5x-x_2x-x_2\\left(-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-5x-x_2x-x_2\\left(-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-5x-xx_2+5x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}-5x+5x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2-5\\right)+5x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $-5-x_2 = -13$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=8$."], ["$4 \\cdot x^{2}+12x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=-8$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n4 \\cdot x^{2}+12x+c &  = 0&& | :4\\\\\n\\frac{4 \\cdot x^{2}+12x+c}{4} &  = \\frac{0}{4}&& | \\text{TU}\\\\\n\\frac{4x^{2}+12x+c}{4} &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+3x+\\frac{1}{4}c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $3$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=-8$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-\\left(-8\\right)\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x+8\\right)x+\\left(x+8\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x+8\\right)-x_2\\left(x+8\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx+8x-x_2x-x_2 \\cdot 8 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+8x-x_2x-x_2 \\cdot 8 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}+8x-xx_2-8x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}+8x-8x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2+8\\right)-8x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $8-x_2 = 3$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=5$."], ["$3 \\cdot x^{2}-9x+c = 0$. Bekannte Lösung: $x_1=5$", "Die Idee ist, dass die Gleichung mit den Lösungen in Produktform $(x-x_1)(x-x_2)=0$ geschrieben werden kann. Dazu wird die Gleichung erst mal normalisiert, damit der Koeffizient von $x^2$ Eins ist.<br>\\begin{align*}\n3 \\cdot x^{2}-9x+c &  = 0&& | :3\\\\\n\\frac{3 \\cdot x^{2}-9x+c}{3} &  = \\frac{0}{3}&& | \\text{TU}\\\\\n\\frac{3x^{2}-9x+c}{3} &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-3x+\\frac{1}{3}c &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ in ausmultiplizierter Form ist $-3$.<br>Die faktorisierte Form mit der Lösung $x_1=5$ und der unbekannten Lösung $x_2$ wird ebenfalls ausmultiplizert, um\n    den Koeffizienten von $x$ zu bestimmen:\\begin{align*}\n\\left(x-5\\right)\\left(x-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(x-5\\right)x+\\left(x-5\\right)\\left(-x_2\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx\\left(x-5\\right)-x_2\\left(x-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nxx-5x-x_2x-x_2\\left(-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-5x-x_2x-x_2\\left(-5\\right) &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}-5x-xx_2+5x_2 &  = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-xx_2+x^{2}-5x+5x_2 &  = 0&& | \\textrm{Potenzen von $x$ zusammenfassen}\\\\\nx^{2}+x\\left(-x_2-5\\right)+5x_2 &  = 0\\\\\n\\end{align*}Der Koeffizient von $x$ ist auch $-5-x_2 = -3$. Daraus folgt die zweite Lösung $x_2=-2$."]],
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