miniaufgabe.js
==== 15. Mai 2023 bis 19. Mai 2023 ====
=== Montag 15. Mai 2023 ===
Bestimmen Sie die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ für die Mitternachtsformel der folgenden quadratischen Gleichung, einmal als Gleichnung für $x$ und einmal als Gleichung für $y$.miniAufgabe("#exoquadratischegleichungen4","#solquadratischegleichungen4",
[["$\\left(zx+4y\\right)^{2}-2\\left(x+z\\right)\\left(y-3\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(zx+4y\\right)^{2}-2\\left(x+z\\right)\\left(y-3\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(zx\\right)^{2}+2 \\cdot zx \\cdot 4y+\\left(4y\\right)^{2}-2\\left(x+z\\right)y-2\\left(x+z\\right)\\left(-3\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+8xyz+4^{2}y^{2}-2y\\left(x+z\\right)+6\\left(x+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+8xyz+16y^{2}-2yx-2yz+6x+6z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+8xyz+16y^{2}-2xy-2yz+6x+6z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2}z^{2}+x\\left(8yz-2y+6\\right)+16y^{2}-2yz+6z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=8yz-2y+6$, $c=16y^{2}-2yz+6z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2} \\cdot 16+y\\left(8xz-2x-2z\\right)+z^{2}x^{2}+6x+6z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=16$, $b=8xz-2x-2z$, $c=z^{2}x^{2}+6x+6z$
\n"], ["$\\left(-5x+zy\\right)^{2}-5\\left(x+z\\right)\\left(y+6\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(-5x+zy\\right)^{2}-5\\left(x+z\\right)\\left(y+6\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(-5x\\right)^{2}+2\\left(-5x\\right) \\cdot zy+\\left(zy\\right)^{2}-5\\left(x+z\\right)y-5\\left(x+z\\right) \\cdot 6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(-5\\right)^{2}x^{2}-10xyz+z^{2}y^{2}-5y\\left(x+z\\right)-30\\left(x+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n25x^{2}-10xyz+z^{2}y^{2}-5yx-5yz+-30x-30z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n25x^{2}-10xyz+z^{2}y^{2}-5xy-5yz-30x-30z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2} \\cdot 25+x\\left(-10yz-5y-30\\right)+z^{2}y^{2}-5yz-30z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=25$, $b=-10yz-5y-30$, $c=z^{2}y^{2}-5yz-30z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2}z^{2}+y\\left(-10xz-5x-5z\\right)+25x^{2}-30x-30z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=-10xz-5x-5z$, $c=25x^{2}-30x-30z$
\n"], ["$\\left(-6x+zy\\right)^{2}-3\\left(x+z\\right)\\left(y-3\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(-6x+zy\\right)^{2}-3\\left(x+z\\right)\\left(y-3\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(-6x\\right)^{2}+2\\left(-6x\\right) \\cdot zy+\\left(zy\\right)^{2}-3\\left(x+z\\right)y-3\\left(x+z\\right)\\left(-3\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(-6\\right)^{2}x^{2}-12xyz+z^{2}y^{2}-3y\\left(x+z\\right)+9\\left(x+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n36x^{2}-12xyz+z^{2}y^{2}-3yx-3yz+9x+9z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n36x^{2}-12xyz+z^{2}y^{2}-3xy-3yz+9x+9z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2} \\cdot 36+x\\left(-12yz-3y+9\\right)+z^{2}y^{2}-3yz+9z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=36$, $b=-12yz-3y+9$, $c=z^{2}y^{2}-3yz+9z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2}z^{2}+y\\left(-12xz-3x-3z\\right)+36x^{2}+9x+9z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=-12xz-3x-3z$, $c=36x^{2}+9x+9z$
\n"], ["$\\left(-5x+zy\\right)^{2}-3\\left(x+6\\right)\\left(y+z\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(-5x+zy\\right)^{2}-3\\left(x+6\\right)\\left(y+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(-5x\\right)^{2}+2\\left(-5x\\right) \\cdot zy+\\left(zy\\right)^{2}-3\\left(x+6\\right)y-3\\left(x+6\\right)z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(-5\\right)^{2}x^{2}-10xyz+z^{2}y^{2}-3y\\left(x+6\\right)-3z\\left(x+6\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n25x^{2}-10xyz+z^{2}y^{2}-3yx-3y \\cdot 6-3zx-3z \\cdot 6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n25x^{2}-10xyz+z^{2}y^{2}-3xy-18y-3xz-18z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2} \\cdot 25+x\\left(-10yz-3y-3z\\right)+z^{2}y^{2}-18y-18z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=25$, $b=-10yz-3y-3z$, $c=z^{2}y^{2}-18y-18z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2}z^{2}+y\\left(-10xz-3x-18\\right)+25x^{2}-3xz-18z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=-10xz-3x-18$, $c=25x^{2}-3xz-18z$
\n"], ["$\\left(zx-3y\\right)^{2}-3\\left(x-6\\right)\\left(y+z\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(zx-3y\\right)^{2}-3\\left(x-6\\right)\\left(y+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(zx\\right)^{2}+2 \\cdot zx\\left(-3y\\right)+\\left(-3y\\right)^{2}-3\\left(x-6\\right)y-3\\left(x-6\\right)z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}-6xyz+\\left(-3\\right)^{2}y^{2}-3y\\left(x-6\\right)-3z\\left(x-6\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}-6xyz+9y^{2}-3yx-3y\\left(-6\\right)-3zx-3z\\left(-6\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}-6xyz+9y^{2}-3xy+18y-3xz+18z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2}z^{2}+x\\left(-6yz-3y-3z\\right)+9y^{2}+18y+18z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=-6yz-3y-3z$, $c=9y^{2}+18y+18z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2} \\cdot 9+y\\left(-6xz-3x+18\\right)+z^{2}x^{2}-3xz+18z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=9$, $b=-6xz-3x+18$, $c=z^{2}x^{2}-3xz+18z$
\n"], ["$\\left(zx+3y\\right)^{2}-3\\left(x+z\\right)\\left(y+5\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(zx+3y\\right)^{2}-3\\left(x+z\\right)\\left(y+5\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(zx\\right)^{2}+2 \\cdot zx \\cdot 3y+\\left(3y\\right)^{2}-3\\left(x+z\\right)y-3\\left(x+z\\right) \\cdot 5 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+6xyz+3^{2}y^{2}-3y\\left(x+z\\right)-15\\left(x+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+6xyz+9y^{2}-3yx-3yz+-15x-15z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+6xyz+9y^{2}-3xy-3yz-15x-15z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2}z^{2}+x\\left(6yz-3y-15\\right)+9y^{2}-3yz-15z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=6yz-3y-15$, $c=9y^{2}-3yz-15z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2} \\cdot 9+y\\left(6xz-3x-3z\\right)+z^{2}x^{2}-15x-15z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=9$, $b=6xz-3x-3z$, $c=z^{2}x^{2}-15x-15z$
\n"], ["$\\left(7x+zy\\right)^{2}-5\\left(x+6\\right)\\left(y+z\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(7x+zy\\right)^{2}-5\\left(x+6\\right)\\left(y+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(7x\\right)^{2}+2 \\cdot 7x \\cdot zy+\\left(zy\\right)^{2}-5\\left(x+6\\right)y-5\\left(x+6\\right)z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n7^{2}x^{2}+14xyz+z^{2}y^{2}-5y\\left(x+6\\right)-5z\\left(x+6\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n49x^{2}+14xyz+z^{2}y^{2}-5yx-5y \\cdot 6-5zx-5z \\cdot 6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n49x^{2}+14xyz+z^{2}y^{2}-5xy-30y-5xz-30z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2} \\cdot 49+x\\left(14yz-5y-5z\\right)+z^{2}y^{2}-30y-30z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=49$, $b=14yz-5y-5z$, $c=z^{2}y^{2}-30y-30z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2}z^{2}+y\\left(14xz-5x-30\\right)+49x^{2}-5xz-30z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=14xz-5x-30$, $c=49x^{2}-5xz-30z$
\n"], ["$\\left(zx+7y\\right)^{2}-5\\left(x+z\\right)\\left(y+6\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(zx+7y\\right)^{2}-5\\left(x+z\\right)\\left(y+6\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(zx\\right)^{2}+2 \\cdot zx \\cdot 7y+\\left(7y\\right)^{2}-5\\left(x+z\\right)y-5\\left(x+z\\right) \\cdot 6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+14xyz+7^{2}y^{2}-5y\\left(x+z\\right)-30\\left(x+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+14xyz+49y^{2}-5yx-5yz+-30x-30z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+14xyz+49y^{2}-5xy-5yz-30x-30z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2}z^{2}+x\\left(14yz-5y-30\\right)+49y^{2}-5yz-30z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=14yz-5y-30$, $c=49y^{2}-5yz-30z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2} \\cdot 49+y\\left(14xz-5x-5z\\right)+z^{2}x^{2}-30x-30z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=49$, $b=14xz-5x-5z$, $c=z^{2}x^{2}-30x-30z$
\n"], ["$\\left(-3x+zy\\right)^{2}-4\\left(x+z\\right)\\left(y+3\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(-3x+zy\\right)^{2}-4\\left(x+z\\right)\\left(y+3\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(-3x\\right)^{2}+2\\left(-3x\\right) \\cdot zy+\\left(zy\\right)^{2}-4\\left(x+z\\right)y-4\\left(x+z\\right) \\cdot 3 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(-3\\right)^{2}x^{2}-6xyz+z^{2}y^{2}-4y\\left(x+z\\right)-12\\left(x+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n9x^{2}-6xyz+z^{2}y^{2}-4yx-4yz+-12x-12z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n9x^{2}-6xyz+z^{2}y^{2}-4xy-4yz-12x-12z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2} \\cdot 9+x\\left(-6yz-4y-12\\right)+z^{2}y^{2}-4yz-12z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=9$, $b=-6yz-4y-12$, $c=z^{2}y^{2}-4yz-12z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2}z^{2}+y\\left(-6xz-4x-4z\\right)+9x^{2}-12x-12z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=-6xz-4x-4z$, $c=9x^{2}-12x-12z$
\n"], ["$\\left(zx+5y\\right)^{2}-2\\left(x+z\\right)\\left(y+5\\right) = 0$", "Erst einmal wird alles ausmultipliziert:\n\\begin{align*}\n\\left(zx+5y\\right)^{2}-2\\left(x+z\\right)\\left(y+5\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n\\left(zx\\right)^{2}+2 \\cdot zx \\cdot 5y+\\left(5y\\right)^{2}-2\\left(x+z\\right)y-2\\left(x+z\\right) \\cdot 5 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+10xyz+5^{2}y^{2}-2y\\left(x+z\\right)-10\\left(x+z\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+10xyz+25y^{2}-2yx-2yz+-10x-10z & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nz^{2}x^{2}+10xyz+25y^{2}-2xy-2yz-10x-10z & = 0\\\\\n\\end{align*}
Als Gleichung in $x$:
\nDie Terme in $x^2$, $x$ und ohne $x$ zusammenfassen:\n$x^{2}z^{2}+x\\left(10yz-2y-10\\right)+25y^{2}-2yz-10z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=z^{2}$, $b=10yz-2y-10$, $c=25y^{2}-2yz-10z$
\n
Als Gleichung in $y$:
\nDie Terme in $y^2$, $y$ und ohne $y$ zusammenfassen:\n$y^{2} \\cdot 25+y\\left(10xz-2x-2z\\right)+z^{2}x^{2}-10x-10z=0$
\nDaraus liest man die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ab:
\n$a=25$, $b=10xz-2x-2z$, $c=z^{2}x^{2}-10x-10z$
\n"]],
"
", "
");
Die Umformungen wurden automatisch erstellt und sind z.T. etwas umständlich und zu ausführlich. Sie dürfen sich gerne auch kürzer fassen.
ruby quadratische-gleichungen.rb 4
=== Dienstag 16. Mai 2023 ===
Vollständig ausmultiplizieren und ausdividieren. Das Resultat als Summe von Produkten ohne Quotienten schreiben (dafür mit evtl. negativen Exponenten).miniAufgabe("#exoausdividieren1","#solausdividieren1",
[["$\\displaystyle \\frac{-\\frac{5}{3}b^{4}p^{2}-\\frac{11}{5}k^{4}p^{2}\\left(\\frac{3}{2}p^{4}k+\\frac{10}{3}b^{2}k^{4}\\right)}{\\frac{2}{3}k^{3}p}$", "$\\displaystyle \\frac{-\\frac{5}{3}b^{4}p^{2}-\\frac{11}{5}k^{4}p^{2}\\left(\\frac{3}{2}p^{4}k+\\frac{10}{3}b^{2}k^{4}\\right)}{\\frac{2}{3}k^{3}p} = \\frac{-\\frac{5}{3}b^{4}p^{2}-\\frac{11}{5}k^{4}p^{2} \\cdot \\frac{3}{2}p^{4}k-\\frac{11}{5}k^{4}p^{2} \\cdot \\frac{10}{3}b^{2}k^{4}}{\\frac{2}{3}k^{3}p} = \\frac{-\\frac{5}{3}b^{4}p^{2}-\\frac{33}{10}k^{5}p^{6}-\\frac{22}{3}b^{2}k^{8}p^{2}}{\\frac{2}{3}k^{3}p} = -\\frac{5}{2}b^{4}k^{-3}p-\\frac{99}{20}k^{2}p^{5}-11b^{2}k^{5}p$"], ["$\\displaystyle \\frac{-\\frac{4}{3}d^{2}k+\\frac{8}{3}ad^{4}\\left(-\\frac{5}{4}d^{3}a^{2}+\\frac{11}{2}ak^{2}\\right)}{-\\frac{5}{2}a^{4}k}$", "$\\displaystyle \\frac{-\\frac{4}{3}d^{2}k+\\frac{8}{3}ad^{4}\\left(-\\frac{5}{4}d^{3}a^{2}+\\frac{11}{2}ak^{2}\\right)}{-\\frac{5}{2}a^{4}k} = \\frac{-\\frac{4}{3}d^{2}k+\\frac{8}{3}ad^{4}\\left(-\\frac{5}{4}d^{3}a^{2}\\right)+\\frac{8}{3}ad^{4} \\cdot \\frac{11}{2}ak^{2}}{-\\frac{5}{2}a^{4}k} = \\frac{-\\frac{4}{3}d^{2}k-\\frac{10}{3}a^{3}d^{7}+\\frac{44}{3}a^{2}d^{4}k^{2}}{-\\frac{5}{2}a^{4}k} = \\frac{8}{15}a^{-4}d^{2}+\\frac{4}{3}a^{-1}d^{7}k^{-1}-\\frac{88}{15}a^{-2}d^{4}k$"], ["$\\displaystyle \\frac{-\\frac{10}{7}ne^{4}+\\frac{10}{3}e^{2}k^{3}\\left(\\frac{10}{3}k^{4}n^{3}-\\frac{7}{5}en^{4}\\right)}{-\\frac{4}{3}e^{2}n^{4}}$", "$\\displaystyle \\frac{-\\frac{10}{7}ne^{4}+\\frac{10}{3}e^{2}k^{3}\\left(\\frac{10}{3}k^{4}n^{3}-\\frac{7}{5}en^{4}\\right)}{-\\frac{4}{3}e^{2}n^{4}} = \\frac{-\\frac{10}{7}ne^{4}+\\frac{10}{3}e^{2}k^{3} \\cdot \\frac{10}{3}k^{4}n^{3}+\\frac{10}{3}e^{2}k^{3}\\left(-\\frac{7}{5}en^{4}\\right)}{-\\frac{4}{3}e^{2}n^{4}} = \\frac{-\\frac{10}{7}ne^{4}+\\frac{100}{9}e^{2}k^{7}n^{3}-\\frac{14}{3}e^{3}k^{3}n^{4}}{-\\frac{4}{3}e^{2}n^{4}} = \\frac{15}{14}e^{2}n^{-3}-\\frac{25}{3}k^{7}n^{-1}+\\frac{7}{2}ek^{3}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{4}{7}ek^{2}-\\frac{2}{3}y^{4}e\\left(\\frac{6}{5}e^{2}y+\\frac{5}{2}y^{4}e\\right)}{-\\frac{5}{3}y^{2}e^{4}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{4}{7}ek^{2}-\\frac{2}{3}y^{4}e\\left(\\frac{6}{5}e^{2}y+\\frac{5}{2}y^{4}e\\right)}{-\\frac{5}{3}y^{2}e^{4}} = \\frac{\\frac{4}{7}ek^{2}-\\frac{2}{3}y^{4}e \\cdot \\frac{6}{5}e^{2}y-\\frac{2}{3}y^{4}e \\cdot \\frac{5}{2}y^{4}e}{-\\frac{5}{3}y^{2}e^{4}} = \\frac{\\frac{4}{7}ek^{2}-\\frac{4}{5}e^{3}y^{5}-\\frac{5}{3}e^{2}y^{8}}{-\\frac{5}{3}y^{2}e^{4}} = -\\frac{12}{35}e^{-3}k^{2}y^{-2}+\\frac{12}{25}e^{-1}y^{3}+e^{-2}y^{6}$"], ["$\\displaystyle \\frac{-\\frac{11}{5}c^{3}h^{4}+\\frac{7}{3}c^{4}n\\left(\\frac{7}{6}c^{3}n^{2}-\\frac{11}{5}h^{4}c^{3}\\right)}{\\frac{7}{4}n^{3}h^{2}}$", "$\\displaystyle \\frac{-\\frac{11}{5}c^{3}h^{4}+\\frac{7}{3}c^{4}n\\left(\\frac{7}{6}c^{3}n^{2}-\\frac{11}{5}h^{4}c^{3}\\right)}{\\frac{7}{4}n^{3}h^{2}} = \\frac{-\\frac{11}{5}c^{3}h^{4}+\\frac{7}{3}c^{4}n \\cdot \\frac{7}{6}c^{3}n^{2}+\\frac{7}{3}c^{4}n\\left(-\\frac{11}{5}h^{4}c^{3}\\right)}{\\frac{7}{4}n^{3}h^{2}} = \\frac{-\\frac{11}{5}c^{3}h^{4}+\\frac{49}{18}c^{7}n^{3}-\\frac{77}{15}c^{7}h^{4}n}{\\frac{7}{4}n^{3}h^{2}} = -\\frac{44}{35}c^{3}h^{2}n^{-3}+\\frac{14}{9}c^{7}h^{-2}-\\frac{44}{15}c^{7}h^{2}n^{-2}$"], ["$\\displaystyle \\frac{-\\frac{5}{6}km^{2}+\\frac{11}{5}m^{2}e^{4}\\left(-\\frac{4}{5}me^{4}+\\frac{4}{3}k^{3}e^{2}\\right)}{-\\frac{2}{3}k^{2}e^{4}}$", "$\\displaystyle \\frac{-\\frac{5}{6}km^{2}+\\frac{11}{5}m^{2}e^{4}\\left(-\\frac{4}{5}me^{4}+\\frac{4}{3}k^{3}e^{2}\\right)}{-\\frac{2}{3}k^{2}e^{4}} = \\frac{-\\frac{5}{6}km^{2}+\\frac{11}{5}m^{2}e^{4}\\left(-\\frac{4}{5}me^{4}\\right)+\\frac{11}{5}m^{2}e^{4} \\cdot \\frac{4}{3}k^{3}e^{2}}{-\\frac{2}{3}k^{2}e^{4}} = \\frac{-\\frac{5}{6}km^{2}-\\frac{44}{25}e^{8}m^{3}+\\frac{44}{15}e^{6}k^{3}m^{2}}{-\\frac{2}{3}k^{2}e^{4}} = 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\\frac{-\\frac{3}{2}w^{3}y-\\frac{5}{7}y^{3}k^{4}\\left(\\frac{8}{3}w^{4}y^{2}-\\frac{5}{2}ky^{3}\\right)}{\\frac{4}{3}wy^{4}} = \\frac{-\\frac{3}{2}w^{3}y-\\frac{5}{7}y^{3}k^{4} \\cdot \\frac{8}{3}w^{4}y^{2}-\\frac{5}{7}y^{3}k^{4}\\left(-\\frac{5}{2}ky^{3}\\right)}{\\frac{4}{3}wy^{4}} = \\frac{-\\frac{3}{2}w^{3}y-\\frac{40}{21}k^{4}w^{4}y^{5}+\\frac{25}{14}k^{5}y^{6}}{\\frac{4}{3}wy^{4}} = -\\frac{9}{8}w^{2}y^{-3}-\\frac{10}{7}k^{4}w^{3}y+\\frac{75}{56}k^{5}w^{-1}y^{2}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{2}{5}a^{4}f^{3}-\\frac{2}{7}a^{2}f^{3}\\left(-\\frac{3}{2}a^{4}h+\\frac{11}{2}f^{4}a^{2}\\right)}{-\\frac{11}{4}fh^{2}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{2}{5}a^{4}f^{3}-\\frac{2}{7}a^{2}f^{3}\\left(-\\frac{3}{2}a^{4}h+\\frac{11}{2}f^{4}a^{2}\\right)}{-\\frac{11}{4}fh^{2}} = \\frac{\\frac{2}{5}a^{4}f^{3}-\\frac{2}{7}a^{2}f^{3}\\left(-\\frac{3}{2}a^{4}h\\right)-\\frac{2}{7}a^{2}f^{3} \\cdot \\frac{11}{2}f^{4}a^{2}}{-\\frac{11}{4}fh^{2}} = 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