miniaufgabe.js
==== 28. August 2023 bis 1. September 2023 ====
=== Montag 28. August 2023 ===
Berechnen Sie die Längen folgender Vektoren. Alle Wurzeln sind quadrat- und bruchfrei zu schreiben. Brüche sind vollständig zu kürzen.
miniAufgabe("#exoveclenghtroots","#solveclenghtroots",
[["$\\begin{pmatrix}-\\frac{5}{2}\\\\ -\\frac{5}{4}\\\\ -\\frac{5}{4} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{25}{4}+\\frac{25}{16}+\\frac{25}{16}} = \\sqrt{\\frac{75}{8}} = \\frac{5}{2} \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{5}{2} \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{5}{4} \\sqrt{6}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{5}{8}\\\\ -\\frac{5}{4}\\\\ -\\frac{5}{8} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{25}{64}+\\frac{25}{16}+\\frac{25}{64}} = \\sqrt{\\frac{75}{32}} = \\frac{5}{4} \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{5}{4} \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{5}{8} \\sqrt{6}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{2}{5}\\\\ \\frac{2}{3}\\\\ -\\frac{4}{5} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{4}{25}+\\frac{4}{9}+\\frac{16}{25}} = \\sqrt{\\frac{56}{45}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} \\cdot \\sqrt{\\frac{5}{5}} = \\frac{2}{15} \\sqrt{70}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{7}{8}\\\\ \\frac{7}{8}\\\\ \\frac{5}{4} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{49}{64}+\\frac{49}{64}+\\frac{25}{16}} = \\sqrt{\\frac{99}{32}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{\\frac{11}{2}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{\\frac{11}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{8} \\sqrt{22}$"], ["$\\begin{pmatrix}\\frac{9}{4}\\\\ \\frac{3}{4}\\\\ \\frac{3}{2} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{81}{16}+\\frac{9}{16}+\\frac{9}{4}} = \\sqrt{\\frac{63}{8}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{7}{2}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{7}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{14}$"], ["$\\begin{pmatrix}\\frac{4}{5}\\\\ -\\frac{2}{3}\\\\ -\\frac{2}{5} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{16}{25}+\\frac{4}{9}+\\frac{4}{25}} = \\sqrt{\\frac{56}{45}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} \\cdot \\sqrt{\\frac{5}{5}} = \\frac{2}{15} \\sqrt{70}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{3}{4}\\\\ \\frac{3}{2}\\\\ -\\frac{9}{4} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{9}{16}+\\frac{9}{4}+\\frac{81}{16}} = \\sqrt{\\frac{63}{8}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{7}{2}} = \\frac{3}{2} \\sqrt{\\frac{7}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{4} \\sqrt{14}$"], ["$\\begin{pmatrix}\\frac{2}{9}\\\\ -\\frac{8}{9}\\\\ -\\frac{4}{9} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{4}{81}+\\frac{64}{81}+\\frac{16}{81}} = \\sqrt{\\frac{28}{27}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{7}{3}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{7}{3}} \\cdot \\sqrt{\\frac{3}{3}} = \\frac{2}{9} \\sqrt{21}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{2}{5}\\\\ \\frac{2}{3}\\\\ \\frac{4}{5} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{4}{25}+\\frac{4}{9}+\\frac{16}{25}} = \\sqrt{\\frac{56}{45}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} = \\frac{2}{3} \\sqrt{\\frac{14}{5}} \\cdot \\sqrt{\\frac{5}{5}} = \\frac{2}{15} \\sqrt{70}$"], ["$\\begin{pmatrix}-\\frac{9}{10}\\\\ \\frac{9}{10}\\\\ \\frac{3}{5} \\end{pmatrix}$", "$\\sqrt{\\frac{81}{100}+\\frac{81}{100}+\\frac{9}{25}} = \\sqrt{\\frac{99}{50}} = \\frac{3}{5} \\sqrt{\\frac{11}{2}} = \\frac{3}{5} \\sqrt{\\frac{11}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{2}{2}} = \\frac{3}{10} \\sqrt{22}$"]],
" ");
ruby vektoren-laange-wurzel-quadratfrei.rb 1
=== Dienstag 29. August 2023 ===
Skalieren Sie den Vektor auf die gewünschte Länge. Alle Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben.
miniAufgabe("#exovectolength","#solvectolength",
[["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{15}{4}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} = \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{15}{4}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{15}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{6} = \\begin{pmatrix} -\\frac{5}{4} \\\\ \\frac{5}{2} \\\\ \\frac{5}{2}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{8}{7}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{18}{7}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{49}+\\frac{64}{49}+\\frac{64}{49}} = \\sqrt{\\frac{144}{49}} = \\frac{12}{7}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{7}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{18}{7}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{12} \\cdot \\frac{18}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{3}{2} = \\begin{pmatrix} -\\frac{6}{7} \\\\ \\frac{12}{7} \\\\ \\frac{12}{7}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{9}{4}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{25}+\\frac{36}{25}+\\frac{36}{25}} = \\sqrt{\\frac{81}{25}} = \\frac{9}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{9}{4}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{9} \\cdot \\frac{9}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{4} \\\\ -\\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{21}{4}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} = \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{21}{4}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{21}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{6} = \\begin{pmatrix} -\\frac{7}{4} \\\\ \\frac{7}{2} \\\\ \\frac{7}{2}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{6}{5}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{49}+\\frac{64}{49}+\\frac{64}{49}} = \\sqrt{\\frac{144}{49}} = \\frac{12}{7}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{7}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{6}{5}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{12} \\cdot \\frac{6}{5} = \\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{10} = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{4}{5}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ -\\frac{8}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $4$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ -\\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{25}+\\frac{64}{25}+\\frac{64}{25}} = \\sqrt{\\frac{144}{25}} = \\frac{12}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $4$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ -\\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{12} \\cdot 4 = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ -\\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{3} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{3} \\\\ -\\frac{8}{3} \\\\ -\\frac{8}{3}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{9}{5}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{25}+\\frac{64}{25}+\\frac{64}{25}} = \\sqrt{\\frac{144}{25}} = \\frac{12}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{9}{5}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{12} \\cdot \\frac{9}{5} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{3}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ -3\\end{pmatrix} $ auf Länge $2$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} = \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $2$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot 2 = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{4}{9} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{3} \\\\ -\\frac{4}{3}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{4}{7}\\end{pmatrix} $ auf Länge $2$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{4}{7}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{4}{49}+\\frac{16}{49}+\\frac{16}{49}} = \\sqrt{\\frac{36}{49}} = \\frac{6}{7}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{6}{7}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $2$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{4}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{6} \\cdot 2 = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{4}{7}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{7}{3} = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{3} \\\\ \\frac{4}{3}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{18}{7}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{25}+\\frac{36}{25}+\\frac{36}{25}} = \\sqrt{\\frac{81}{25}} = \\frac{9}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{18}{7}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{5}{9} \\cdot \\frac{18}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{10}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{6}{7} \\\\ \\frac{12}{7} \\\\ \\frac{12}{7}\\end{pmatrix} $."]],
"
", "
");
ruby vektoren-auf-laenge-skalieren.rb 1