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miniaufgabe.js
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==== 3. September 2018 bis 7. September 2018 ====
=== Montag 3. September 2018 ===
Schreiben Sie das entsprechende Potenzgesetze auf und beweisen Sie es für natürliche Zahlen:<JS>miniAufgabe("#exopotenzgesetzebeweisen","#solpotenzgesetzebeweisen",
[["$a^n \\cdot a^m$", "$a^n\\cdot a^m = a^{n+m}$. \n     <b>Beweis</b>: $a^n \\cdot a^m = \n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ Faktoren}} \\cdot\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{m \\text{ Faktoren}} =\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n+m \\text{ Faktoren}} =a^{n+m}$"], ["$(a \\cdot b)^n$", "$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$. <b>Beweis</b>: $(a \\cdot b)^n = \n    \\underbrace{(a \\cdot b) \\cdot (a \\cdot b) \\cdot \\ldots \\cdot (a \\cdot b)}_{n \\text{ Klammern}} =\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ Faktoren}} \\cdot\n    \\underbrace{b\\cdot b \\cdot \\ldots \\cdot b}_{n \\text{ Faktoren}} = a^n \\cdot b^n$."], ["$\\left(a^n\\right)^m$", "$\\left(a^n\\right)^m = a^{n \\cdot m}$.\n    <b>Beweis</b>: $\\left(a^n\\right)^m = \n    \\underbrace{a^n\\cdot a^n \\cdot \\ldots \\cdot a^n}_{m \\text{ Potenzen}} =\n    \\underbrace{\\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right)\\cdot \\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right) \\cdot \\ldots \\cdot \\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right)}_{m \\text{ Klammern}} =\n    a^{n \\cdot m}$."], ["$\\frac{a^n}{a^m}$ für $n \\geq m$", "$\\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$. <b>Beweis</b>\n    $\\frac{a^n}{a^m} = \\frac{ \\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n \\text{ Faktoren}}}{\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{m \\text{ Faktoren}}} \\stackrel{m \\text{ Faktoren kürzen}}{=} \\frac{\\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n-m \\text{ Faktoren}}}{1} = a^{n-m}$."], ["$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n$", "$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\frac{a^n}{b^n}$. <b>Beweis</b>:\n    $\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\underbrace{\\frac{a}{b}\\cdot \\frac{a}{b} \\cdot \\ldots \\cdot \\frac{a}{b}}_{n \\text{ Brüche}} =\n    \\frac{\\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n \\text{ Faktoren}}}{\\underbrace{b\\cdot b \\cdot \\ldots \\cdot b}_{n \\text{ Faktoren}}} =\n    \\frac{a^n}{b^n}$."]],
" <br><hr> ", "<br><hr>", 3);});
</JS>
<HTML>
<div id="exopotenzgesetzebeweisen"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
<HTML>
<div id="solpotenzgesetzebeweisen"></div>
</HTML>
</hidden>


=== Donnerstag 6. September 2018 ===
3oG: Die erste Nachmittagslektion fällt aus.

Schreiben Sie die Formel zur Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren auf und berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren mit Hilfe vom TR.<JS>miniAufgabe("#exowinkelzwischenvektorentr","#solwinkelzwischenvektorentr",
[["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ -4 \\\\ -7\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ -3\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 35.538^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 9 \\\\ 2 \\\\ 5\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 4 \\\\ 3\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 28.533^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 3 \\\\ -6\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} 7 \\\\ -2 \\\\ 1\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 68.032^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 6 \\\\ 0\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 0 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 90.000^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 3 \\\\ -3\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 6 \\\\ 8\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 97.785^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ -5 \\\\ 7\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 0 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 153.203^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -7 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} -9 \\\\ 2 \\\\ -9\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 66.779^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 7 \\\\ -7 \\\\ -5\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 7 \\\\ 4\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 104.019^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ -1\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -8 \\\\ -5\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 102.707^{\\circ}$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -5 \\\\ -5 \\\\ -2\\end{pmatrix} ,\\quad \\vec v= \\begin{pmatrix} 5 \\\\ 1 \\\\ 6\\end{pmatrix} $", "$\\sphericalangle\\left(\\vec u, \\vec v\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec u| \\cdot |\\vec v|}\\right) \\stackrel{TR}{\\approx} 136.541^{\\circ}$"]],
"<br><hr>", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exowinkelzwischenvektorentr"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
<HTML>
<div id="solwinkelzwischenvektorentr"></div>
</HTML>
</hidden>

=== Freitag 7. September 2018 ===

Bestimmen Sie von Hand den ungefähren Winkel (auf $15^\circ$ genau) zwischen den Vektoren $\vec u$ und $\vec v$. Machen Sie eine Skizze im Einheitskreis, um den Winkel zum errechneten Cosinus-Wert zu bestimmen.<JS>miniAufgabe("#exowinkelzwischenvektorenvonhand","#solwinkelzwischenvektorenvonhand",
[["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -10 \\\\ -10 \\\\ 5\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -8 \\\\ 8 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-20}{15 \\cdot 12} = -\\frac{1}{9} \\approx -0.1$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 96$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ -4 \\\\ -8\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -6 \\\\ 6 \\\\ 3\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-54}{9 \\cdot 9} = -\\frac{2}{3} \\approx -0.66$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 132$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\\\ -2\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -6 \\\\ 3\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-24}{3 \\cdot 9} = -\\frac{8}{9} \\approx -0.88$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 153$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 8 \\\\ -8\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 10 \\\\ 10 \\\\ -5\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{160}{12 \\cdot 15} = \\frac{8}{9} \\approx 0.89$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 27$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} -10 \\\\ -10 \\\\ 5\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ -2 \\\\ -2\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{20}{15 \\cdot 3} = \\frac{4}{9} \\approx 0.44$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 64$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\\\ 4\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ -4 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-16}{6 \\cdot 6} = -\\frac{4}{9} \\approx -0.43$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 116$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ 3 \\\\ -6\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 10 \\\\ -5 \\\\ -10\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{105}{9 \\cdot 15} = \\frac{7}{9} \\approx 0.78$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 39$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 4 \\\\ -8\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 8 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{128}{12 \\cdot 12} = \\frac{8}{9} \\approx 0.89$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 27$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 6 \\\\ -6 \\\\ 3\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ 8 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{-12}{9 \\cdot 12} = -\\frac{1}{9} \\approx -0.1$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 96$^\\circ$"], ["$\\vec u = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 2 \\\\ -4\\end{pmatrix} , \\qquad \\vec v = \\begin{pmatrix} 8 \\\\ -8 \\\\ -4\\end{pmatrix} $", "$\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec u \\cdot \\vec v}{|\\vec v| \\cdot |\\vec u|} = \\frac{32}{6 \\cdot 12} = \\frac{4}{9} \\approx 0.44$. Auf dem Einheitskreis liest man ungefähr den zugehörigen Winkel ab: 64$^\\circ$"]],
"<br><hr>", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exowinkelzwischenvektorenvonhand"></div>

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<hidden Lösungen>
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<div id="solwinkelzwischenvektorenvonhand"></div>
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