==== 11. September 2017 bis 15. September 2017 ==== miniaufgabe.js === Dienstag 12. September 2017 und Donnerstag 14. September 2017 === Lösen Sie folgende Gleichungssysteme schrittweise von Hand auf. Entweder mit Eliminationsverfahren oder nach einer Variablen auflösen und in die andere Gleichung einsetzen. **Achtung** Halbdynamische Aufgabe. miniAufgabe("#exos4","#sol4", [["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle {{y}\\over{3}}+{{x}\\over{4}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{12}}\\\\\n\\displaystyle -{{y}\\over{4}}-{{x}\\over{9}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{6}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle {{y}\\over{3}}+{{x}\\over{4}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{12}} \\quad & | \\cdot 12\\\\\n\\displaystyle -{{y}\\over{4}}-{{x}\\over{9}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{6}} \\quad & | \\cdot 36\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle 4y+3x &\\displaystyle = -1 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle -9y-4x &\\displaystyle = -6 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x=-{{4y+1}\\over{3}}$ und in (2) eingesetzt:
${{4\\left(4y+1\\right)}\\over{3}}-9y=-6$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad {{4}\\over{3}}-{{11y}\\over{3}}=-6$ nach $y$ aufgelöst: $y=2$
Eingesetzt in $ x=-{{4y+1}\\over{3}}=-3$
Lösung:   $x=-3$ und $y=2$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle {{y}\\over{5}}-{{x}\\over{6}} &\\displaystyle = {{2}\\over{15}}\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{7}}-{{x}\\over{6}} &\\displaystyle = -{{2}\\over{21}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle {{y}\\over{5}}-{{x}\\over{6}} &\\displaystyle = {{2}\\over{15}} \\quad & | \\cdot -30\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{7}}-{{x}\\over{6}} &\\displaystyle = -{{2}\\over{21}} \\quad & | \\cdot -42\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle 5x-6y &\\displaystyle = -4 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 7x-6y &\\displaystyle = 4 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x={{6y-4}\\over{5}}$ und in (2) eingesetzt:
${{7\\left(6y-4\\right)}\\over{5}}-6y=4$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad {{12y}\\over{5}}-{{28}\\over{5}}=4$ nach $y$ aufgelöst: $y=4$
Eingesetzt in $ x={{6y-4}\\over{5}}=4$
Lösung:   $x=4$ und $y=4$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle {{x}\\over{7}}-{{y}\\over{5}} &\\displaystyle = {{12}\\over{7}}\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{4}}-{{x}\\over{3}} &\\displaystyle = -{{35}\\over{12}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle {{x}\\over{7}}-{{y}\\over{5}} &\\displaystyle = {{12}\\over{7}} \\quad & | \\cdot -35\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{4}}-{{x}\\over{3}} &\\displaystyle = -{{35}\\over{12}} \\quad & | \\cdot -12\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle 7y-5x &\\displaystyle = -60 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 4x-3y &\\displaystyle = 35 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x={{7y+60}\\over{5}}$ und in (2) eingesetzt:
${{4\\left(7y+60\\right)}\\over{5}}-3y=35$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad {{13y}\\over{5}}+48=35$ nach $y$ aufgelöst: $y=-5$
Eingesetzt in $ x={{7y+60}\\over{5}}=5$
Lösung:   $x=5$ und $y=-5$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle {{x}\\over{5}}-{{y}\\over{4}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{4}}\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{7}}+{{x}\\over{6}} &\\displaystyle = -{{53}\\over{42}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle {{x}\\over{5}}-{{y}\\over{4}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{4}} \\quad & | \\cdot -20\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{7}}+{{x}\\over{6}} &\\displaystyle = -{{53}\\over{42}} \\quad & | \\cdot 42\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle 5y-4x &\\displaystyle = 5 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 6y+7x &\\displaystyle = -53 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x={{5y-5}\\over{4}}$ und in (2) eingesetzt:
${{7\\left(5y-5\\right)}\\over{4}}+6y=-53$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad {{59y}\\over{4}}-{{35}\\over{4}}=-53$ nach $y$ aufgelöst: $y=-3$
Eingesetzt in $ x={{5y-5}\\over{4}}=-5$
Lösung:   $x=-5$ und $y=-3$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle -{{y}\\over{4}}-{{x}\\over{7}} &\\displaystyle = -{{9}\\over{7}}\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{7}}+{{x}\\over{9}} &\\displaystyle = {{50}\\over{63}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle -{{y}\\over{4}}-{{x}\\over{7}} &\\displaystyle = -{{9}\\over{7}} \\quad & | \\cdot 28\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{7}}+{{x}\\over{9}} &\\displaystyle = {{50}\\over{63}} \\quad & | \\cdot 63\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle -7y-4x &\\displaystyle = -36 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 9y+7x &\\displaystyle = 50 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x=-{{7y-36}\\over{4}}$ und in (2) eingesetzt:
$9y-{{7\\left(7y-36\\right)}\\over{4}}=50$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad 63-{{13y}\\over{4}}=50$ nach $y$ aufgelöst: $y=4$
Eingesetzt in $ x=-{{7y-36}\\over{4}}=2$
Lösung:   $x=2$ und $y=4$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle {{y}\\over{7}}-{{x}\\over{8}} &\\displaystyle = -{{3}\\over{56}}\\\\\n\\displaystyle {{x}\\over{7}}-{{y}\\over{3}} &\\displaystyle = {{4}\\over{7}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle {{y}\\over{7}}-{{x}\\over{8}} &\\displaystyle = -{{3}\\over{56}} \\quad & | \\cdot -56\\\\\n\\displaystyle {{x}\\over{7}}-{{y}\\over{3}} &\\displaystyle = {{4}\\over{7}} \\quad & | \\cdot -21\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle 7x-8y &\\displaystyle = 3 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 7y-3x &\\displaystyle = -12 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x={{8y+3}\\over{7}}$ und in (2) eingesetzt:
$7y-{{3\\left(8y+3\\right)}\\over{7}}=-12$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad {{25y}\\over{7}}-{{9}\\over{7}}=-12$ nach $y$ aufgelöst: $y=-3$
Eingesetzt in $ x={{8y+3}\\over{7}}=-3$
Lösung:   $x=-3$ und $y=-3$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle -{{y}\\over{7}}-{{x}\\over{5}} &\\displaystyle = {{24}\\over{35}}\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{7}}-{{x}\\over{9}} &\\displaystyle = -{{4}\\over{63}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle -{{y}\\over{7}}-{{x}\\over{5}} &\\displaystyle = {{24}\\over{35}} \\quad & | \\cdot 35\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{7}}-{{x}\\over{9}} &\\displaystyle = -{{4}\\over{63}} \\quad & | \\cdot -63\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle -5y-7x &\\displaystyle = 24 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 7x-9y &\\displaystyle = 4 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x=-{{5y+24}\\over{7}}$ und in (2) eingesetzt:
$-14y-24=4$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad -14y-24=4$ nach $y$ aufgelöst: $y=-2$
Eingesetzt in $ x=-{{5y+24}\\over{7}}=-2$
Lösung:   $x=-2$ und $y=-2$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle {{y}\\over{3}}-{{x}\\over{4}} &\\displaystyle = {{5}\\over{6}}\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{9}}-{{x}\\over{4}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{18}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle {{y}\\over{3}}-{{x}\\over{4}} &\\displaystyle = {{5}\\over{6}} \\quad & | \\cdot -12\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{9}}-{{x}\\over{4}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{18}} \\quad & | \\cdot -36\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle 3x-4y &\\displaystyle = -10 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 9x-4y &\\displaystyle = 2 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x={{4y-10}\\over{3}}$ und in (2) eingesetzt:
$3\\left(4y-10\\right)-4y=2$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad 8y-30=2$ nach $y$ aufgelöst: $y=4$
Eingesetzt in $ x={{4y-10}\\over{3}}=2$
Lösung:   $x=2$ und $y=4$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle {{y}\\over{6}}+{{x}\\over{5}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{3}}\\\\\n\\displaystyle {{x}\\over{7}}-{{y}\\over{3}} &\\displaystyle = -{{43}\\over{21}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle {{y}\\over{6}}+{{x}\\over{5}} &\\displaystyle = -{{1}\\over{3}} \\quad & | \\cdot 30\\\\\n\\displaystyle {{x}\\over{7}}-{{y}\\over{3}} &\\displaystyle = -{{43}\\over{21}} \\quad & | \\cdot -21\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle 5y+6x &\\displaystyle = -10 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 7y-3x &\\displaystyle = 43 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x=-{{5y+10}\\over{6}}$ und in (2) eingesetzt:
${{5y+10}\\over{2}}+7y=43$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad {{19y}\\over{2}}+5=43$ nach $y$ aufgelöst: $y=4$
Eingesetzt in $ x=-{{5y+10}\\over{6}}=-5$
Lösung:   $x=-5$ und $y=4$
"], ["$\\left\\{\\begin{array}{rl} \\displaystyle {{y}\\over{4}}-{{x}\\over{3}} &\\displaystyle = {{1}\\over{12}}\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{5}}-{{x}\\over{9}} &\\displaystyle = -{{5}\\over{9}}\\end{array}\\right.$\n", "$\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle {{y}\\over{4}}-{{x}\\over{3}} &\\displaystyle = {{1}\\over{12}} \\quad & | \\cdot -12\\\\\n\\displaystyle {{y}\\over{5}}-{{x}\\over{9}} &\\displaystyle = -{{5}\\over{9}} \\quad & | \\cdot -45\\end{array}\\right. \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad $   $\\left\\{\\begin{array}{rll} \\displaystyle 4x-3y &\\displaystyle = -1 \\qquad & (1)\\\\\n\\displaystyle 5x-9y &\\displaystyle = 25 \\qquad & (2)\\end{array}\\right.$\n
Gleichung (1) nach $x$ aufgelöst: $x={{3y-1}\\over{4}}$ und in (2) eingesetzt:
${{5\\left(3y-1\\right)}\\over{4}}-9y=25$$ \\qquad \\Leftrightarrow \\qquad -{{21y}\\over{4}}-{{5}\\over{4}}=25$ nach $y$ aufgelöst: $y=-5$
Eingesetzt in $ x={{3y-1}\\over{4}}=-4$
Lösung:   $x=-4$ und $y=-5$
"]], "     " );});
Hinweis: Diese Lösungen sind automatisch nach einem fixen Muster generiert, und entsprechen meistens nicht der effizientesten Variante. Eine geschickte Linearkombination ist meist mit weniger Aufwand verbunden. (Oder nach der anderen Variablen auflösen, bzw. die andere Gleichung lösen kann auch einfacher sein).
=== Freitag 15. September 2017 === miniAufgabe("#exos5","#sol5", [["In welchem Punkt schneiden sich die Graphen der Funktionen $f(x)=2x-1$ und $g(x)=\\frac{1}{2}x+1$?","Man sucht jenen $x$-Wert, der für beide Funktionen den gleichen $y$-Wert liefert, d.h. man löst $f(x)=g(x)$ nach $x$ auf und setzt dann in eine der beiden Funktionen ein. Lösung: $\\left(\\frac{4}{3}, \\frac{5}{3}\\right)$"], ["In welchem Punkt schneiden sich die Graphen der Funktionen $f(x)=-2x-1$ und $g(x)=-\\frac{1}{2}x+1$?","Man sucht jenen $x$-Wert, der für beide Funktionen den gleichen $y$-Wert liefert, d.h. man löst $f(x)=g(x)$ nach $x$ auf und setzt dann in eine der beiden Funktionen ein. Lösung: $\\left(-\\frac{4}{3}, \\frac{5}{3}\\right)$"], ["In welchem Punkt schneiden sich die Graphen der Funktionen $f(x)=3x-1$ und $g(x)=-\\frac{1}{3}x+1$?","Man sucht jenen $x$-Wert, der für beide Funktionen den gleichen $y$-Wert liefert, d.h. man löst $f(x)=g(x)$ nach $x$ auf und setzt dann in eine der beiden Funktionen ein. Lösung: $\\left(\\frac{3}{5}, \\frac{4}{5}\\right)$"], ["Bestimmen Sie die lineare Funktion mit Steigung $2$, deren Graph durch den Punkt $(3,2)$ geht.","$f(x)=2x+q$ wobei der Achsenabscnitt $q$ zu bestimmen ist. Eingesetzt: $2\\cdot 3+ q = 2$, also $q=-4$."], ["Bestimmen Sie die lineare Funktion mit Steigung $\\frac{1}{2}$, deren Graph durch den Punkt $(3,2)$ geht.","$f(x)=\\frac{1}{2}x+q$ wobei der Achsenabscnitt $q$ zu bestimmen ist. Eingesetzt: $\\frac{1}{2}\\cdot 3+ q = 2$, also $q=\\frac{1}{2}$."], ["Bestimmen Sie die lineare Funktion mit Steigung $-1$, deren Graph durch den Punkt $(3,2)$ geht.","$f(x)=-x+q$ wobei der Achsenabscnitt $q$ zu bestimmen ist. Eingesetzt: $-3+ q = 2$, also $q=5$."], ["Bestimmen Sie die Steigung der Geraden durch die Punkte $A=(2,4)$ und $B=(4,3)$.","Die Steigung ist definiert als $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$, wobei hier jeweils die Koordinaten des zweiten Punktes minus die Koordinaten des ersten Punkte gerechnet werden (analog zu Vektoren). Also $m=\\frac{3-4}{4-2} = \\frac{1}{2}$"], ["Bestimmen Sie die Steigung der Geraden durch die Punkte $A=(-2,4)$ und $B=(-4,3)$.","Die Steigung ist definiert als $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$, wobei hier jeweils die Koordinaten des zweiten Punktes minus die Koordinaten des ersten Punkte gerechnet werden (analog zu Vektoren). Also $m=\\frac{3-4}{-4-(-2)} = -\\frac{1}{2}$"], ["Bestimmen Sie die Steigung der Geraden durch die Punkte $A=(2,-4)$ und $B=(4,3)$.","Die Steigung ist definiert als $\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$, wobei hier jeweils die Koordinaten des zweiten Punktes minus die Koordinaten des ersten Punkte gerechnet werden (analog zu Vektoren). Also $m=\\frac{3-(-4)}{4-2} = \\frac{7}{2}$"], ], "

" );}); **Halbdynamische Aufgabe** zu linearen Funktionen mit 3 Aufgabentypen: * Schnittpunkt der Graphen zweier linearen Funktionen * Bestimmung des Achsenabschnitts, wenn Steigung und ein Punkt gegeben ist. * Bestimmung der Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind.