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  miniaufgabe.js
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==== 25. September 2023 bis 29. September 2023 ====
=== Montag 25. September 2023 ===
Bestimmen Sie die Differenz $d$ und das erste Folgeglied $a_0$ einer arithmetischen Folge mit:<JS>miniAufgabe("#exoaf_aus_glieder_1","#solaf_aus_glieder_1",
[["$a_{5}=\\frac{27}{5}$ und $a_{7}=\\frac{31}{5}$.", "$d=\\frac{a_{7}-a_{5}}{2} = \\frac{\\frac{4}{5}}{2} = \\frac{2}{5}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{5} - 5\\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{27}{5} - 5 \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{17}{5}$"], ["$a_{3}=-\\frac{17}{5}$ und $a_{5}=-\\frac{11}{5}$.", "$d=\\frac{a_{5}-a_{3}}{2} = \\frac{\\frac{6}{5}}{2} = \\frac{3}{5}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{3} - 3\\cdot \\frac{3}{5} = -\\frac{17}{5} - 3 \\cdot \\frac{3}{5} = -\\frac{26}{5}$"], ["$a_{3}=-\\frac{3}{2}$ und $a_{8}=-\\frac{31}{4}$.", "$d=\\frac{a_{8}-a_{3}}{5} = \\frac{-\\frac{25}{4}}{5} = -\\frac{5}{4}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{3} - 3\\cdot \\left(-\\frac{5}{4}\\right) = -\\frac{3}{2} - 3 \\cdot \\left(-\\frac{5}{4}\\right) = \\frac{9}{4}$"], ["$a_{3}=-\\frac{9}{5}$ und $a_{5}=-\\frac{3}{5}$.", "$d=\\frac{a_{5}-a_{3}}{2} = \\frac{\\frac{6}{5}}{2} = \\frac{3}{5}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{3} - 3\\cdot \\frac{3}{5} = -\\frac{9}{5} - 3 \\cdot \\frac{3}{5} = -\\frac{18}{5}$"], ["$a_{5}=-\\frac{16}{5}$ und $a_{9}=-\\frac{8}{5}$.", "$d=\\frac{a_{9}-a_{5}}{4} = \\frac{\\frac{8}{5}}{4} = \\frac{2}{5}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{5} - 5\\cdot \\frac{2}{5} = -\\frac{16}{5} - 5 \\cdot \\frac{2}{5} = -\\frac{26}{5}$"], ["$a_{5}=\\frac{37}{4}$ und $a_{8}=\\frac{23}{2}$.", "$d=\\frac{a_{8}-a_{5}}{3} = \\frac{\\frac{9}{4}}{3} = \\frac{3}{4}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{5} - 5\\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{37}{4} - 5 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{11}{2}$"], ["$a_{6}=-\\frac{7}{3}$ und $a_{8}=-\\frac{5}{3}$.", "$d=\\frac{a_{8}-a_{6}}{2} = \\frac{\\frac{2}{3}}{2} = \\frac{1}{3}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{6} - 6\\cdot \\frac{1}{3} = -\\frac{7}{3} - 6 \\cdot \\frac{1}{3} = -\\frac{13}{3}$"], ["$a_{3}=\\frac{12}{5}$ und $a_{6}=\\frac{3}{5}$.", "$d=\\frac{a_{6}-a_{3}}{3} = \\frac{-\\frac{9}{5}}{3} = -\\frac{3}{5}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{3} - 3\\cdot \\left(-\\frac{3}{5}\\right) = \\frac{12}{5} - 3 \\cdot \\left(-\\frac{3}{5}\\right) = \\frac{21}{5}$"], ["$a_{5}=-\\frac{18}{5}$ und $a_{8}=-\\frac{21}{5}$.", "$d=\\frac{a_{8}-a_{5}}{3} = \\frac{-\\frac{3}{5}}{3} = -\\frac{1}{5}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{5} - 5\\cdot \\left(-\\frac{1}{5}\\right) = -\\frac{18}{5} - 5 \\cdot \\left(-\\frac{1}{5}\\right) = -\\frac{13}{5}$"], ["$a_{5}=-\\frac{3}{4}$ und $a_{7}=\\frac{3}{4}$.", "$d=\\frac{a_{7}-a_{5}}{2} = \\frac{\\frac{3}{2}}{2} = \\frac{3}{4}$. Daraus folgt z.B. $a_0 = a_{5} - 5\\cdot \\frac{3}{4} = -\\frac{3}{4} - 5 \\cdot \\frac{3}{4} = -\\frac{9}{2}$"]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exoaf_aus_glieder_1"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solaf_aus_glieder_1"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby af-aus-zwei-gliedern.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>

=== Dienstag 26. September 2023 ===
Bestimmen Sie den Quotienten $q$ und das erste Folgeglied $g_0$ einer geometrischen Folge mit:<JS>miniAufgabe("#exoaf_gf_aus_glieder_2","#solaf_gf_aus_glieder_2",
[["$g_{4}=\\frac{9}{4}$ und $g_{7}=\\frac{243}{32}$.", "Man muss $a_{4}$ 3 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{7}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{7} = q^{3} \\cdot a_{4}$, also $q^{3} = \\frac{a_{7}}{a_{4}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[3]{\\frac{g_{7}}{g_{4}}} = \\sqrt[3]{\\frac{\\frac{243}{32}}{\\frac{9}{4}}} = \\sqrt[3]{\\frac{243}{32}\\cdot{\\frac{4}{9}}} = \\sqrt[3]{\\frac{27}{8}} = \\frac{3}{2}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{-4} = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{4} = \\frac{9}{4} \\cdot \\frac{16}{81} = \\frac{4}{9}$"], ["$g_{4}=\\frac{9}{4}$ und $g_{7}=\\frac{243}{32}$.", "Man muss $a_{4}$ 3 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{7}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{7} = q^{3} \\cdot a_{4}$, also $q^{3} = \\frac{a_{7}}{a_{4}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[3]{\\frac{g_{7}}{g_{4}}} = \\sqrt[3]{\\frac{\\frac{243}{32}}{\\frac{9}{4}}} = \\sqrt[3]{\\frac{243}{32}\\cdot{\\frac{4}{9}}} = \\sqrt[3]{\\frac{27}{8}} = \\frac{3}{2}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{-4} = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{4} = \\frac{9}{4} \\cdot \\frac{16}{81} = \\frac{4}{9}$"], ["$g_{2}=\\frac{4}{9}$ und $g_{6}=\\frac{9}{64}$.", "Man muss $a_{2}$ 4 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{6}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{6} = q^{4} \\cdot a_{2}$, also $q^{4} = \\frac{a_{6}}{a_{2}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[4]{\\frac{g_{6}}{g_{2}}} = \\sqrt[4]{\\frac{\\frac{9}{64}}{\\frac{4}{9}}} = \\sqrt[4]{\\frac{9}{64}\\cdot{\\frac{9}{4}}} = \\sqrt[4]{\\frac{81}{256}} = \\frac{3}{4}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{2} \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{-2} = g_{2} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}\\right)^{2} = \\frac{4}{9} \\cdot \\frac{16}{9} = \\frac{64}{81}$"], ["$g_{3}=\\frac{3}{4}$ und $g_{5}=\\frac{27}{64}$.", "Man muss $a_{3}$ 2 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{5}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{5} = q^{2} \\cdot a_{3}$, also $q^{2} = \\frac{a_{5}}{a_{3}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[2]{\\frac{g_{5}}{g_{3}}} = \\sqrt[2]{\\frac{\\frac{27}{64}}{\\frac{3}{4}}} = \\sqrt[2]{\\frac{27}{64}\\cdot{\\frac{4}{3}}} = \\sqrt[2]{\\frac{9}{16}} = \\frac{3}{4}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{3} \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{-3} = g_{3} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}\\right)^{3} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{64}{27} = \\frac{16}{9}$"], ["$g_{2}=\\frac{2}{3}$ und $g_{4}=\\frac{3}{2}$.", "Man muss $a_{2}$ 2 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{4}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{4} = q^{2} \\cdot a_{2}$, also $q^{2} = \\frac{a_{4}}{a_{2}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[2]{\\frac{g_{4}}{g_{2}}} = \\sqrt[2]{\\frac{\\frac{3}{2}}{\\frac{2}{3}}} = \\sqrt[2]{\\frac{3}{2}\\cdot{\\frac{3}{2}}} = \\sqrt[2]{\\frac{9}{4}} = \\frac{3}{2}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{2} \\cdot \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{-2} = g_{2} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{4}{9} = \\frac{8}{27}$"], ["$g_{2}=\\frac{2}{9}$ und $g_{5}=\\frac{3}{4}$.", "Man muss $a_{2}$ 3 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{5}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{5} = q^{3} \\cdot a_{2}$, also $q^{3} = \\frac{a_{5}}{a_{2}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[3]{\\frac{g_{5}}{g_{2}}} = \\sqrt[3]{\\frac{\\frac{3}{4}}{\\frac{2}{9}}} = \\sqrt[3]{\\frac{3}{4}\\cdot{\\frac{9}{2}}} = \\sqrt[3]{\\frac{27}{8}} = \\frac{3}{2}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{2} \\cdot \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{-2} = g_{2} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2} = \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{4}{9} = \\frac{8}{81}$"], ["$g_{3}=\\frac{3}{4}$ und $g_{7}=\\frac{243}{1024}$.", "Man muss $a_{3}$ 4 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{7}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{7} = q^{4} \\cdot a_{3}$, also $q^{4} = \\frac{a_{7}}{a_{3}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[4]{\\frac{g_{7}}{g_{3}}} = \\sqrt[4]{\\frac{\\frac{243}{1024}}{\\frac{3}{4}}} = \\sqrt[4]{\\frac{243}{1024}\\cdot{\\frac{4}{3}}} = \\sqrt[4]{\\frac{81}{256}} = \\frac{3}{4}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{3} \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{-3} = g_{3} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}\\right)^{3} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{64}{27} = \\frac{16}{9}$"], ["$g_{4}=\\frac{2}{9}$ und $g_{8}=\\frac{32}{729}$.", "Man muss $a_{4}$ 4 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{8}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{8} = q^{4} \\cdot a_{4}$, also $q^{4} = \\frac{a_{8}}{a_{4}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[4]{\\frac{g_{8}}{g_{4}}} = \\sqrt[4]{\\frac{\\frac{32}{729}}{\\frac{2}{9}}} = \\sqrt[4]{\\frac{32}{729}\\cdot{\\frac{9}{2}}} = \\sqrt[4]{\\frac{16}{81}} = \\frac{2}{3}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{-4} = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{4} = \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{81}{16} = \\frac{9}{8}$"], ["$g_{4}=\\frac{3}{4}$ und $g_{8}=\\frac{243}{1024}$.", "Man muss $a_{4}$ 4 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{8}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{8} = q^{4} \\cdot a_{4}$, also $q^{4} = \\frac{a_{8}}{a_{4}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[4]{\\frac{g_{8}}{g_{4}}} = \\sqrt[4]{\\frac{\\frac{243}{1024}}{\\frac{3}{4}}} = \\sqrt[4]{\\frac{243}{1024}\\cdot{\\frac{4}{3}}} = \\sqrt[4]{\\frac{81}{256}} = \\frac{3}{4}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{-4} = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{4}{3}\\right)^{4} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{256}{81} = \\frac{64}{27}$"], ["$g_{4}=\\frac{3}{4}$ und $g_{8}=\\frac{243}{64}$.", "Man muss $a_{4}$ 4 mal mit $q$ multiplizieren, um $a_{8}$ zu erhalten.<br>D.h. $a_{8} = q^{4} \\cdot a_{4}$, also $q^{4} = \\frac{a_{8}}{a_{4}}$. Und damit ist <br>$q=\\sqrt[4]{\\frac{g_{8}}{g_{4}}} = \\sqrt[4]{\\frac{\\frac{243}{64}}{\\frac{3}{4}}} = \\sqrt[4]{\\frac{243}{64}\\cdot{\\frac{4}{3}}} = \\sqrt[4]{\\frac{81}{16}} = \\frac{3}{2}$. Daraus folgt z.B. $g_0 = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{3}{2}\\right)^{-4} = g_{4} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^{4} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{16}{81} = \\frac{4}{27}$"]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
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<div id="exoaf_gf_aus_glieder_2"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solaf_gf_aus_glieder_2"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby af-aus-zwei-gliedern.rb 2</div>
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