miniaufgabe.js ==== 4. November 2019 bis 8. November 2019 ==== === Dienstag 5. November 2019 === Bestimmen Sie mit Hilfe des TRs den Abstand des Graphen der Funktion $f(x)$ vom Ursprung. Dokumentieren Sie dazu formal Ihr Vorgehen sowie die Lösung auf 3 Nachkommastellen gerundet.miniAufgabe("#exoabstand_funktion_ursprung","#solabstand_funktion_ursprung", [["$f(x) = x^2 +6x +4$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{-0.728,-3.342,-4.929}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.746,5.917,5.092}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.746$."], ["$f(x) = x^2 -2x -2$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{-0.673,1.203,2.47}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.702,3.194,2.609}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.702$."], ["$f(x) = x^2 -6x +7$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{1.433}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{1.504}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $1.504$."], ["$f(x) = x^2 -2x -3$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{1.144,-0.939,2.795}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{4.14,0.969,2.901}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.969$."], ["$f(x) = x^2 -4x +2$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.524}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.554}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.554$."], ["$f(x) = x^2 -6x +5$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.943,3.456,4.601}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.971,5.131,4.82}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.971$."], ["$f(x) = x^2 +4x -1$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.225,-2.225,-4.0}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.23,5.427,4.123}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.23$."], ["$f(x) = x^2 -2x -2$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{-0.673,1.203,2.47}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.702,3.194,2.609}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.702$."], ["$f(x) = x^2 +2x -1$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.366,-1.366,-2.0}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.39,2.313,2.236}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.39$."], ["$f(x) = x^2 +2x -1$", "Sei $d(x)=x^2+(f(x))^2$ das Abstandsquadrat des Punktes $(x,f(x))$ vom Ursprung. Mögliche Kandidaten für das absolute Minium sind jene $x$ für die $d'(x)=0$ gilt.
Der TR liefert die ungefähre(n) Extremalstelle(n): $x \\in \\{{0.366,-1.366,-2.0}\\}$.
Die Abstände ($\\sqrt{d(x)}$) sind ungefähr (in gleicher Reihenfolge) $\\{{0.39,2.313,2.236}\\}$.
Der gesuchte Abstand vom Ursprung ist also ungefähr $0.39$."]], "
");

=== Donnerstag 7. November 2019 === Bestimmen Sie (ohne TR) die Öffnungsfaktoren und Scheitelpunkte folgender Parabeln. Skizzieren Sie dann die Parabeln.miniAufgabe("#exoparabel_scheitel_bestimmen_und_zeichnen","#solparabel_scheitel_bestimmen_und_zeichnen", [["$f(x) = -3\\cdot\\left(x+\\frac{5}{2}\\right)^2-\\frac{3}{2}$", "Öffnungsfaktor $-3$, Scheitelpunkt bei $\\left(-\\frac{5}{2}, -\\frac{3}{2}\\right)$."], ["$f(x) = 3\\cdot\\left(x+\\frac{5}{2}\\right)^2-\\frac{3}{2}$", "Öffnungsfaktor $3$, Scheitelpunkt bei $\\left(-\\frac{5}{2}, -\\frac{3}{2}\\right)$."], ["$f(x) = -\\frac{1}{2}\\cdot\\left(x-\\frac{3}{2}\\right)^2-\\frac{3}{2}$", "Öffnungsfaktor $-\\frac{1}{2}$, Scheitelpunkt bei $\\left(\\frac{3}{2}, -\\frac{3}{2}\\right)$."], ["$f(x) = -2\\cdot\\left(x+\\frac{5}{2}\\right)^2-\\frac{3}{2}$", "Öffnungsfaktor $-2$, Scheitelpunkt bei $\\left(-\\frac{5}{2}, -\\frac{3}{2}\\right)$."], ["$f(x) = 2x^2 +10x +10$", "Der Öffnungsfaktor ist ${2}$.
Der Scheitel ist die Extremalstelle von $f(x)$, wir lösen also $f'(x)=0$.
$f'(x) = 4x+10 = 0$, also $x=-\\frac{5}{2}$.
Eingesetzt: $f\\left(-\\frac{5}{2}\\right) = 2\\cdot \\left(-\\frac{5}{2}\\right)^2 +10\\cdot\\left(-\\frac{5}{2}\\right) +10 = \\frac{25}{2} -25 +10 = -\\frac{5}{2}$. Der Scheitelpunkt ist also$\\left(-\\frac{5}{2}, -\\frac{5}{2}\\right)$.
"], ["$f(x) = 2x^2 +6x +3$", "Der Öffnungsfaktor ist ${2}$.
Der Scheitel ist die Extremalstelle von $f(x)$, wir lösen also $f'(x)=0$.
$f'(x) = 4x+6 = 0$, also $x=-\\frac{3}{2}$.
Eingesetzt: $f\\left(-\\frac{3}{2}\\right) = 2\\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right)^2 +6\\cdot\\left(-\\frac{3}{2}\\right) +3 = \\frac{9}{2} -9 +3 = -\\frac{3}{2}$. Der Scheitelpunkt ist also$\\left(-\\frac{3}{2}, -\\frac{3}{2}\\right)$.
"], ["$f(x) = 2x^2 +10x +10$", "Der Öffnungsfaktor ist ${2}$.
Der Scheitel ist die Extremalstelle von $f(x)$, wir lösen also $f'(x)=0$.
$f'(x) = 4x+10 = 0$, also $x=-\\frac{5}{2}$.
Eingesetzt: $f\\left(-\\frac{5}{2}\\right) = 2\\cdot \\left(-\\frac{5}{2}\\right)^2 +10\\cdot\\left(-\\frac{5}{2}\\right) +10 = \\frac{25}{2} -25 +10 = -\\frac{5}{2}$. Der Scheitelpunkt ist also$\\left(-\\frac{5}{2}, -\\frac{5}{2}\\right)$.
"], ["$f(x) = 2x^2 +10x +10$", "Der Öffnungsfaktor ist ${2}$.
Der Scheitel ist die Extremalstelle von $f(x)$, wir lösen also $f'(x)=0$.
$f'(x) = 4x+10 = 0$, also $x=-\\frac{5}{2}$.
Eingesetzt: $f\\left(-\\frac{5}{2}\\right) = 2\\cdot \\left(-\\frac{5}{2}\\right)^2 +10\\cdot\\left(-\\frac{5}{2}\\right) +10 = \\frac{25}{2} -25 +10 = -\\frac{5}{2}$. Der Scheitelpunkt ist also$\\left(-\\frac{5}{2}, -\\frac{5}{2}\\right)$.
"], ["$f(x)=\\frac{1}{2}\\cdot\\left(x-\\frac{3}{2}\\right)\\cdot\\left(x+\\frac{5}{2}\\right)$", "Der Öffnungsfaktor ist ${\\frac{1}{2}}$.
Die Nullstellen sind $x_1=\\frac{3}{2}$ und $x_2=-\\frac{5}{2}$. Der Scheitel liegt in der Mitte dazwischen, also bei $s_x = \\frac{x_1+x_2}{2} = -\\frac{1}{2}$. Eingesetzt ergibt sich $s_y=f\\left(s_x\\right) = \\frac{1}{2}\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}-\\frac{3}{2}\\right)\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}+\\frac{5}{2}\\right) = \\frac{1}{2}\\cdot\\left(-2\\right)\\cdot\\left(+2\\right) = -2$ Der Scheitelpunkt ist also$\\left(-\\frac{1}{2}, -2\\right)$.
"], ["$f(x)=-\\frac{1}{4}\\cdot\\left(x+\\frac{3}{2}\\right)\\cdot\\left(x-\\frac{5}{2}\\right)$", "Der Öffnungsfaktor ist ${-\\frac{1}{4}}$.
Die Nullstellen sind $x_1=-\\frac{3}{2}$ und $x_2=\\frac{5}{2}$. Der Scheitel liegt in der Mitte dazwischen, also bei $s_x = \\frac{x_1+x_2}{2} = \\frac{1}{2}$. Eingesetzt ergibt sich $s_y=f\\left(s_x\\right) = -\\frac{1}{4}\\cdot\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{3}{2}\\right)\\cdot\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{5}{2}\\right) = -\\frac{1}{4}\\cdot\\left(2\\right)\\cdot\\left(-2\\right) = 1$ Der Scheitelpunkt ist also$\\left(\\frac{1}{2}, 1\\right)$.
"], ["$f(x)=2\\cdot\\left(x+\\frac{5}{2}\\right)\\cdot\\left(x-\\frac{3}{2}\\right)$", "Der Öffnungsfaktor ist ${2}$.
Die Nullstellen sind $x_1=-\\frac{5}{2}$ und $x_2=\\frac{3}{2}$. Der Scheitel liegt in der Mitte dazwischen, also bei $s_x = \\frac{x_1+x_2}{2} = -\\frac{1}{2}$. Eingesetzt ergibt sich $s_y=f\\left(s_x\\right) = 2\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}+\\frac{5}{2}\\right)\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}-\\frac{3}{2}\\right) = 2\\cdot\\left(2\\right)\\cdot\\left(-2\\right) = -8$ Der Scheitelpunkt ist also$\\left(-\\frac{1}{2}, -8\\right)$.
"], ["$f(x)=-2\\cdot\\left(x-\\frac{5}{2}\\right)\\cdot\\left(x-\\frac{3}{2}\\right)$", "Der Öffnungsfaktor ist ${-2}$.
Die Nullstellen sind $x_1=\\frac{5}{2}$ und $x_2=\\frac{3}{2}$. Der Scheitel liegt in der Mitte dazwischen, also bei $s_x = \\frac{x_1+x_2}{2} = 2$. Eingesetzt ergibt sich $s_y=f\\left(s_x\\right) = -2\\cdot\\left(2-\\frac{5}{2}\\right)\\cdot\\left(2-\\frac{3}{2}\\right) = -2\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\cdot\\left(+\\frac{1}{2}\\right) = \\frac{1}{2}$ Der Scheitelpunkt ist also$\\left(2, \\frac{1}{2}\\right)$.
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