miniaufgabe.js ==== 28. November 2022 bis 2. Dezember 2022 ==== === Dienstag 29. November 2022 === Mit Hilfe einer Skizze, schätzen Sie auf $10^\circ$ genau alle Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ ab, für die gilt:miniAufgabe("#exotrig-abschaetzen3","#soltrig-abschaetzen3", [["$\\sin(\\alpha)=-0.8$", "$\\alpha \\approx 233^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 307^\\circ$"], ["$\\cos(\\alpha)=-0.8$", "$\\alpha \\approx 143^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 217^\\circ$"], ["$\\tan(\\alpha)=-0.8$", "$\\alpha \\approx 141^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 321^\\circ$"], ["$\\sin(\\alpha)=-0.6$", "$\\alpha \\approx 217^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 323^\\circ$"], ["$\\cos(\\alpha)=-0.6$", "$\\alpha \\approx 127^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 233^\\circ$"], ["$\\tan(\\alpha)=-0.6$", "$\\alpha \\approx 149^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 329^\\circ$"], ["$\\sin(\\alpha)=-0.4$", "$\\alpha \\approx 204^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 336^\\circ$"], ["$\\cos(\\alpha)=-0.4$", "$\\alpha \\approx 114^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 246^\\circ$"], ["$\\tan(\\alpha)=-0.4$", "$\\alpha \\approx 158^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 338^\\circ$"], ["$\\sin(\\alpha)=-0.2$", "$\\alpha \\approx 192^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 348^\\circ$"], ["$\\cos(\\alpha)=-0.2$", "$\\alpha \\approx 102^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 258^\\circ$"], ["$\\tan(\\alpha)=-0.2$", "$\\alpha \\approx 169^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 349^\\circ$"], ["$\\sin(\\alpha)=0.2$", "$\\alpha \\approx 12^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 168^\\circ$"], ["$\\cos(\\alpha)=0.2$", "$\\alpha \\approx 78^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 282^\\circ$"], ["$\\tan(\\alpha)=0.2$", "$\\alpha \\approx 11^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 191^\\circ$"], ["$\\sin(\\alpha)=0.4$", "$\\alpha \\approx 24^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 156^\\circ$"], ["$\\cos(\\alpha)=0.4$", "$\\alpha \\approx 66^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 294^\\circ$"], ["$\\tan(\\alpha)=0.4$", "$\\alpha \\approx 22^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 202^\\circ$"], ["$\\sin(\\alpha)=0.6$", "$\\alpha \\approx 37^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 143^\\circ$"], ["$\\cos(\\alpha)=0.6$", "$\\alpha \\approx 53^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 307^\\circ$"], ["$\\tan(\\alpha)=0.6$", "$\\alpha \\approx 31^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 211^\\circ$"], ["$\\sin(\\alpha)=0.8$", "$\\alpha \\approx 53^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 127^\\circ$"], ["$\\cos(\\alpha)=0.8$", "$\\alpha \\approx 37^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 323^\\circ$"], ["$\\tan(\\alpha)=0.8$", "$\\alpha \\approx 39^\\circ$ oder $\\alpha \\approx 219^\\circ$"]], "     ", "
");
Am einfachsten zeichnet man einen Einheitskreis mit Radius 5 Häuschen, dann lassen sich die Werte direkt einzeichnen.
ruby sincos-ablesen.rb 3
 === Donnerstag 1. Dezember 2022 === Für den gegebenen Winkel $\alpha$, geben Sie die exakten Werte für $\cos(\alpha)$, $\sin(\alpha)$ und $\tan(\alpha)$ an. Erklären Sie mit einer Skizze eines speziellen Dreiecks, wie diese Werte berechnet werden können. Alle Nenner sind wurzelfrei anzugeben!miniAufgabe("#exotrig-wert-exakt1","#soltrig-wert-exakt1", [["$\\alpha=30^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(30^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(30^\\circ\\right) = \\frac{1}{2}$
$\\displaystyle \\tan(30^\\circ) = \\frac{\\sin(30^\\circ)}{\\cos(30^\\circ)} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha=60^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(60^\\circ\\right) = \\frac{1}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(60^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$
$\\displaystyle \\tan(60^\\circ) = \\frac{\\sin(60^\\circ)}{\\cos(60^\\circ)} = \\sqrt{3}$"], ["$\\alpha=120^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(120^\\circ\\right) = -\\frac{1}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(120^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$
$\\displaystyle \\tan(120^\\circ) = \\frac{\\sin(120^\\circ)}{\\cos(120^\\circ)} = -\\sqrt{3}$"], ["$\\alpha=150^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(150^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(150^\\circ\\right) = \\frac{1}{2}$
$\\displaystyle \\tan(150^\\circ) = \\frac{\\sin(150^\\circ)}{\\cos(150^\\circ)} = -\\frac{1}{\\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha=210^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(210^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(210^\\circ\\right) = -\\frac{1}{2}$
$\\displaystyle \\tan(210^\\circ) = \\frac{\\sin(210^\\circ)}{\\cos(210^\\circ)} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha=240^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(240^\\circ\\right) = -\\frac{1}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(240^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$
$\\displaystyle \\tan(240^\\circ) = \\frac{\\sin(240^\\circ)}{\\cos(240^\\circ)} = \\sqrt{3}$"], ["$\\alpha=300^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(300^\\circ\\right) = \\frac{1}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(300^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$
$\\displaystyle \\tan(300^\\circ) = \\frac{\\sin(300^\\circ)}{\\cos(300^\\circ)} = -\\sqrt{3}$"], ["$\\alpha=330^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Hypotenuse 1. Damit hat die kürzere Kathete die Länge $\\frac{1}{2}$ und die längere $\\sqrt{1^2-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(330^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(330^\\circ\\right) = -\\frac{1}{2}$
$\\displaystyle \\tan(330^\\circ) = \\frac{\\sin(330^\\circ)}{\\cos(330^\\circ)} = -\\frac{1}{\\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha=45^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1 («Halbes Quadrat»). Damit haben die Katheten die Länge $\\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(45^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(45^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$
$\\displaystyle \\tan(45^\\circ) = \\frac{\\sin(45^\\circ)}{\\cos(45^\\circ)} = 1$"], ["$\\alpha=135^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1 («Halbes Quadrat»). Damit haben die Katheten die Länge $\\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(135^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(135^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$
$\\displaystyle \\tan(135^\\circ) = \\frac{\\sin(135^\\circ)}{\\cos(135^\\circ)} = -1$"], ["$\\alpha=225^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1 («Halbes Quadrat»). Damit haben die Katheten die Länge $\\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(225^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(225^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$
$\\displaystyle \\tan(225^\\circ) = \\frac{\\sin(225^\\circ)}{\\cos(225^\\circ)} = 1$"], ["$\\alpha=315^\\circ$", "Das Stützdreieck von $OP_{\\alpha}$ ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1 («Halbes Quadrat»). Damit haben die Katheten die Länge $\\sqrt{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$. Die Vorzeichen liest man aus einer Skizze ab. Damit ist
$\\displaystyle \\cos\\left(315^\\circ\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\qquad $ und $\\displaystyle \\qquad \\sin\\left(315^\\circ\\right) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$
$\\displaystyle \\tan(315^\\circ) = \\frac{\\sin(315^\\circ)}{\\cos(315^\\circ)} = -1$"]], "     ", "
");
ruby trigwerte-exakt.rb 1