miniaufgabe.js
==== 16. Dezember 2019 bis 20. Dezember 2019 ====
=== Dienstag 17. Dezember 2019 ===
Zusammenfassen, ausklammern, kürzen, Resultat als Vielfaches einer Potenz von $x$:
miniAufgabe("#exovereinfachenAusklammern","#solvereinfachenAusklammern",
[["$\\displaystyle \\frac{\\frac{1}{3} \\cdot x^{5} \\cdot \\frac{1}{x^{-2}} +\\frac{1}{3} \\cdot x^{8} \\cdot \\frac{1}{x^{-5}}}{\\frac{1}{5} \\cdot x^{5} \\cdot \\frac{1}{x^{-4}} +\\frac{1}{5} \\cdot x^{3} \\cdot \\frac{1}{x^{-12}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{1}{3}\\cdot x^{7} +\\frac{1}{3}\\cdot x^{13}}{\\frac{1}{5}\\cdot x^{9} +\\frac{1}{5}\\cdot x^{15}} = \\frac{\\frac{1}{3}\\cdot x^{7} \\cdot \\left(1 +1\\cdot x^{6}\\right)}{\\frac{1}{5}\\cdot x^{9} \\cdot \\left(1 +1\\cdot x^{6}\\right)} = \\frac{1}{3} \\cdot 5 \\cdot x^{-2} = \\frac{5}{3}\\cdot x^{-2}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{5}{6} \\cdot x^{7} \\cdot \\frac{1}{x^{3}} +\\frac{7}{6} \\cdot x^{4} \\cdot \\frac{1}{x^{-7}}}{\\frac{1}{6} \\cdot x^{3} \\cdot \\frac{1}{x^{-9}} +\\frac{7}{30} \\cdot x^{6} \\cdot \\frac{1}{x^{-13}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{5}{6}\\cdot x^{4} +\\frac{7}{6}\\cdot x^{11}}{\\frac{1}{6}\\cdot x^{12} +\\frac{7}{30}\\cdot x^{19}} = \\frac{\\frac{1}{6}\\cdot x^{4} \\cdot \\left(5 +7\\cdot x^{7}\\right)}{\\frac{1}{30}\\cdot x^{12} \\cdot \\left(5 +7\\cdot x^{7}\\right)} = \\frac{1}{6} \\cdot 30 \\cdot x^{-8} = 5\\cdot x^{-8}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{3}{4} \\cdot x^{6} \\cdot \\frac{1}{x^{-3}} +\\frac{3}{4} \\cdot x^{6} \\cdot \\frac{1}{x^{-7}}}{\\frac{3}{7} \\cdot x^{2} \\cdot \\frac{1}{x^{-4}} +\\frac{3}{7} \\cdot x^{7} \\cdot \\frac{1}{x^{-3}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{3}{4}\\cdot x^{9} +\\frac{3}{4}\\cdot x^{13}}{\\frac{3}{7}\\cdot x^{6} +\\frac{3}{7}\\cdot x^{10}} = \\frac{\\frac{3}{4}\\cdot x^{9} \\cdot \\left(1 +1\\cdot x^{4}\\right)}{\\frac{3}{7}\\cdot x^{6} \\cdot \\left(1 +1\\cdot x^{4}\\right)} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{7}{3} \\cdot x^{3} = \\frac{7}{4}\\cdot x^{3}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{2}{5} \\cdot x^{7} \\cdot \\frac{1}{x^{3}} +\\frac{1}{4} \\cdot x^{5} \\cdot \\frac{1}{x^{-7}}}{\\frac{6}{7} \\cdot x^{8} \\cdot \\frac{1}{x^{-5}} +\\frac{15}{28} \\cdot x^{5} \\cdot \\frac{1}{x^{-16}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{2}{5}\\cdot x^{4} +\\frac{1}{4}\\cdot x^{12}}{\\frac{6}{7}\\cdot x^{13} +\\frac{15}{28}\\cdot x^{21}} = \\frac{\\frac{1}{20}\\cdot x^{4} \\cdot \\left(8 +5\\cdot x^{8}\\right)}{\\frac{3}{28}\\cdot x^{13} \\cdot \\left(8 +5\\cdot x^{8}\\right)} = \\frac{1}{20} \\cdot \\frac{28}{3} \\cdot x^{-9} = \\frac{7}{15}\\cdot x^{-9}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{4}{3} \\cdot x^{-2} \\cdot \\frac{1}{x^{-8}} +\\frac{2}{3} \\cdot x^{2} \\cdot \\frac{1}{x^{-2}}}{\\frac{8}{3} \\cdot x^{8} \\cdot \\frac{1}{x^{-9}} +\\frac{4}{3} \\cdot x^{3} \\cdot \\frac{1}{x^{-12}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{4}{3}\\cdot x^{6} +\\frac{2}{3}\\cdot x^{4}}{\\frac{8}{3}\\cdot x^{17} +\\frac{4}{3}\\cdot x^{15}} = \\frac{\\frac{2}{3}\\cdot x^{4} \\cdot \\left(2\\cdot x^{2} +1\\right)}{\\frac{4}{3}\\cdot x^{15} \\cdot \\left(2\\cdot x^{2} +1\\right)} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{3}{4} \\cdot x^{-11} = \\frac{1}{2}\\cdot x^{-11}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{1}{3} \\cdot x^{9} \\cdot \\frac{1}{x^{-9}} +\\frac{8}{7} \\cdot x^{8} \\cdot \\frac{1}{x^{-3}}}{\\frac{7}{8} \\cdot x^{3} \\cdot \\frac{1}{x^{-8}} +3 \\cdot x^{4} \\cdot \\frac{1}{x^{0}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{1}{3}\\cdot x^{18} +\\frac{8}{7}\\cdot x^{11}}{\\frac{7}{8}\\cdot x^{11} +3\\cdot x^{4}} = \\frac{\\frac{1}{21}\\cdot x^{11} \\cdot \\left(7\\cdot x^{7} +24\\right)}{\\frac{1}{8}\\cdot x^{4} \\cdot \\left(7\\cdot x^{7} +24\\right)} = \\frac{1}{21} \\cdot 8 \\cdot x^{7} = \\frac{8}{21}\\cdot x^{7}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{1}{5} \\cdot x^{7} \\cdot \\frac{1}{x^{2}} +\\frac{8}{5} \\cdot x^{9} \\cdot \\frac{1}{x^{-5}}}{\\frac{5}{8} \\cdot x^{7} \\cdot \\frac{1}{x^{-4}} +5 \\cdot x^{9} \\cdot \\frac{1}{x^{-11}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{1}{5}\\cdot x^{5} +\\frac{8}{5}\\cdot x^{14}}{\\frac{5}{8}\\cdot x^{11} +5\\cdot x^{20}} = \\frac{\\frac{1}{5}\\cdot x^{5} \\cdot \\left(1 +8\\cdot x^{9}\\right)}{\\frac{5}{8}\\cdot x^{11} \\cdot \\left(1 +8\\cdot x^{9}\\right)} = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{8}{5} \\cdot x^{-6} = \\frac{8}{25}\\cdot x^{-6}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{3}{4} \\cdot x^{-3} \\cdot \\frac{1}{x^{-9}} +\\frac{5}{6} \\cdot x^{8} \\cdot \\frac{1}{x^{-8}}}{\\frac{6}{5} \\cdot x^{2} \\cdot \\frac{1}{x^{-7}} +\\frac{4}{3} \\cdot x^{7} \\cdot \\frac{1}{x^{-12}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{3}{4}\\cdot x^{6} +\\frac{5}{6}\\cdot x^{16}}{\\frac{6}{5}\\cdot x^{9} +\\frac{4}{3}\\cdot x^{19}} = \\frac{\\frac{1}{12}\\cdot x^{6} \\cdot \\left(9 +10\\cdot x^{10}\\right)}{\\frac{2}{15}\\cdot x^{9} \\cdot \\left(9 +10\\cdot x^{10}\\right)} = \\frac{1}{12} \\cdot \\frac{15}{2} \\cdot x^{-3} = \\frac{5}{8}\\cdot x^{-3}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{2}{3} \\cdot x^{2} \\cdot \\frac{1}{x^{-8}} +\\frac{4}{3} \\cdot x^{6} \\cdot \\frac{1}{x^{-2}}}{\\frac{8}{3} \\cdot x^{-4} \\cdot \\frac{1}{x^{-9}} +\\frac{16}{3} \\cdot x^{9} \\cdot \\frac{1}{x^{6}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{2}{3}\\cdot x^{10} +\\frac{4}{3}\\cdot x^{8}}{\\frac{8}{3}\\cdot x^{5} +\\frac{16}{3}\\cdot x^{3}} = \\frac{\\frac{2}{3}\\cdot x^{8} \\cdot \\left(1\\cdot x^{2} +2\\right)}{\\frac{8}{3}\\cdot x^{3} \\cdot \\left(1\\cdot x^{2} +2\\right)} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{3}{8} \\cdot x^{5} = \\frac{1}{4}\\cdot x^{5}$"], ["$\\displaystyle \\frac{\\frac{6}{5} \\cdot x^{4} \\cdot \\frac{1}{x^{-4}} +\\frac{5}{4} \\cdot x^{6} \\cdot \\frac{1}{x^{-6}}}{\\frac{9}{2} \\cdot x^{9} \\cdot \\frac{1}{x^{-5}} +\\frac{75}{16} \\cdot x^{3} \\cdot \\frac{1}{x^{-15}}}$", "$\\displaystyle \\frac{\\frac{6}{5}\\cdot x^{8} +\\frac{5}{4}\\cdot x^{12}}{\\frac{9}{2}\\cdot x^{14} +\\frac{75}{16}\\cdot x^{18}} = \\frac{\\frac{1}{20}\\cdot x^{8} \\cdot \\left(24 +25\\cdot x^{4}\\right)}{\\frac{3}{16}\\cdot x^{14} \\cdot \\left(24 +25\\cdot x^{4}\\right)} = \\frac{1}{20} \\cdot \\frac{16}{3} \\cdot x^{-6} = \\frac{4}{15}\\cdot x^{-6}$"]],
"
", "
", 3);});
=== Donnerstag 19. Dezember 2019 ===
Aus einer Urne mit $r$ roten, $g$ grünen und $s$ schwarzen Kugeln zieht man nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen.
miniAufgabe("#exournen-mit-farben","#solurnen-mit-farben",
[["Für $r = 7$, $g = 2$, $s = 3$, berechnen Sie $P(\\text{genau 1 rote})$.", "Zwei Fälle: rot in der ersten, oder rot in der zweiten Ziehung. Also\n$P(\\text{genau 1 rote}) = \nP(\\text{erst rot}) \\cdot P(\\text{dann nicht rot}) + \nP(\\text{erst nicht rot}) \\cdot P(\\text{dann rot}) = \n\\frac{7}{12} \\cdot \\frac{5}{11} +\n\\frac{5}{12} \\cdot \\frac{7}{11} = \n\\frac{35}{132} + \\frac{35}{132} =\n\\frac{35}{66}$"], ["Für $r = 4$, $g = 2$, $s = 5$, berechnen Sie $P(\\text{2 Gleiche})$.", "$P(\\text{2 Gleiche}) = P(\\text{r},\\text{r})+P(\\text{g},\\text{g})+P(\\text{s},\\text{s}) = \\frac{4}{11} \\cdot \\frac{3}{10}+\\frac{2}{11} \\cdot \\frac{1}{10}+\\frac{5}{11} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{6}{55}+\\frac{1}{55}+\\frac{2}{11} = \\frac{17}{55}$."], ["Für $r = 2$, $g = 3$, $s = 5$, berechnen Sie $P(\\text{2 Unterschiedliche})$.", "$P(\\text{2 Unterschiedliche}) = P(\\text{r},\\text{nicht r})+P(\\text{g},\\text{nicht g})+P(\\text{s},\\text{nicht s}) = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{8}{9}+\\frac{3}{10} \\cdot \\frac{7}{9}+\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{5}{9} = \\frac{8}{45}+\\frac{7}{30}+\\frac{5}{18} = \\frac{31}{45}$."], ["Für $r = 2$, $g = 4$, $s = 5$, berechnen Sie $P(\\text{genau 1 schwarze})$.", "Zwei Fälle: schwarz in der ersten, oder schwarz in der zweiten Ziehung. Also\n$P(\\text{genau 1 schwarze}) = \nP(\\text{erst schwarz}) \\cdot P(\\text{dann nicht schwarz}) + \nP(\\text{erst nicht schwarz}) \\cdot P(\\text{dann schwarz}) = \n\\frac{5}{11} \\cdot \\frac{3}{5} +\n\\frac{6}{11} \\cdot \\frac{1}{2} = \n\\frac{3}{11} + \\frac{3}{11} =\n\\frac{6}{11}$"], ["Für $r = 2$, $g = 3$, $s = 4$, berechnen Sie $P(\\text{2 Gleiche})$.", "$P(\\text{2 Gleiche}) = P(\\text{r},\\text{r})+P(\\text{g},\\text{g})+P(\\text{s},\\text{s}) = \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{1}{8}+\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{4}+\\frac{4}{9} \\cdot \\frac{3}{8} = \\frac{1}{36}+\\frac{1}{12}+\\frac{1}{6} = \\frac{5}{18}$."], ["Für $r = 2$, $g = 5$, $s = 4$, berechnen Sie $P(\\text{2 Unterschiedliche})$.", "$P(\\text{2 Unterschiedliche}) = P(\\text{r},\\text{nicht r})+P(\\text{g},\\text{nicht g})+P(\\text{s},\\text{nicht s}) = \\frac{2}{11} \\cdot \\frac{9}{10}+\\frac{5}{11} \\cdot \\frac{3}{5}+\\frac{4}{11} \\cdot \\frac{7}{10} = \\frac{9}{55}+\\frac{3}{11}+\\frac{14}{55} = \\frac{38}{55}$."], ["Für $r = 7$, $g = 4$, $s = 2$, berechnen Sie $P(\\text{genau 1 rote})$.", "Zwei Fälle: rot in der ersten, oder rot in der zweiten Ziehung. Also\n$P(\\text{genau 1 rote}) = \nP(\\text{erst rot}) \\cdot P(\\text{dann nicht rot}) + \nP(\\text{erst nicht rot}) \\cdot P(\\text{dann rot}) = \n\\frac{7}{13} \\cdot \\frac{1}{2} +\n\\frac{6}{13} \\cdot \\frac{7}{12} = \n\\frac{7}{26} + \\frac{7}{26} =\n\\frac{7}{13}$"], ["Für $r = 2$, $g = 6$, $s = 3$, berechnen Sie $P(\\text{2 Gleiche})$.", "$P(\\text{2 Gleiche}) = P(\\text{r},\\text{r})+P(\\text{g},\\text{g})+P(\\text{s},\\text{s}) = \\frac{2}{11} \\cdot \\frac{1}{10}+\\frac{6}{11} \\cdot \\frac{1}{2}+\\frac{3}{11} \\cdot \\frac{1}{5} = \\frac{1}{55}+\\frac{3}{11}+\\frac{3}{55} = \\frac{19}{55}$."], ["Für $r = 2$, $g = 4$, $s = 5$, berechnen Sie $P(\\text{2 Unterschiedliche})$.", "$P(\\text{2 Unterschiedliche}) = P(\\text{r},\\text{nicht r})+P(\\text{g},\\text{nicht g})+P(\\text{s},\\text{nicht s}) = \\frac{2}{11} \\cdot \\frac{9}{10}+\\frac{4}{11} \\cdot \\frac{7}{10}+\\frac{5}{11} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{55}+\\frac{14}{55}+\\frac{3}{11} = \\frac{38}{55}$."], ["Für $r = 2$, $g = 5$, $s = 4$, berechnen Sie $P(\\text{genau 1 grüne})$.", "Zwei Fälle: grün in der ersten, oder grün in der zweiten Ziehung. Also\n$P(\\text{genau 1 grüne}) = \nP(\\text{erst grün}) \\cdot P(\\text{dann nicht grün}) + \nP(\\text{erst nicht grün}) \\cdot P(\\text{dann grün}) = \n\\frac{5}{11} \\cdot \\frac{3}{5} +\n\\frac{6}{11} \\cdot \\frac{1}{2} = \n\\frac{3}{11} + \\frac{3}{11} =\n\\frac{6}{11}$"], ["Für $r = 6$, $g = 4$, $s = 2$, berechnen Sie $P(\\text{2 Gleiche})$.", "$P(\\text{2 Gleiche}) = P(\\text{r},\\text{r})+P(\\text{g},\\text{g})+P(\\text{s},\\text{s}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{5}{11}+\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{11}+\\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{11} = \\frac{5}{22}+\\frac{1}{11}+\\frac{1}{66} = \\frac{1}{3}$."], ["Für $r = 4$, $g = 3$, $s = 2$, berechnen Sie $P(\\text{2 Unterschiedliche})$.", "$P(\\text{2 Unterschiedliche}) = P(\\text{r},\\text{nicht r})+P(\\text{g},\\text{nicht g})+P(\\text{s},\\text{nicht s}) = \\frac{4}{9} \\cdot \\frac{5}{8}+\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{4}+\\frac{2}{9} \\cdot \\frac{7}{8} = \\frac{5}{18}+\\frac{1}{4}+\\frac{7}{36} = \\frac{13}{18}$."]],
"
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");