Lehrervortrag, Tafel oder eTafel
Erinnerung an schriftliche Division am Beispiel (wie oft passt 7 in …; multiplizere; subtrahiere; wie oft passt 7 in …. usw.)
Eine Variante dieses Verfahrens funktioniert auch für Polynome, wie du nun lernen wirst!
Warum ist das nützlich?
Das lernen wir in der nächsten Woche.
Lernziel heute ist, das Verfahren “schriftliche Division von Polynomen” zu erlernen.
Partnerarbeit (oder auch Einzelarbeit), ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden
Versteht (im Sinne von “Rezept anwenden”) gemeinsam das Verfahren “schriftliche Division von Polynomen” mit Hilfe des hier verlinkten Beispiels.
Wer damit fertig ist, kann mit der nächsten Aufgabe weitermachen.
Einzelarbeit (gegenseitiges Helfen wie immer erlaubt), ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden
mouse right-click
oder Ctrl
+mouse left-click
).Hinweise:
4x^3
oder 4*x^3
für $4x^3$.Einzelarbeit, ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden
$$(x^2+9x-22):(x-2)$$
Bemerkung: Wenn du richtig gerechnet hast, bleibt kein Rest übrig.
$$(x^3+x^2-2x-8):(x-2)$$
$$(x^2+9x-22):(x+2)$$
$\phantom{x}$
Betrachte das folgende Polynom, das nur ganzzahlige Koeffizienten (und Leitkoeffizient 1) hat. $$x^2-x\underbrace{-6}_{\text{konstanter Koeffizient}}$$
(1) Schreibe alle positiven UND NEGATIVEN Teiler des konstanten Koeffizienten auf:
$$1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6$$
(2) Suche eine Nullstelle unter diesen Zahlen: (Eine Zahl heisst Nullstelle eines gegebenen Polynoms, wenn Null herauskommt, wenn wir $x$ durch diese Zahl ersetzen.)
(3) Dividiere das Ausgangspolynom durch $x-(\text{Nullstelle})$, also in unserem Fall durch $x-3$. Polynomdivision liefert1)
$$(x^2-x-6):(x-3) = x+2$$
oder umgeschrieben
$$x^2-x-6 = (x-3) \cdot (x+2)$$
Dies ist die gesuchte Faktorzerlegung (oder Faktorisierung) unseres Polynoms.
Bemerkungen:
Dieses Verfahren zur Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten funktioniert oft, aber nicht immer.
In unserem Beispiel hatte das Polynom Grad 2 (= die höchste auftretende Potenz von $x$). Das Verfahren geht genauso für Polynome von höherem Grad, nur muss man dann oft sehr viele Teiler darauf testen, ob sie Nullstelle sind.
Wende das soeben erlernte Faktorisierungs-Rezept auf die folgenden Polynome an:
(Auch Raten ist erlaubt!)
Manchmal ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms auch aus anderen Gründen klar: Finde Faktorzerlegungen von (diese Faktorzerlegungen sind alle “offensichtlich”!)
Warum ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms wie beispielsweise
$$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$
nützlich?
Antwort: Sie ist hilfreich für das
$$\frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{x-3} = \frac{x-2}{1} = x-2$$ 3) oder etwas komplizierter $$\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2) \cdot(x+2)}{(x-2) \cdot (x-3)} = \frac{x+2}{x-3}.$$
Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades! $$x^3-6x^2+11x-6$$