Wir betrachten ein Sammelablbum mit $n$ Plätzen für Klebebilder zum Einkleben. Der Einfachheit halber nehmen wir an, man kauft sich die Sammelbilder einzeln.
Wir werden berechnen, wie gross die Wahrscheinlichkeit $p_{m,k}$ ist, nach dem Kauf von $m$ Bildern, genau $k$ unterschiedliche Bilder zu haben.
Besonders interessant ist natürlich die Wahrscheinlichkeit $p_{m,n}$, d.h. die Wahrscheinlichkeit, nach dem Kauf von $m$ Bildern das Album komplett gefüllt zu haben.
Man betrachtet einen Wahrscheinlichkeitsbaum mit den Knoten $p_{m,k}$
Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen stellen wir erst mal fest, dass $$ p_{1,1}=1 \text{ und } p_{1,k}=0 \text{ für }k > 1 $$
Nehmen wir an, wir hätten bereits $m$ Bilder gekauft und $k$ verschiedene. Man kauft jetzt ein zusätzliches Bild. Es gibt zwei Möglichkeiten:
Umgekehrt gibt es zwei Möglichkeiten auf auf $k$ verschiedene Bilder bei $m$ gekauften zu kommen:
Damit können wir den Baum zeilenweise berechnen, bzw. die Wahrscheinlichkeiten für $m$ aus den Wahrscheinlichkeiten für $m-1$.
Tipps und Tricks:
Beantworten Sie folgende Fragen, einmal für $n=20$, einmal für $n=200$.
Wenn man jetzt zwei Alben hat, die man füllen möchte? Das Problem lässt sich wohl nur mit vielen Kniffs in Excel lösen, da muss wohl ein Python-Programm her (simuliert oder exakt).
Für die exakte Lösung ist folgender Ansatz ein gangbarer Weg: Man betrachtet die Wahrscheinlichkeiten $p_{m,k,l}$ mit wobei $m$ die Anzahl gekaufter Bilder ist, $k$ die Anzahl Bilder, die zwei oder mehrere Male vorhanden sind, und $l$ die Anzahl Bilder, die genau einmal vorhanden sind. Damit lässt sich wieder ein Baum konstruieren, den man zeilenweise berechnen kann.