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kurse:efcomputergrafik:kw39 [2019/09/24 08:14] Marcel Metzler created |
kurse:efcomputergrafik:kw39 [2019/09/26 07:51] (current) Marcel Metzler |
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====KW39: Lineare und affine Abbildungen==== | ====KW39: Lineare und affine Abbildungen==== | ||
- | Wir betrachten Abbildungen von $\mathbb{R}^2 \leftarrow | + | Wir betrachten Abbildungen von $\mathbb{R}^2 \rightarrow |
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+ | **Lineare Abbildungen** | ||
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+ | Eine Abbildung $f$ von $\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f$ heisst linear, wenn gilt | ||
+ | $$(a) \quad f(a+b)=f(a)+f(b), | ||
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+ | Es ist leicht einzusehen, dass diese beiden Bedingungen für alle // | ||
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+ | **Aufgabe 1** | ||
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+ | Zeige, dass die Abbildung $f: \; | ||
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+ | **Satz** | ||
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+ | Die Bilder der kanonischen Basisvektoren unter der Abbildung $f$ bilden die Spalten der Abbildungsmatrix A. D.h. $$ A=\left(\vec{a}_1, | ||
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+ | **Affine Abbildungen** | ||
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+ | Affine Abbildungen $f$ haben die Struktur $$f: \; | ||
+ | Die obige Struktur stimmt mit der Struktur des IFS beim Barnsley Farn überein. Was machen diese Abbildungen geometrisch, | ||
+ | - Eine Streckung / Stauchung: $|\vec{a}_i|> | ||
+ | - Eine Drehung / Spiegelung / Projektion. Für den Drehwinkel $\varphi$ gilt: $\tan\varphi_1 = \dfrac{a_{21}}{a_{11}}$ und $\tan\varphi_2 = \dfrac{-a_{12}}{a_{22}}$ | ||
+ | - Eine Verschiebung um den Vektor $\vec{b}$. | ||
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+ | Dazu siehe im Film [[https:// | ||
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+ | **Aufgabe 2** | ||
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+ | - Untersuch die vier Abbildungen des Barnsley Farns. D.h. bestimme die geometrische Bedeutung jeder Abbildung. | ||
+ | - Wenn du die Bedeutung verstanden hast, dann ändere sie vollüberlegt ab und überprüfe deine Änderung / Erwartung mit einer entsprechenden Implementation. | ||
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+ | **Aufgabe 3** | ||
+ | * Implementiere folgendes IFS. | ||
+ | 1. Abbildung mit $p=?$ | ||
+ | $$A_1=\left( \begin{array}{cc} 0.824074 & 0.281482 \\ -0.212346 & 0.864198 \end{array} \right) \qquad b_1=\left( \begin{array}{c} -1.882290 \\ -0.110607 \end{array} \right)$$ | ||
+ | 2. Abbildung mit $p=?$ | ||
+ | $$A_2=\left( \begin{array}{cc} 0.088272 & 0.520988 \\ -0.463889 & -0.37778 \end{array} \right) \qquad b_2=\left( \begin{array}{c} 0.785360 \\ 8.095795 \end{array} \right)$$ | ||
+ | * An welches Fabelwesen erinnert dich das Bild? | ||
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+ | **Aufgabe 4** | ||
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+ | * Implementiere folgendes IFS. | ||
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+ | 1. Abbildung mit $p=?$ | ||
+ | $$A_1=\left( \begin{array}{cc} 0.307692 & -0.531469 \\ -0.461538 & -0.293706 \end{array} \right) \qquad b_1=\left( \begin{array}{c} 5.401953 \\ 8.655175 \end{array} \right)$$ | ||
+ | 2. Abbildung mit $p=?$ | ||
+ | $$A_2=\left( \begin{array}{cc} 0.3072692 & -0.076923 \\ 0.153846 & -0.44755 \end{array} \right) \qquad b_2=\left( \begin{array}{c} -1.295248\\ 4.152990\end{array} \right)$$ | ||
+ | 3. Abbildung mit $p=?$ | ||
+ | $$A_3=\left( \begin{array}{cc} 0.& 0.545455\\ 0.692308& | ||
+ | * Was siehst du? |