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--- kurse:efcomputergrafik:kw4 [2020/01/22 21:05]
Ivo Blöchliger [Effektive Beschleunigung und Komponente in Bahnnormalebene]
+++ kurse:efcomputergrafik:kw4 [2020/02/12 21:06] (current)
Ivo Blöchliger [Beschleunigung bei konstantem Geschwindigkeisbetrag 1]
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 \begin{align*}
 x(t) & =  r \cdot \textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
-v(t) & =  x'(t) = \textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
+v(t) & =  x'(t) = \textrm{i}\textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
-a(t) & =  v'(t) = \frac{1}{r} \cdot \textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
+a(t) & =  v'(t) = -\frac{1}{r} \cdot \textrm{e}^{\textrm{i}t \cdot \frac{1}{r}}\\
 \end{align*}
-Beträgt jetzt die Geschwindigkeit $\lambda$ anstatt 1, ändern sich die Gleichungen wie  folgt:
+Beträgt jetzt der Betrag der Geschwindigkeit $\lambda$ anstatt 1, ändern sich die Gleichungen wie  folgt:
 \begin{align*}
 x(t) & =  r \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
-v(t) & =  x'(t) =  \lambda  \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
+v(t) & =  x'(t) =  \textrm{i}\lambda  \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
-a(t) & =  v'(t) =  \lambda^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
+a(t) & =  v'(t) =  -\lambda^2 \cdot \frac{1}{r} \cdot \textrm{e}^{\textrm{i} \lambda t \cdot \frac{1}{r}}\\
 \end{align*}
-D.h., wenn die Geschwindigkeit von $1$ auf $\lambda$ erhöht wird, wird die Beschleunigung mit $\lambda^2$ multipliziert.
+D.h., wenn der Betrag der Geschwindigkeit von $1$ auf $\lambda$ erhöht wird, wird der Betrag der Beschleunigung mit $\lambda^2$ multipliziert.
 ===== Beschleunigung bei konstantem Geschwindigkeisbetrag 1 =====
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 Diese zweite Ableitung berechnen wir nummerisch durch Ableiten der ersten:
 \[
-a_n(t(\ell)) := \frac{\textrm{d}v_n(\ell)}{\textrm{d}\ell} \approx \frac{v_n(t(\ell)+\Delta t)-v_n(t(\ell)-\Delta t)}{\ell(t+\Delta t)-\ell(t-\Delta t)} \approx \frac{v_n(t(\ell)+\Delta t)-v_n(t(\ell)-\Delta t)}{|p(t+\Delta t)-p(t-\Delta t)|}
+a_n(t(\ell)) := \frac{\mathrm{d}v_n(\ell)}{\mathrm{d}\ell} \approx \frac{v_n(t(\ell)+\Delta t)-v_n(t(\ell)-\Delta t)}{\ell(t+\Delta t)-\ell(t-\Delta t)} \approx \frac{v_n(t(\ell)+\Delta t)-v_n(t(\ell)-\Delta t)}{|p(t+\Delta t)-p(t-\Delta t)|}
 \]
+Algebraisch erhält man folgendes:
+\[
+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\ell} \left(\frac{p'}{|p'|}\right) =
+\frac{p'' - e \cdot \left( e \cdot p''\right)}{|p'|^2}
+\]
+mit $e=\frac{p'}{|p'|}$. Das ist bis auf den Faktor $|p'|^2$ das Gram-Schmidt Verfahren. Sachen gibts...
 ===== Effektive Beschleunigung und Komponente in Bahnnormalebene =====
 Sei $v_{\text{eff}}(t) \in \mathbb{R}$ der Betrag der effektiven Bahngeschwindigkeit im Punkt zum entsprechenden $t$-Parameter.
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 \]
-Damit bilden wir ein Koordinatensystem mit Ursprung $p(t)$ und Einheitsvektoren
+Damit bilden wir ein Koordinatensystem $K(t)$ mit Ursprung $p(t)$ und Einheitsvektoren
 \[
 e_1 = v_n(t), \qquad e_2 = \frac{a_r(t)}{|a_r(t)|}, \qquad e_3 = v_n(t) \times a_r(t) \cdot \frac{1}{|a_r(t)|}
 \]
+===== Bau der Bahn =====
+In geeigneter Schrittgrösse der Kurve entlang gehen, an jedem Punkt mit $K(t)$ Schienen-Punkte definieren.
+Eventuell Stützen definieren.
+Blender Code analog zur Generierung der glatten Kurve.
 ===== Simulation der Bewegung =====
-Zustand: $t$ (Ort auf der Bahn), $v_{\eff}$ (aktueller Betrag der Geschwindigkeit)
+Zustand: $t$ (Ort auf der Bahn), $v_{\text{eff}}$ (aktueller Betrag der Geschwindigkeit)
+Schritt: Zeit um 1/framerate vorrücken, der Bahn folgen (z.B. um die Strecke, die mit $v_{\text{eff}}$ in dieser Zeit zurückgelegt würde, oder genauere schrittweise Simulation). Aus der Höhendifferenz und eventuell Reibung die neue Geschwindigkeit berechnen.
+Kamera entsprechend positionieren und Keyframe setzen:
+<code python>
+cam = bpy.data.objects['Camera']
+frame = 0
+cam.animation_data_clear()
+cam.matrix_world = ( (y.x,y.y,y.z,1), (-an.x, -an.y, -an.z, 1),  (-vv.x,-vv.y,-vv.z,1),  (pp.x, pp.y, pp.z, 0))
+cam.keyframe_insert(data_path="rotation_euler", frame=frame)
+cam.keyframe_insert(data_path="location", frame=frame)
+frame+=1
+</code>
+Siehe auch https://blender.stackexchange.com/questions/108938/how-to-interpret-the-camera-world-matrix
+D.h. die erste Koordinatenrichtung ist rechts, die zweite oben und die dritte ist entgegen der Blickrichtung.
+===== Blender =====
+Bezier Klasse laden in Blender:
+<code python bahn.py>
+# Nimmt die Bezierkurven aus myspline und erzeugt
+# die Bahn und die Kamera-Animation
+# Import in Blender 2.8 (see https://devtalk.blender.org/t/2-80-using-multiple-internal-scripts-breaking-change/6980 )
+Bezier = bpy.data.texts["bezier.py"].as_module().Bezier
+obj = bpy.data.objects['mySpline']
+# Kurvenpunkte auslesen
+mypoints=[]
+if obj.type == 'CURVE':
+    for subcurve in obj.data.splines:
+        curvetype = subcurve.type
+        if curvetype == 'BEZIER':
+            for bezpoint in subcurve.bezier_points:
+                mypoints.append(bezpoint.handle_left)
+                mypoints.append(bezpoint.co)
+                mypoints.append(bezpoint.handle_right)
+# Sammlung von Bezierkurven erzeugen
+mySplines = []
+numpoints = len(mypoints)
+totalLength = 0
+for i in range(numpoints//3):
+    mySplines.append(Bezier((mypoints[i*3+1],
+        mypoints[i*3+2],
+        mypoints[(i*3+3)%numpoints],
+        mypoints[(i*3+4)%numpoints])))
+    totalLength+=mySplines[-1].length()
+# Bahn erzeugen
+try:
+    bpy.ops.collection.objects_remove(bpy.data.collections['Rails'])
+except:
+    pass
+railsCol = bpy.data.collections.new('Rails')
+linksCol = bpy.data.collections.new('RailLinks')
+railsCol.children.link(linksCol)
+bpy.context.scene.collection.children.link(railsCol)
+abstand = 0.2  # Bahnpunkte
+ldone = 0  # Erledigte Bahnstrecke
+i=0  # Aktuelle Bezierkurve
+t = 0 # Aktuelle t-Parameter
+g = Vector(0,0,-9.81) # Gravitationbeschleunigung
+hmax = 40  # Hoehe fuer v=0
+# Bahnpunkte: Ctrl-Links, Knoten, Ctrl-Rechts
+railspts=[[],[],[]]  # Bahnpunkte, Schiene L, Schiene R, Träger
+while(ldone<totalLength):
+    dl = abstand;
+    tnext = -1
+    while(tnext<0):
+        tnext = mySplines[i].forward(dl, t)
+        if (tnext<0) : # We get the negative remaining length
+            i=(i+1)%numSplines
+            t = 0
+            dl=abs(tnext)
+        else:
+            ldone+=dl
+    t = tnext
+    # Potentielle Energie mgh
+    ekin = (hmax-mySplines[i].x(t).z)*abs(g.z)
+    # Ek = 1/2 * m * v^2
+    v = (2*ekin)**0.5
+    # Koordinatensystem (vorne, oben, rechts)
+    k = mySplines[i].koordsyst(t,v,g)
+    # Bahnpunkte berechnen
+    #
+    #
+    #
+# Blender-Kurven aus den Bahnpunkten erzeugen
+for j in range(3):
+    curvedata = bpy.data.curves.new(name="rail"+str(j), type='CURVE')
+    curvedata.dimensions = '3D'
+    objectdata = bpy.data.objects.new("rail"+str(j), curvedata)
+    objectdata.location = (0,0,0)
+    objectdata.data.bevel_depth = 0.01
+    railsCol.objects.link(objectdata)
+    polyline = curvedata.splines.new('BEZIER')
+    polyline.bezier_points.add(len(railspts[j])-1)
+    for idx, (h1, knot, h2) in enumerate(railspts[j]):
+        point = polyline.bezier_points[idx]
+        point.co = knot
+        point.handle_left = h1
+        point.handle_right = h2
+        point.handle_left_type = 'ALIGNED'
+        point.handle_right_type = 'ALIGNED'
+</code>