Show pageOld revisionsBacklinksBack to top This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong. ====Basen==== Im Sinne einer kleinen Vorbereitung auf die nächsten Themen betrachten wir diese Woche einige Begriffe der linearen Algebra (LinAlg). ===Basen=== Dazu betrachten wir drei Bereiche * Polynome $p_n$ * Trigonometrische Polynome $T_n$ * Reelle Vektorräume $R^n$ **Aufgabe** * Bei allen dreien kommt der Parameter $n$ vor. Was könnte $n$ bedeuten? * Wie sieht ein allgemeines Element aus diesen drei Bereichen aus? <hidden> - $p_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $a_n\neq 0$\\ - $T_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot \cos (ix) + b_i \cdot \sin (ix), \quad$ mit $a_i,b_i \in\mathbb{R}$ und $a_n \lor b_n \neq 0$ - $\mathbb{R}^n:\; \vec{v}=\sum_{i=1}^n a_i\cdot \vec{e}_i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $\vec{e}_i=\left( \begin{array}{c} 0 \\...\\1\\...\\0 \end{array} \right)$, d.h. mit einer $1$ in der $i$-ten Zeile. </hidden> **Aufgabe** * Aus welchen Grundbausteinen werden diese Elemente zusammengesetzt? <hidden> Die Grundbausteine heissen Basiselemente, alle Grundelemente zusammen nennen wir eine Basis. Eine Basis beinhaltet die minimale Anzahl von Elementen um die algebraische Struktur aufzubauen. Beachte: Basiselemente können auch Funktionen sein! ($\cos(ix), \; x^i$) </hidden> * Welche mathematischen Operationen werden dafür gebraucht? <hidden> Es ist eine gewichtete Summe, d.h. die Basiselemente werden mit einem Faktor $a_i$ multipliziert (gewichtet) und danach addiert. Dieses Konstrukt heisst **Linearkombination**. </hidden> ===Polynombasis=== Ein Polynom vom Grad $n$ in der Variable $x$ hat die Grundform $p_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i$ und damit die Basiselemente $$1,\; x,\; x^2,\; \dots,\; x^n $$ Alle diese Elemente als Menge bilden die Basis von $p_n$. ===Basis eines trigonometrischen Polynoms=== Ein trigonometrisches Polynom vom Grad $n$ in der Variablen $x$ hat die Grundform $T_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot \cos (ix) + b_i \cdot \sin (ix)$ und damit die Basiselemente $$1,\; \cos(x),\; \sin(x),\; \cos(2x),\; \sin(2x),\; \dots ,\; \cos(nx),\; \sin(nx)$$ ===Die Ebene ($\mathbb{R}^2$) und der Raum ($\mathbb{R}^3$)=== Als nächstes folgt die Darstellung von Vektoren mit einem Koordinatensystem in der Ebene ($\mathbb{R}^2$) und im Raum ($\mathbb{R}^3$). Dazu verwenden wir ein kartesisches Koordinatensystem. {{:kurse:efcomputergrafik:vdar_2d.png?400|}} $\qquad$ {{:kurse:efcomputergrafik:vdar_3d.png?400|}} Jeder Vektor $\vec{v}$ wird als Summe der Richtungsvektoren (entlang der Koordinatenachsen) $\vec{v}_x$, $\vec{v}_x$ und $\vec{v}_z$ aufgefasst. D.h. $$\vec{v}=\vec{v}_x + \vec{v}_y + \vec{v}_z $$ Die Richtungsvektoren sind wiederum skalare Vielfache der Einheitsvektoren $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ und $\vec{e}_z$. Diese Einheitsvektoren (auch Basisvektoren genannt) haben die Länge 1 und die Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen. $$\vec{v}_x=v_x\cdot \vec{e}_x, \quad \vec{v}_y=v_y\cdot \vec{e}_y, \quad\vec{v}_z=v_z\cdot \vec{e}_z$$ Jeder Vektor $\vec{v}$ lässt sich wie folgt aufschreiben. $$ \vec{v}=\vec{v}_x + \vec{v}_y + \vec{v}_z =v_x\cdot \vec{e}_x + v_y\cdot \vec{e}_y + v_z\cdot \vec{e}_z$$ Mit der Konvention in der Ebene$$\vec{e}_x=\left( \begin{array}{c} 1\\0 \end{array} \right),\quad \vec{e}_y=\left( \begin{array}{c} 0\\1 \end{array} \right) $$ und im Raum $$\vec{e}_x=\left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right),\quad \vec{e}_y=\left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right),\quad \vec{e}_z=\left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) $$ergibt sich folgende Darstellung eines Vektors mit kartesischen Koordinaten. $$\vec{v}=v_x\cdot \vec{e}_x + v_y\cdot \vec{e}_y = v_x\cdot \left( \begin{array}{c} 1\\0 \end{array} \right) + v_y\cdot \left( \begin{array}{c} 0\\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} v_x\\0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0\\v_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} v_x\\v_y \end{array} \right)$$ $$\vec{v}=v_x\cdot \vec{e}_x + v_y\cdot \vec{e}_y + v_z\cdot \vec{e}_z = v_x\cdot \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + v_y\cdot \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + v_z\cdot \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} v_x\\v_y\\v_z \end{array} \right)$$ Abschliessend noch drei Bezeichnungen: * Die **Zahlen** $v_x$, $v_y$ und $v_z$ heissen die **Koordinaten** des Vektors $\vec{v}$. * Die **Vektoren** $\vec{v}_x$, $\vec{v}_y$ und $\vec{v}_z$ heissen die **Komponenten** des Vektors $\vec{v}$. * Die **Vektoren** $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ und $\vec{e}_z$ heissen die kanonischen Basisvektoren und bilden eine Basis des $\mathbb{R}^3$. **Aufgabe** * Gibt es mehr als eine Basis für den Raum, oder die Ebene? <hidden> Ja, gibt es! Sogar unendlich viele verschiedene Basen. Mit einer Basis lässt sich eine Linearkombination $\sum_{i=1}^3 a_i\cdot \vec{e}_i$ bilden, mit der jeder Punkt des Raums erreichbar / adressierbar ist. </hidden> * Finde zwei weitere Basen des $\mathbb{R}^3$. ===Orthogonale Basen=== Sind die Basisvektoren paarweise senkrecht zueinander, dann sprechen wir von einer orthogonalen Basis. Orthogonal bedeutet: $$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$ **Aufgabe** * Konstruiere eine eigene orthogonale Basis des $\mathbb{R}^3$. Sind die Beträge der Basisvektoren eins, so sprechen wir von einer normierten Basis. Orthogonal und normiert zusammen führt zum Begriff der Orthonormalbasis. **Aufgabe** * Konstruiere eine eigene Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3$. ====Orthogonale Projektion==== Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$. Gesucht ist der Anteil von $\vec{v}_2$, welcher orthogonal zu $\vec{v}_1$ verläuft. {{:kurse:efcomputergrafik:skalar_p.png?400|}} Dazu bestimmen wir den Anteil von $\vec{v}_2$ in Richtung von $\vec{v}_1$ und subtrahieren diesen von $\vec{v}_2$. Es gilt: $$\vec{v}_{21P}=\alpha \cdot \vec{v}_1 \qquad \text{und} \qquad \vec{v}_{21O}=\vec{v}_2-\vec{v}_{21P}$$ Wegen der Orthogonalität gilt weiter $$\vec{v}_{21O}\cdot \vec{v}_1 =0 $$ setzen wir ein erhalten wir $$\left( \vec{v}_2-\alpha \cdot \vec{v}_1 \right) \cdot \vec{v}_1 =0 $$ Damit gilt für $\alpha$ $$\alpha = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1}= \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|^2}$$ und damit gilt für $\vec{v}_{21O}$ $$\vec{v}_{21O}=\vec{v}_{2} - \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|^2} \cdot \vec{v}_1$$ ===Orthogonale Basis=== Seien die Vektoren $\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}, \; \vec{d}$ eine Basis des $\mathbb{R}^4$. Dann können wir schrittweise durch orthogonale Projektion eine Orthogonalbasis berechnen. - $\vec{a}$ bleibt - $$\vec{b'}=\vec{b}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a}$$ - $$\vec{c'}=\vec{c}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a} - \frac{\vec{b'}\cdot\vec{c}}{|\vec{b'}|^2} \cdot \vec{b'}$$ - $$\vec{d'}=\vec{d}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{d}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a} - \frac{\vec{b'}\cdot\vec{d}}{|\vec{b'}|^2} \cdot \vec{b'} - \frac{\vec{c'}\cdot\vec{d}}{|\vec{c'}|^2} \cdot \vec{c'}$$ - allgemein: $$\vec{v}'_i=\vec{v}_i- \sum_{k=1}^{i-1}\frac{\vec{v}_k\cdot\vec{v}_i}{|\vec{v}_k|^2} \cdot \vec{v}_k, \quad \text{für }i\in\{2,3,\dots,n\}$$ - bleibt noch die Normierung mit $$\vec{e}_a=\frac{1}{|\vec{a}|}\cdot \vec{a} $$ **Aufgabe** Implementiere obigen Algorithmus in Python für eine Basis vom $\mathbb{R}^3$ und $\mathbb{R}^4$. kurse/efcomputergrafik/kw46.txt Last modified: 2019/11/13 19:20by Marcel Metzler