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kurse:efcomputergrafik:kw46 [2019/11/11 21:01] Marcel Metzler |
kurse:efcomputergrafik:kw46 [2019/11/13 19:20] (current) Marcel Metzler [Orthogonale Projektion] |
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- | ====Basen, Vektorräume und Unterräume==== | + | ====Basen==== |
Im Sinne einer kleinen Vorbereitung auf die nächsten Themen betrachten wir diese Woche einige Begriffe der linearen Algebra (LinAlg). | Im Sinne einer kleinen Vorbereitung auf die nächsten Themen betrachten wir diese Woche einige Begriffe der linearen Algebra (LinAlg). | ||
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- $p_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $a_n\neq 0$\\ | - $p_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $a_n\neq 0$\\ | ||
- $T_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot \cos (ix) + b_i \cdot \sin (ix), \quad$ mit $a_i,b_i \in\mathbb{R}$ und $a_n \lor b_n \neq 0$ | - $T_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot \cos (ix) + b_i \cdot \sin (ix), \quad$ mit $a_i,b_i \in\mathbb{R}$ und $a_n \lor b_n \neq 0$ | ||
- | - $\mathbb{R}^n=\sum_{i=1}^n a_i\cdot \vec{e}_i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $\vec{e}_i=\left( \begin{array}{c} 0 \\...\\1\\...\\0 | + | - $\mathbb{R}^n:\; \vec{v}=\sum_{i=1}^n a_i\cdot \vec{e}_i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $\vec{e}_i=\left( \begin{array}{c} 0 \\...\\1\\...\\0 |
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**Aufgabe** | **Aufgabe** | ||
Line 72: | Line 72: | ||
* Konstruiere eine eigene Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3$. | * Konstruiere eine eigene Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3$. | ||
- | | + | ====Orthogonale Projektion==== |
+ | Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$. Gesucht ist der Anteil von $\vec{v}_2$, | ||
+ | {{: | ||
+ | Dazu bestimmen wir den Anteil von $\vec{v}_2$ in Richtung von $\vec{v}_1$ und subtrahieren diesen von $\vec{v}_2$. Es gilt: | ||
+ | $$\vec{v}_{21P}=\alpha \cdot \vec{v}_1 \qquad \text{und} \qquad \vec{v}_{21O}=\vec{v}_2-\vec{v}_{21P}$$ Wegen der Orthogonalität gilt weiter $$\vec{v}_{21O}\cdot \vec{v}_1 =0 $$ setzen wir ein erhalten wir | ||
+ | $$\left( \vec{v}_2-\alpha \cdot \vec{v}_1 \right) \cdot \vec{v}_1 =0 $$ | ||
+ | Damit gilt für $\alpha$ | ||
+ | $$\alpha = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1}= \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|^2}$$ | ||
+ | und damit gilt für $\vec{v}_{21O}$ | ||
+ | $$\vec{v}_{21O}=\vec{v}_{2} - \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|^2} \cdot \vec{v}_1$$ | ||
+ | |||
+ | ===Orthogonale Basis=== | ||
+ | Seien die Vektoren $\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}, \; \vec{d}$ eine Basis des $\mathbb{R}^4$. Dann können wir schrittweise durch orthogonale Projektion eine Orthogonalbasis berechnen. | ||
+ | - $\vec{a}$ bleibt | ||
+ | - $$\vec{b' | ||
+ | - $$\vec{c' | ||
+ | - $$\vec{d' | ||
+ | - allgemein: $$\vec{v}' | ||
+ | - bleibt noch die Normierung mit $$\vec{e}_a=\frac{1}{|\vec{a}|}\cdot \vec{a} $$ | ||
+ | |||
+ | **Aufgabe** | ||
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+ | Implementiere obigen Algorithmus in Python für eine Basis vom $\mathbb{R}^3$ und $\mathbb{R}^4$. |