Bessere Bahnkurven

Gegeben $x_i$: Punkte, durch die die Bahn gehen soll.

Gesucht $l_i$, $r_i$: Linke (rückwärts) und rechte (vorwärts) Kontrollpunkte. Hilfsvariable $\lambda$.

Gleichungen: \begin{align*} (r_i-x_i) & = \lambda (x_i - l_i) & \text{Tangenten fallen zusammen} \\ N_i(0) & = N_{i-1}(1) & \text{Beschleunigungsvektor ist stetig} \\ \tau_i(0) & = \tau_{i-1}(1) & \text{Torsion ist stetig} \\ \end{align*}

Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Frenet%E2%80%93Serret_formulas#Formulas_in_n_dimensions

und https://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_of_a_curve#Alternative_description

Schön und gut, aber die Gleichungen sind nichtlinear… z.B. sieht die letzte Gleichung etwa so aus: $${{\left(\left(3\,{\it ri}_{1}-3\,\xi_{1}\right)\,\left(6\,\xi_{2}- 12\,{\it ri}_{2}+6\,{\it lip}_{2}\right)-\left(6\,\xi_{1}-12\, {\it ri}_{1}+6\,{\it lip}_{1}\right)\,\left(3\,{\it ri}_{2}-3\, \xi_{2}\right)\right)\,\left(6\,{\it xip}_{3}-6\,\xi_{3}+18\, {\it ri}_{3}-18\,{\it lip}_{3}\right)+\left(\left(6\,\xi_{1}-12\, {\it ri}_{1}+6\,{\it lip}_{1}\right)\,\left(3\,{\it ri}_{3}-3\, \xi_{3}\right)-\left(3\,{\it ri}_{1}-3\,\xi_{1}\right)\,\left(6\, \xi_{3}-12\,{\it ri}_{3}+6\,{\it lip}_{3}\right)\right)\,\left(6\, {\it xip}_{2}-6\,\xi_{2}+18\,{\it ri}_{2}-18\,{\it lip}_{2}\right)+ \left(\left(3\,{\it ri}_{2}-3\,\xi_{2}\right)\,\left(6\,\xi_{3}-12\, {\it ri}_{3}+6\,{\it lip}_{3}\right)-\left(6\,\xi_{2}-12\, {\it ri}_{2}+6\,{\it lip}_{2}\right)\,\left(3\,{\it ri}_{3}-3\, \xi_{3}\right)\right)\,\left(6\,{\it xip}_{1}-6\,\xi_{1}+18\, {\it ri}_{1}-18\,{\it lip}_{1}\right)}\over{\left(\left(3\, {\it ri}_{2}-3\,\xi_{2}\right)\,\left(6\,\xi_{3}-12\,{\it ri}_{3}+6 \,{\it lip}_{3}\right)-\left(6\,\xi_{2}-12\,{\it ri}_{2}+6\, {\it lip}_{2}\right)\,\left(3\,{\it ri}_{3}-3\,\xi_{3}\right)\right) ^2+\left(\left(6\,\xi_{1}-12\,{\it ri}_{1}+6\,{\it lip}_{1}\right)\, \left(3\,{\it ri}_{3}-3\,\xi_{3}\right)-\left(3\,{\it ri}_{1}-3\, \xi_{1}\right)\,\left(6\,\xi_{3}-12\,{\it ri}_{3}+6\,{\it lip}_{3} \right)\right)^2+\left(\left(3\,{\it ri}_{1}-3\,\xi_{1}\right)\, \left(6\,\xi_{2}-12\,{\it ri}_{2}+6\,{\it lip}_{2}\right)-\left(6\, \xi_{1}-12\,{\it ri}_{1}+6\,{\it lip}_{1}\right)\,\left(3\, {\it ri}_{2}-3\,\xi_{2}\right)\right)^2}}={{\left(\left(3\,\xi_{1}-3 \,{\it li}_{1}\right)\,\left(6\,\xi_{2}+6\,{\it rim}_{2}-12\, {\it li}_{2}\right)-\left(6\,\xi_{1}+6\,{\it rim}_{1}-12\, {\it li}_{1}\right)\,\left(3\,\xi_{2}-3\,{\it li}_{2}\right)\right) \,\left(-6\,{\it xim}_{3}+6\,\xi_{3}+18\,{\it rim}_{3}-18\, {\it li}_{3}\right)+\left(\left(6\,\xi_{1}+6\,{\it rim}_{1}-12\, {\it li}_{1}\right)\,\left(3\,\xi_{3}-3\,{\it li}_{3}\right)-\left(3 \,\xi_{1}-3\,{\it li}_{1}\right)\,\left(6\,\xi_{3}+6\,{\it rim}_{3}- 12\,{\it li}_{3}\right)\right)\,\left(-6\,{\it xim}_{2}+6\,\xi_{2}+ 18\,{\it rim}_{2}-18\,{\it li}_{2}\right)+\left(\left(3\,\xi_{2}-3\, {\it li}_{2}\right)\,\left(6\,\xi_{3}+6\,{\it rim}_{3}-12\, {\it li}_{3}\right)-\left(6\,\xi_{2}+6\,{\it rim}_{2}-12\, {\it li}_{2}\right)\,\left(3\,\xi_{3}-3\,{\it li}_{3}\right)\right) \,\left(-6\,{\it xim}_{1}+6\,\xi_{1}+18\,{\it rim}_{1}-18\, {\it li}_{1}\right)}\over{\left(\left(3\,\xi_{2}-3\,{\it li}_{2} \right)\,\left(6\,\xi_{3}+6\,{\it rim}_{3}-12\,{\it li}_{3}\right)- \left(6\,\xi_{2}+6\,{\it rim}_{2}-12\,{\it li}_{2}\right)\,\left(3\, \xi_{3}-3\,{\it li}_{3}\right)\right)^2+\left(\left(6\,\xi_{1}+6\, {\it rim}_{1}-12\,{\it li}_{1}\right)\,\left(3\,\xi_{3}-3\, {\it li}_{3}\right)-\left(3\,\xi_{1}-3\,{\it li}_{1}\right)\,\left(6 \,\xi_{3}+6\,{\it rim}_{3}-12\,{\it li}_{3}\right)\right)^2+\left( \left(3\,\xi_{1}-3\,{\it li}_{1}\right)\,\left(6\,\xi_{2}+6\, {\it rim}_{2}-12\,{\it li}_{2}\right)-\left(6\,\xi_{1}+6\, {\it rim}_{1}-12\,{\it li}_{1}\right)\,\left(3\,\xi_{2}-3\, {\it li}_{2}\right)\right)^2}}$$

Wie löst man so was?

Ansatz: Gradientenabstieg

Man beginnt mit einer Lösung (z.B. jene, die das aktuelle Programm liefert).
Man bring die obigen Gleichungen auf die Form “Term = 0”.
Man leitet Term nach jeder Variablen ab (z.B. nummerisch)
Diese partiellen Ableitungen geben die Richtung an, in welche man die Variablen verändern muss, damit die Gleichung “besser” stimmt. In diese Richtung wird ein “kleiner” Schritt gemacht und wiederholt.