Anwendungen der Polynomdivision: Faktorzerlegung von Polynomen und warum dies nützlich ist

Meist ist es sehr nützlich, wenn man ein Polynom als Produkt von zwei anderen Polynomen schreiben kann.

Beispiel

Faktorzerlegung/Faktorisierung eines Polynoms: $$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$

Warum ist dies nützlich?

Lösen von Gleichungen: Wenn man die Gleichung $x^2-5x+6=0$ lösen will¹⁾, so genügt es, die Gleichungen $x-2=0$ und $x-3=0$ zu lösen.
Kürzen von Brüchen: Es gilt

$$\frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{x-3} = \frac{x-2}{1} = x-2$$ ²⁾ oder etwas komplizierter $$\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2) \cdot(x+2)}{(x-2) \cdot (x-3)} = \frac{x+2}{x-3}.$$

Wie findet man eine Faktorzerlegung eines Polynoms?

Die folgenden beiden Beobachtungen sind oft (und insbesondere bei Mathe-Aufgaben in der Schule) sehr nützlich:

Hat ein Polynom nur ganzzahlige Koeffizienten (und am besten zusätzlich Leitkoeffizient 1), so sind die ganzzahligen Teiler des konstanten Koeffizienten oft Nullstellen des Polynoms.
Hat man eine Nullstelle eines Polynoms gefunden, so ist das Polynom ohne Rest teilbar durch

$$x-\text{(diese Nullstelle)}.$$

Beispiel

Das Polynom $$x^2-5x+6$$ hat nur ganzzahlige Koeffizienten (und Leitkoeffizient 1). Wir erklären nun, wie man auf die oben bereits angegebene Faktorzerlegung kommt.

Sein konstanter Koeffizient ist 6. Die ganzzahligen Teiler von 6 sind 6, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -6. (Beachte, dass wir hier positive und negative Teiler betrachten!)

Nach der ersten Beobachtung in der Info-Box probieren wir aus, ob darunter eine Nullstelle unseres Polynoms ist (“systematisches Raten einer Nullstelle”):

Wegen $6^2-5 \cdot 6 + 6 = 36 - 30 + 6 = 12$ ist 6 keine Nullstelle.
Wegen $3^2-5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 =0$ ist 3 eine Nullstelle (und wir können die weitere Suche abbrechen).

Nach der zweiten Beobachtung ist unser Polynom ohne Rest durch $x-3$ teilbar!

In der Tat liefert Polynomdivision $$(x^2-5x+6):(x-3) = x-2$$ oder umgeschrieben die hoffentlich nützliche Faktorisierung $$x^2-5x+6 = (x-3) \cdot (x-2)$$

Wende das soeben erlernte Faktorisierungs-Rezept auf die folgenden Polynome an:

$x^2 -3x +2$
$x^2 -7x +10$
$x^2 + 3x + 2$

Manchmal ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms auch aus anderen Gründen klar: Finde Faktorzerlegungen von

$x^2+3x$
$x^2-6x+9$
$x^2 - 4$
$x^2 - 2$

Experten-Bemerkung:

Im letzten Beispiel versagt das obige Faktorisierungs-Rezept: Keiner der Teiler von -2 ist Nullstelle des Polynoms $X^2-2$.

Es gibt auch Polynome vom Grad zwei wie etwa $x^2+1$ (ohne Nullstelle), die sich nicht als Produkt zweier Polynome vom Grad eins schreiben lassen.

Deswegen steht in der Info-Box mit den beiden Beobachtungen das Wort “oft”.

Der genaue mathematische Satz, der hinter unserer Strategie steckt, lautet:

Satz (kein Schulstoff)

Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind automatisch ganzzahlig und Teiler des konstanten Koeffizienten.

Lösungen:

$(x-1)(x-2)$
$(x-2)(x-5)$
$(x+1)(x+2)$

Ausklammern: $x(x+3)$
binomische Formel: $(x-3)^2$
binomische Formel: $(x-2)(x+2)$
binomische Formel: $x^2-2 = x^2-(\sqrt{2})^2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$

Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades! $$x^3-6x^2+11x-6$$

Hinweis: (bitte ausklappen)

Finde eine Nullstelle unter allen Teilern (mit und ohne Vorzeichen) des konstanten Terms. Dividiere durch $x-(\text{diese Nullstelle})$. Wende dasselbe Verfahren auf das Ergebnis an.

Lösung:

$(x-1)(x-2)(x-3)$

Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades! $$x^3+6x^2-x-30$$

Lösung:

$(x-2)(x+3)(x+5)$

¹⁾

Was dasselbe ist wie das Bestimmen der Nullstellen von $x^2-5x+6$.

²⁾

was man auch direkt durch Polynomdivision sehen kann