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lehrkraefte:blc:informatik:glf4-20:simulation:tabellenkalkulation-absolute-bezuege [2021/05/02 16:57] Ivo Blöchliger |
lehrkraefte:blc:informatik:glf4-20:simulation:tabellenkalkulation-absolute-bezuege [2021/05/03 12:03] (current) Ivo Blöchliger [Varianten (Expert)] |
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- | < | + | ===== Multiplikationstabelle ===== |
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Erstellen Sie folgende Multiplikationstabelle mit halb-absoluten Bezügen: | Erstellen Sie folgende Multiplikationstabelle mit halb-absoluten Bezügen: | ||
{{: | {{: | ||
- | ADVANCED: Erstellen Sie eine Multiplikationstabelle mit den (noch zu übersetzenden) Funktionen '' | + | **ADVANCED**: Erstellen Sie eine Multiplikationstabelle mit den (noch zu übersetzenden) Funktionen '' |
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+ | ===== Sammelalbum füllen ===== | ||
+ | Wir betrachten ein Sammelablbum mit $n$ Plätzen für Klebebilder zum Einkleben. Der Einfachheit halber nehmen wir an, man kauft sich die Sammelbilder einzeln. | ||
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+ | Wir werden berechnen, wie gross die Wahrscheinlichkeit $p_{m,k}$ ist, nach dem Kauf von $m$ Bildern, genau $k$ unterschiedliche Bilder zu haben. | ||
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+ | Besonders interessant ist natürlich die Wahrscheinlichkeit $p_{m,n}$, d.h. die Wahrscheinlichkeit, | ||
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+ | ==== Berechnung von $p_{m,k}$ ==== | ||
+ | Man betrachtet einen Wahrscheinlichkeitsbaum mit den Knoten $p_{m,k}$ | ||
+ | |||
+ | Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen stellen wir erst mal fest, dass | ||
+ | $$ | ||
+ | p_{1,1}=1 \text{ und } p_{1, | ||
+ | $$ | ||
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+ | Nehmen wir an, wir hätten bereits $m$ Bilder gekauft und $k$ verschiedene. Man kauft jetzt ein zusätzliches Bild. Es gibt zwei Möglichkeiten: | ||
+ | * Wir haben das Bild bereits. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt $\frac{k}{n}$. Begründen Sie, warum das so ist. | ||
+ | * Wir haben das Bild noch nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt $\frac{n-k}{n}$. Begründen Sie, warum das so ist. | ||
+ | |||
+ | Umgekehrt gibt es zwei Möglichkeiten auf auf $k$ verschiedene Bilder bei $m$ gekauften zu kommen: | ||
+ | * Entweder man hatte vorher schon $k$ verschiedene und kauft erhält eines, das man schon hat. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt $\frac{k}{n}$. | ||
+ | * Oder man hatte vorher $k-1$ verschiedene und erhält eines, das man noch nicht hat. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt $\frac{n-k+1}{n}$. | ||
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+ | Damit können wir den Baum zeilenweise berechnen, bzw. die Wahrscheinlichkeiten für $m$ aus den Wahrscheinlichkeiten für $m-1$. | ||
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+ | ==== Empfohlenes Tabellen-Layout ==== | ||
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+ | {{: | ||
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+ | **Tipps und Tricks**: | ||
+ | * Bennen Sie die Zelle mit der Anzahl Bilder. | ||
+ | * Verwenden Sie auch in den ersten beiden Kolonnen Formeln, um die Werte aus den vorhergehenden Werten zu berechnen. Das hat den Vorteil, dass Sie die gesamte Zeile 5 (für $m=2$) nach unten kopieren können. | ||
+ | * Zum Füllen mit Nullen geben Sie in zwei benachbarten Zellen eine Null ein, markieren Sie diese und kopieren Sie dann (wird nur eine Zelle markiert, wird diese beim Kopieren hochgezählt). | ||
+ | |||
+ | Beantworten Sie folgende Fragen, einmal für $n=20$, einmal für $n=200$. | ||
+ | |||
+ | * Wie viele Bilder muss man kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit eines vollen Albums | ||
+ | * min. 50% beträgt? | ||
+ | * min. 90% beträgt? | ||
+ | * min. 99% beträgt? | ||
+ | * min. 99.9% beträgt? | ||
+ | |||
+ | ===== Varianten (Expert) ===== | ||
+ | Wenn man jetzt zwei Alben hat, die man füllen möchte? Das Problem lässt sich wohl nur mit vielen Kniffs in Excel lösen, da muss wohl ein Python-Programm her (simuliert oder exakt). | ||
+ | |||
+ | Für die exakte Lösung ist folgender Ansatz ein gangbarer Weg: Man betrachtet die Wahrscheinlichkeiten $p_{m,k,l}$ mit wobei $m$ die Anzahl gekaufter Bilder ist, $k$ die Anzahl Bilder, die zwei oder mehrere Male vorhanden sind, und $l$ die Anzahl Bilder, die genau einmal vorhanden sind. | ||
+ | Damit lässt sich wieder ein Baum konstruieren, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <hidden Lösungsvorschlag in Python> | ||
+ | Achtung: Der Code ist nicht sehr effizient und braucht sehr viel Speicher und ist nicht geeignet für Werte über 100. | ||
+ | |||
+ | Das Speicherproblem kann relativ einfach gelöst werden, weil nur zwei Zeilen benötigt werden (alle vorhergehenden müssen nicht gespeichert werden). | ||
+ | <code python sammelalben.py> | ||
+ | n = 20 | ||
+ | |||
+ | p = [[[1 if k==l and k==0 else 0 for l in range(n+1)] for k in range(n+1)]] | ||
+ | |||
+ | pfull = [[0,0]] | ||
+ | |||
+ | csv = " | ||
+ | |||
+ | for m in range(1, | ||
+ | # Neue Zeile mit Nullen einfügen | ||
+ | p.append([[0 for l in range(n+1)] for k in range(n+1)]) | ||
+ | |||
+ | pf = [0,0] # Wahrscheinlichkeiten 1 oder 2 Alben voll zu haben | ||
+ | |||
+ | for k in range(n+1): | ||
+ | for l in range(n-k+1): | ||
+ | pmehrfach = 0.0 | ||
+ | peinmal = 0.0 | ||
+ | pkeinmal = 0.0 | ||
+ | pmehrfach = p[m-1][k][l] * k/n # Bild gekauft, das schon mehrfach vorhanden war | ||
+ | if (k>0 and l<n): | ||
+ | peinmal = p[m-1][k-1][l+1] * (l+1)/ | ||
+ | if (l>0): | ||
+ | pkeinmal = p[m-1][k][l-1] * (n-k-(l-1))/ | ||
+ | |||
+ | p[m][k][l] = pmehrfach + peinmal + pkeinmal | ||
+ | |||
+ | # Wahrscheinlichkeiten, | ||
+ | if (k==n): | ||
+ | pf[1]+=p[m][k][l] | ||
+ | if (l+k> | ||
+ | pf[0]+=p[m][k][l] | ||
+ | |||
+ | pfull.append(pf) | ||
+ | | ||
+ | print(" | ||
+ | csv += " | ||
+ | |||
+ | datei = open(" | ||
+ | datei.write(csv) | ||
+ | datei.close() | ||
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+ | {{lehrkraefte: | ||
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