Cosinussatz

Gegeben ist ein allgemeines Dreieck $ABC$ mit Winkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und Seiten $a$, $b$, $c$.

Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige Dreiecke.

Finden Sie eine Formel für $a^2$ aus den Grössen $b$, $c$ und $\alpha$.

Betrachten Sie erst einmal ein spitzwinkliges Dreieck.

Hinweis 1

Drücken Sie $a^2$ mit der Höhe $h_c$ und der Strecke $H_cB$ aus, wobei $H_c$ der Höhenfusspunkt der Höhe $h_c$ ist.

Hinweis 2

Drücken Sie $h_c$ und $H_cB$ mit den Grössen $b$, $c$ und $\alpha$ aus.

Hinweis 3

$H_cB$ ist gleich $c - AH_c$.

Hinweis 4

$h_c = \sin(\alpha) \cdot b$ und $H_cB = c - \cos(\alpha) \cdot b$

Hinweis 5

Ausquadrieren, $b^2$ ausklammern und Klammer vereinfachen.

Hinweis 6

$\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2 = 1$

Lösung

$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$

Zeigen Sie, dass die Herleitung immer noch gültig ist, auch wenn $\beta>90^\circ$.

Der Sinussatz besagt, dass im allgemeinen Dreieck sich die Seiten im gleichen Verhältnis stehen, wie die Sinuswerte der entsprechenden Winkeln.

Berechnen Sie z.B. die Höhe $h_c$ auf zwei verschiedene Arten in denen je ein Sinus eines unterschiedlichen Winkels vorkommt.

Setzen Sie die beiden Ausdrücke gleich und formen Sie die Gleichung so um, dass das gewünschte Resultat herauskommt.

Ziel