lehrkraefte:blc:math-2021hw:zusatzaufgaben-potenzen [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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====== Zusatzaufgaben zu den auswendig zu lernenden Potenzen ======
Berechnen Sie möglichst schlau (d.h. erst kürzen, bevor man etwas ausrechnet).

| a) $\displaystyle \frac{16^5}{32^3}$ | b) $\displaystyle \frac{243^3}{81^5}$ | c) $\displaystyle \frac{\frac{125 \cdot 81}{77 \cdot 45}}{\frac{11}{7}\cdot 225}$ | d) $\displaystyle \frac{\frac{\left(2\cdot(5+6)^2+1\right)^3}{81^4}}{\frac{1}{3}}$ | 

Weitere Aufgaben dazu im Skript, Seite 8, Aufgaben 1.16 c)&f), und 1.17.
<hidden Lösungsvorschläge>
a)
$$\frac{16^5}{32^3} = \frac{\left(2^4\right)^5}{\left(2^5\right)^3} = \frac{2^{20}}{2^{15}} = 2^5 = 32$$
b)
$$\frac{243^3}{81^5} = \frac{\left(3^5\right)^3}{\left(3^4\right)^5} = \frac{3^{15}}{3^{20}} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$$
c)
$$\frac{\frac{125 \cdot 81}{77 \cdot 45}}{\frac{11}{7}\cdot 225} = \frac{\frac{5^3 \cdot 3^4}{11\cdot 7 \cdot 3^2 \cdot 5}}{\frac{11\cdot 15^2}{7}} = 
\frac{5^2 \cdot 3^2}{11\cdot 7 } \cdot {\frac{7}{11\cdot 15^2}} = \frac{5^2 \cdot 3^2}{11} \cdot {\frac{1}{11\cdot (3 \cdot 5)^2}} = 
\frac{5^2 \cdot 3^2}{11^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \frac{1}{121}$$

d) Aufgepasst mit Additionen! Damit gibt es keine Potenzgesetze (abgesehen von der binomischen Formel). Bei Additionen kommt man ums Ausrechnen kaum herum.

$$
\frac{\frac{\left(2\cdot(5+6)^2+1\right)^3}{81^4}}{\frac{1}{3}} = \frac{\left(2\cdot 121+1\right)^3}{81^4}\cdot\frac{3}{1} = \frac{243^3}{\left(3^4\right)^4}\cdot 3 = \frac{\left(3^5\right)^3}{3^{16}}\cdot 3 = \frac{3^{15}}{3^{16}} \cdot 3 = 1$$
</hidden>