lehrkraefte:blc:math:trigo-mit-geogebra:trigo-mit-geogebra [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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===== Harmonische Schwingungen mit Geogebra =====
**Hinweis**: Die Videos funktionieren nur bedingt mit Internet Explorer. Eine Kopie der Videos finden Sie im Klassenlaufwerk, die mit VLC angeschaut werden können.
==== Überlagerungen ====
=== Aufgabe 1 ===
Zeichnen Sie mit Geogebra zwei Funktionen, $f(x)$ und $g(x)$ mit gleicher Frequenz 1 Hz  und Amplitude 1, aber unterschiedlicher Phase. Phase von $f$ soll $0^\circ$ sein, von $g$ soll die Phase $\phi$ sein, welche über einen Schieberegeler eingestellt werden kann. Zeichnen Sie dann die Summe $h(x)=f(x)+g(x)$. Folgen Sie dazu untenstehendem Screencast:

{{https://fginfo.ksbg.ch/~ivo/phasenverschiebung.mp4}}

=== Aufgabe 2 ===
Wie verhält sich die Überlagerung zweier Schwingungen mit variabler Phase, wenn die Amplitude der einen Schwingung doppelt so gross ist wie die andere? Erklären Sie das Resultat im Einheitskreis.

Wie gross ist die Amplitude der Überlagerung exakt, wenn die Phasenverschiebung $90^\circ$ beträgt? Überprüfen Sie Ihr Resultat auf Plausibilität mit Hilfe von Geogebra.



==== Schwebungen ====
=== Aufgabe 1 ===
Zeichnen Sie mit Geogebra zwei Funktionen, $f(x)$ und $g(x)$, Schwingungen mit Amplitude 1 und Phase 1, wobei $f$ eine Frequenz von 440 Hz und $g$ von 441 Hz haben soll. Skalieren Sie die Achsen entsprechend und schauen Sie sich die beiden Graphen bei $x$ 0, 0.5 und 1 an. Wie wird wohl die Summe $h(x)=f(x)+g(x)$ aussehen? Folgen Sie folgendem Screencast und führen Sie die Manipulationen gleich aus. Pausieren das Video wann immer nötig:

{{https://fginfo.ksbg.ch/~ivo/schwebung.mp4|Screencast Geogebra Schwebungen}}

Die folgenden Audiodateien enthalten je zwei reine Sinusschwingungen mit den angegebenen Frequenzen. Zuerst je 2 Sekunden mono links, rechts, dann beide stereo für 4 Sekunden, dann die mathematische Überlagerung mono (auf beiden Kanälen identisch). Hören Sie sich dazu die Datei 440 Hz und 441 Hz an. 

      * {{lehrkraefte:blc:math:unterlagen:audio:440-und-440-hz.mp3?linkonly |440 Hz und 440 Hz, $0^\circ$ Phasenverschiebung}}
      * {{lehrkraefte:blc:math:unterlagen:audio:440-und-441-hz.mp3?linkonly |440 Hz und 441 Hz}}
      * {{lehrkraefte:blc:math:unterlagen:audio:440-und-442-hz.mp3?linkonly |440 Hz und 442 Hz}}
      * {{lehrkraefte:blc:math:unterlagen:audio:440-und-444-hz.mp3?linkonly |440 Hz und 444 Hz}}
      * {{lehrkraefte:blc:math:unterlagen:audio:440-und-660-hz.mp3?linkonly |440 Hz und 660 Hz (a' und e'') }}
      * {{lehrkraefte:blc:math:unterlagen:audio:440-und-661-hz.mp3?linkonly |440 Hz und 661 Hz}}
      * {{lehrkraefte:blc:math:unterlagen:audio:440-und-662-hz.mp3?linkonly |440 Hz und 662 Hz}} 
      * {{lehrkraefte:blc:math:unterlagen:audio:440-und-666-hz.mp3?linkonly |440 Hz und 666 Hz}}

=== Aufgabe 2 ===
Überlagern Sie zwei Schwingungen mit 440 Hz und 661 Hz, was der a1- und e2-Seite einer Violine entspricht, wobei die e2-Seite rein gestimmt 660 Hz haben sollte. Stellen Sie fest, dass auch bei einer nicht reinen Quinte eine Schwebung zu hören ist. Beachten Sie, dass bei der temperierten Stimmung (z.B. ein Klavier) e2 auf ca. 659.26 Hz gestimmt wird (wenn a1 auf 440 Hz gestimmt wird).


==== Überlagerung von Kreisbewegungen ====
Stellen Sie sich einen Punkt $P$ vor, der auf dem Einheitskreis eine gleichmässige Kreisbewegung mit einer Geschwindigkeit von 1 Umdrehung pro Zeiteinheit ausführt. Um diesen Punkt $P$ dreht sich ein weiterer Punkt $Q$ mit einem Radius $r$ und einer Geschwindigkeit $v$. Die Koordinaten vom Punkt $P$ sind also (Winkel im Bogenmass):
$$
P=(\cos(t\cdot 2\pi), \sin(t \cdot 2\pi))
$$
zu diesen Koordinaten zählt man folgende Koordinaten hinzu:
$$
Q' = (r \cdot \cos(t \cdot v \cdot 2\pi), r \cdot \sin(t \cdot v \cdot 2\pi))
$$

In Geogebra, definieren Sie drei Schieberegler:
  * für t von 0 bis 1, in 1000-stel Schritten. 
  * für r von 0 bis 2
  * für v als Ganzzahl von -8 bis 8
Definieren Sie dann beide Punkte $P$ und $Q'$ und schliesslich den Punkt $Q$ als Summe der beiden Punkte $P$ und $Q'$.

Folgende Sie dem Screencast:

{{https://fginfo.ksbg.ch/~ivo/kreisbewegung-ueberlagerung.mp4}}

Erklären Sie, warum für $v=4$ nur 3 "Blätter", für $v=-4$ aber 5 "Blätter" entstehen.


Mit obigen Definition ist das Verhältnis der Schwindigkeiten ganzzahlig. Mit gebrochenen Verhältnissen können z.B. 5-Zack Sterne gezeichnet werden. Finden Sie heraus, wie Sie die Geschwindigkeiten und Radien wählen müssen?

<hidden Lösungsvorschlag>
$P$ dreht mit Geschwindigkeit 2 (ist anzupassen), $Q$ mit Geschwindigkeit $-3$ und Radius ca. $0.55$.
Für $v=-5$ und $r\approx 0.4$ erhält man einen schönen 7-zack Stern.
</hidden>