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Harmonische Schwingungen mit Geogebra
Überlagerungen
Aufgabe 1
Zeichnen Sie mit Geogebra zwei Funktionen, $f(x)$ und $g(x)$ mit gleicher Frequenz 1 Hz und Amplitude 1, aber unterschiedlicher Phase. Phase von $f$ soll $0^\circ$ sein, von $g$ soll die Phase $\phi$ sein, welche über einen Schieberegeler eingestellt werden kann. Zeichnen Sie dann die Summe $h(x)=f(x)+g(x)$. Folgen Sie dazu untenstehendem Screencast:
Aufgabe 2
Wie verhält sich die Überlagerung zweier Schwingungen mit variabler Phase, wenn die Amplitude der einen Schwingung doppelt so gross ist wie die andere? Erklären Sie das Resultat im Einheitskreis.
Wie gross ist die Amplitude der Überlagerung exakt, wenn die Phasenverschiebung $90^\circ$ beträgt? Überprüfen Sie Ihr Resultat auf Plausibilität mit Hilfe von Geogebra.
Schwebungen
Aufgabe 1
Zeichnen Sie mit Geogebra zwei Funktionen, $f(x)$ und $g(x)$, Schwingungen mit Amplitude 1 und Phase 1, wobei $f$ eine Frequenz von 440 Hz und $g$ von 441 Hz haben soll. Skalieren Sie die Achsen entsprechend und schauen Sie sich die beiden Graphen bei $x$ 0, 0.5 und 1 an. Wie wird wohl die Summe $h(x)=f(x)+g(x)$ aussehen? Folgen Sie folgendem Screencast und führen Sie die Manipulationen gleich aus. Pausieren das Video wann immer nötig:
Die folgenden Audiodateien enthalten je zwei reine Sinusschwingungen mit den angegebenen Frequenzen. Zuerst je 2 Sekunden mono links, rechts, dann beide stereo für 4 Sekunden, dann die mathematische Überlagerung mono (auf beiden Kanälen identisch). Hören Sie sich dazu die Datei 440 Hz und 441 Hz an.
Aufgabe 2
Überlagern Sie zwei Schwingungen mit 440 Hz und 661 Hz, was der a1- und e2-Seite einer Violine entspricht, wobei die e2-Seite rein gestimmt 660 Hz haben sollte. Stellen Sie fest, dass auch bei einer nicht reinen Quinte eine Schwebung zu hören ist. Beachten Sie, dass bei der temperierten Stimmung (z.B. ein Klavier) e2 auf ca. 659.26 Hz gestimmt wird (wenn a1 auf 440 Hz gestimmt wird).
Überlagerung von Kreisbewegungen
Stellen Sie sich einen Punkt $P$ vor, der auf dem Einheitskreis eine gleichmässige Kreisbewegung mit einer Geschwindigkeit von 1 Umdrehung pro Zeiteinheit ausführt. Um diesen Punkt $P$ dreht sich ein weiterer Punkt $Q$ mit einem Radius $r$ und einer Geschwindigkeit $v$. Die Koordinaten vom Punkt $P$ sind also (Winkel im Bogenmass): $$ P=(\cos(t\cdot 2\pi), \sin(t \cdot 2\pi)) $$ zu diesen Koordinaten zählt man folgende Koordinaten hinzu: $$ Q' = (r \cdot \cos(t \cdot v \cdot 2\pi), r \cdot \sin(t \cdot v \cdot 2\pi)) $$
In Geogebra, definieren Sie drei Schieberegler:
- für t von 0 bis 1, in 1000-stel Schritten.
- für r von 0 bis 2
- für v als Ganzzahl von -8 bis 8
Definieren Sie dann beide Punkte $P$ und $Q'$ und schliesslich den Punkt $Q$ als Summe der beiden Punkte $P$ und $Q'$.
Erklären Sie, warum für $v=4$ nur 3 “Blätter”, für $v=-4$ aber 5 “Blätter” entstehen.