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--- lehrkraefte:blc:math:vektoranalysis:ganzzahligebasen [2018/09/13 13:55]
Ivo Blöchliger
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Ivo Blöchliger [3 Dimensionen]
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-====== Ganzzahlige Vektoren mit ganzzahliger Länge, die einen Winkel von $60\grad$ einschliessen ======
+{{backlinks>.}}
-In zwei Dimensionen gibt es das nicht. Hätten $\vec a$ und $\vec b$ diese Eigenschaften kann $a_{\perp}$ gebildet werden (Rotation um $90^\circ$). $\vec b$ muss dann ein Vielfaches von $\frac{1}{2}\vec a + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec a_{\perp}$ sein.
+====== Ganzzahlige Vektoren mit ganzzahliger Länge, die einen Winkel von $60^\circ$ einschliessen ======
+===== 2 Dimensionen =====
+In zwei Dimensionen gibt es das nicht. Hätten $\vec a$ und $\vec b$ diese Eigenschaften kann $a_{\perp}$ gebildet werden (Rotation um $90^\circ$). Im Koordinatensystem mit Basisvektoren $\vec a$ und $\vec a_{\perp}$ hat $\vec b$ rationale Komponenten (die Koordinatentransformation ist rational umkehrbar). Wegen dem $60^\circ$-Winkel ist im neuen Koordinatensystem $\vec b$ ein $\lambda$-faches des Vektors $\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$. Ist $\lambda \in \mathbb{Q}$, ist die zweite Komponente irrational. Ist $\lambda$ irrational, ist es die erste Komponente von $\vec b$. Widerspruch.
+===== 3 Dimensionen =====
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 Seien $\vec e_1 = \vec{u}_1=\frac{1}{|\vec v_1|}\vec v_1$ und
-$\vec{u}_2=\frac{1}{|\vec v_2|}\vec v_2$.
+$\vec{u}_2=\frac{1}{|\vec v_2|}\vec v_2$. Beide haben Länge 1 und rationalen Komponenten.
-Sei $e_2 = \vec u_1 \times \vec u_2$. $e_2$ hat rationale Komponenten und die Länge $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
+Sei $\vec e_2 = \vec u_2 \times \vec u_1$. $\vec e_2$ hat rationale Komponenten und die Länge $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
-Sei $e_3 = \vec e_1 \times \vec e_2$. $e_3$ hat rationale Komponenten und die Länge $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
+Sei $\vec e_3 = \vec e_1 \times \vec e_2$. $\vec e_3$ hat rationale Komponenten und die Länge $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
 Die Vektoren $\vec u_1$, $\vec u_2$ und $\vec e_3$ sind koplanar. Es gilt also
-$\vec u_2 = \frac{1}{2}\vec u_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec e_3
+$\vec u_2 = \frac{1}{2}\vec u_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\vec e_3 : \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\vec u_1 + \vec e_3$
+Leider kein Widerspruch :-(