lehrkraefte:blc:miniaufgaben

Miniaufgaben

  • Auf jede Lektion (ausser Prüfungslektionen) ist eine Miniaufgabe vorzubereiten. Am Anfang der Lektion wird ein Würfel geworfen. Zeigt der Würfel eine Vier, Fünf oder Sechs, wird eine Aufgabe in Form eines Kurztests geprüft.
  • Jeder Schüler hat 5 Joker für das ganze Jahr. Diese werden über die JokerChain verwaltet und können bis 23:59 am Vortag eingelöst werden. Bei Einsatz eines Jokers wird der Schüler vom eventuellen Kurztest ersatzlos dispensiert. Zeigt der Würfel 1-3, ist der Joker aber auch aufgebraucht!

Beachten Sie, dass via andere Kanäle keine Joker mehr eingelöst werden können. Bei Problemen werde ich Sie aber nach Möglichkeit unterstützen (mit genügend zeitlichem Vorlauf).

  • Der Minikurztest ist auf mitgebrachtem A4-Papier im Hochformat zu lösen. Ausgefranste Ränder, zerknittertes Papier, abgerissene Ecken und Übergrössen führen zu Abzug.
  • Der Name ist oben rechts zu notieren.
  • Die Prüfungsblätter können mehrmals verwendet werden, die Aufgaben sind aber sauber abzugrenzen.
  • Schreiben Sie nicht mit Rot oder einer schlecht lesbaren Farbe, wie z.B. gelb. (Ja, ja, jede Regel hat eine Geschichte).
  • Der Durchschnitt aller Miniaufgaben zählt als eine volle 6. Prüfungsnote.

22. April 2024 bis 26. April 2024

Dienstag 23. April 2024

Leiten Sie von Hand und ohne Unterlagen ab:

Lösungen

Lösungen

ruby ableiten-von-hand.rb 4

Mittwoch 24. April 2024

Die folgenden Funktionen haben genau zwei Extremalpunkte. Bestimmen Sie diese.

Lösungen

Lösungen

ruby extremalstellen-von-polynom-3ten-grades.rb 1

29. April 2024 bis 3. Mai 2024

Dienstag 30. April 2024

Die folgenden Funktionen haben genau zwei Wendestellenkandidaten. Bestimmen Sie diese.

Lösungen

Lösungen

ruby extremalstellen-von-polynom-3ten-grades.rb 2

Mittwoch 1. Mai 2024

Eine Funktion 3. Grades hat die Form $f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$ mit $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ und $a\neq 0$.

Erklären Sie, warum eine Funktion 3. Grades

  • a) mindestens eine Nullstelle haben muss.
  • b) entweder genau 2 oder keine lokale Extrema hat.
  • c) immer genau eine Wendestelle hat.

Lösungsvorschlag

Lösungsvorschlag

  • a) Für betragsmässig genug grosse $x$ dominiert der Term $ax^3$ alle anderen Terme der Funktion. D.h. für $x \to \infty$ hat $f(x)$ das gleiche Vorzeichen wie $a$, für $x \to -\infty$ das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Funktion ist stetig, d.h. der Funktionsgraph macht keine Sprünge und hat keine Lücken. Da der Funktionsgraph für sehr kleine $x$ und sehr grosse $x$ einmal oberhalb und einmal unterhalb der $x$-Achse verläuft, muss er die $x$-Achse dazwischen mindestens einmal schneiden, d.h. die Funktion muss eine Nullstelle haben.
  • b) Die Ableitung ist eine quadratische Funktion, die genau 2, eine oder keine Nullstellen hat.
    • Keine Nullstellen, heisst keine Extrema.
    • Genau eine Nullstelle heisst, die Ableitung hat die Form $f'(x)=u\cdot(x-v)^2$, mit $v$ als «doppelter» Nullstelle (mit $u\neq 0$). Damit ist die zweite Ableitung $f''(x)=2u \cdot (x-v)$ und damit ist $f''(v)=0$ und $v$ ein Wendestellenkandidat. Weiter ist $f'''(x)=2u \neq 0$, womit wir eine echte Wendestelle mit horizontaler Tangente haben, also ein Sattelpunkt und somit keine Extremalstelle.
    • Zwei Nullstellen heisst, die Ableitung hat als quadratische Funktion die Form $f'(x)=u\cdot(x-v)(x-w) = u(x^2-(v+w)x+vw)$ mit $v \neq w$ den Nullstellen und $u \neq 0$. Die zweite Ableitung ist $f''(x) = u \cdot (2x-(v+w))$ und damit $f''(v)=u(2v-v-w) = u(w-v) \neq 0$ und $f''(w)=u(2w-v-w)=u(v-w) \neq 0$. Damit sind $v$ und $w$ zwei «echte» Extremalstellen von $f$.
  • c) Die zweite Ableitung ist $f''(x)= 6ax+2b$ und hat genau eine Nullstelle, nämlich $-\frac{b}{3a}$, die immer existiert (wegen $a\neq 0$). Die dritte Ableitung ist konstant $f'''(x)=6a \neq 0$, womit eine Wendestelle vorliegt.

Aufgaben vom aktuellen Jahr

Ältere Aufgaben

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  • Last modified: 2024/04/23 10:15
  • by Ivo Blöchliger