| [["$f(x)=-x^{2}+4x-5$, $\\qquad g(x)=2x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}+4x-5 & = 2x+q&& | -(2x+q)\\\\\n-x^{2}+4x-5-\\left(2x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}+4x-5-2x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q+2x-5 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x \\cdot 2+-q-5 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(2\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-5\\right) = 4+4\\left(-q-5\\right) = 4+4\\left(-q\\right)+4\\left(-5\\right) = 4-4q-20 = -4q-16 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--16}{-4} = -4$."], ["$f(x)=-x^{2}-4x-6$, $\\qquad g(x)=-2x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-4x-6 & = -2x+q&& | -(-2x+q)\\\\\n-x^{2}-4x-6-\\left(-2x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-4x-6+2x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-2x-6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-2\\right)+-q-6 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-2\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-6\\right) = 4+4\\left(-q-6\\right) = 4+4\\left(-q\\right)+4\\left(-6\\right) = 4-4q-24 = -4q-20 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--20}{-4} = -5$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x+2$, $\\qquad g(x)=5x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x+2 & = 5x+q&& | -(5x+q)\\\\\n-x^{2}-2x+2-\\left(5x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x+2-5x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-7x+2 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-7\\right)+-q+2 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-7\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q+2\\right) = 49+4\\left(-q+2\\right) = 49+4\\left(-q\\right)+4 \\cdot 2 = 49-4q+8 = -4q+57 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-57}{-4} = \\frac{57}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}-4x-6$, $\\qquad g(x)=-2x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-4x-6 & = -2x+q&& | -(-2x+q)\\\\\n-x^{2}-4x-6-\\left(-2x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-4x-6+2x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-2x-6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-2\\right)+-q-6 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-2\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-6\\right) = 4+4\\left(-q-6\\right) = 4+4\\left(-q\\right)+4\\left(-6\\right) = 4-4q-24 = -4q-20 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--20}{-4} = -5$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x-3$, $\\qquad g(x)=3x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x-3 & = 3x+q&& | -(3x+q)\\\\\n-x^{2}-2x-3-\\left(3x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x-3-3x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-5x-3 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-5\\right)+-q-3 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-5\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-3\\right) = 25+4\\left(-q-3\\right) = 25+4\\left(-q\\right)+4\\left(-3\\right) = 25-4q-12 = -4q+13 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-13}{-4} = \\frac{13}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}+2x-4$, $\\qquad g(x)=3x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}+2x-4 & = 3x+q&& | -(3x+q)\\\\\n-x^{2}+2x-4-\\left(3x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}+2x-4-3x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-x-4 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-1\\right)+-q-4 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-1\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-4\\right) = 1+4\\left(-q-4\\right) = 1+4\\left(-q\\right)+4\\left(-4\\right) = 1-4q-16 = -4q-15 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--15}{-4} = -\\frac{15}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}+4x-6$, $\\qquad g(x)=-2x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}+4x-6 & = -2x+q&& | -(-2x+q)\\\\\n-x^{2}+4x-6-\\left(-2x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}+4x-6+2x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q+6x-6 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x \\cdot 6+-q-6 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(6\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-6\\right) = 36+4\\left(-q-6\\right) = 36+4\\left(-q\\right)+4\\left(-6\\right) = 36-4q-24 = -4q+12 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-12}{-4} = 3$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x+1$, $\\qquad g(x)=-3x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x+1 & = -3x+q&& | -(-3x+q)\\\\\n-x^{2}-2x+1-\\left(-3x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x+1+3x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q+x+1 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x \\cdot 1+-q+1 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(1\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q+1\\right) = 1+4\\left(-q+1\\right) = 1+4\\left(-q\\right)+4 \\cdot 1 = 1-4q+4 = -4q+5 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-5}{-4} = \\frac{5}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x-3$, $\\qquad g(x)=-x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x-3 & = -x+q&& | -(-x+q)\\\\\n-x^{2}-2x-3-\\left(-x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x-3+x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q-x-3 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x\\left(-1\\right)+-q-3 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(-1\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q-3\\right) = 1+4\\left(-q-3\\right) = 1+4\\left(-q\\right)+4\\left(-3\\right) = 1-4q-12 = -4q-11 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{--11}{-4} = -\\frac{11}{4}$."], ["$f(x)=-x^{2}-2x+1$, $\\qquad g(x)=-4x+q$", "Damit der Graph von $g$ eine Tangente an die Parabel definiert durch den Graphen von $f$ ist, muss die Gerade berühren, d.h. es gibt exakt einen Schnittpunkt.\n<br>\nDer Achsenabschnitt $q$ ist so zu wählen, dass $f(x)=g(x)$ exakt eine Lösung für $x$ hat:\n\\begin{align*}\n-x^{2}-2x+1 & = -4x+q&& | -(-4x+q)\\\\\n-x^{2}-2x+1-\\left(-4x+q\\right) & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-2x+1+4x-q & = 0&& | \\text{TU}\\\\\n-x^{2}-q+2x+1 & = 0&& | \\text{TU}\\\\\nx^{2}\\left(-1\\right)+x \\cdot 2+-q+1 & = 0\\\\\n\\end{align*}Damit diese Gleichung exakt eine Lösung für $x$ hat, muss die Diskriminante Null sein, d.h.\n<br>\n$D=b^2-4ac = \\left(2\\right)^{2}-4\\left(-1\\right)\\left(-q+1\\right) = 4+4\\left(-q+1\\right) = 4+4\\left(-q\\right)+4 \\cdot 1 = 4-4q+4 = -4q+8 = 0$\n<br>\nDaraus folgt: $q=\\frac{-8}{-4} = 2$."]], | [["$f(x)=x^{2}-16x+72$", "$f(x)=x^{2}-16x+72=x^{2}-16x+64-64+72=\\left(x-8\\right)^{2}-64+72=\\left(x-8\\right)^{2}+8$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(8,8)$."], ["$f(x)=x^{2}+12x+42$", "$f(x)=x^{2}+12x+42=x^{2}+12x+36-36+42=\\left(x+6\\right)^{2}-36+42=\\left(x+6\\right)^{2}+6$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(-6,6)$."], ["$f(x)=x^{2}+14x+43$", "$f(x)=x^{2}+14x+43=x^{2}+14x+49-49+43=\\left(x+7\\right)^{2}-49+43=\\left(x+7\\right)^{2}-6$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(-7,-6)$."], ["$f(x)=x^{2}-14x+54$", "$f(x)=x^{2}-14x+54=x^{2}-14x+49-49+54=\\left(x-7\\right)^{2}-49+54=\\left(x-7\\right)^{2}+5$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(7,5)$."], ["$f(x)=x^{2}+10x+17$", "$f(x)=x^{2}+10x+17=x^{2}+10x+25-25+17=\\left(x+5\\right)^{2}-25+17=\\left(x+5\\right)^{2}-8$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(-5,-8)$."], ["$f(x)=x^{2}+10x+19$", "$f(x)=x^{2}+10x+19=x^{2}+10x+25-25+19=\\left(x+5\\right)^{2}-25+19=\\left(x+5\\right)^{2}-6$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(-5,-6)$."], ["$f(x)=x^{2}-12x+44$", "$f(x)=x^{2}-12x+44=x^{2}-12x+36-36+44=\\left(x-6\\right)^{2}-36+44=\\left(x-6\\right)^{2}+8$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(6,8)$."], ["$f(x)=x^{2}+14x+41$", "$f(x)=x^{2}+14x+41=x^{2}+14x+49-49+41=\\left(x+7\\right)^{2}-49+41=\\left(x+7\\right)^{2}-8$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(-7,-8)$."], ["$f(x)=x^{2}+10x+32$", "$f(x)=x^{2}+10x+32=x^{2}+10x+25-25+32=\\left(x+5\\right)^{2}-25+32=\\left(x+5\\right)^{2}+7$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(-5,7)$."], ["$f(x)=x^{2}-10x+18$", "$f(x)=x^{2}-10x+18=x^{2}-10x+25-25+18=\\left(x-5\\right)^{2}-25+18=\\left(x-5\\right)^{2}-7$<br>\nMan liest die Scheitelpunktskoordinaten aus der Verschiebung der Normalparabel (die den Scheitel bei $(0,0)$ hat) ab:<br>\n$S=(5,-7)$."]], |