lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw36-2023 [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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==== 4. September 2023 bis 8. September 2023 ====
=== Montag 4. September 2023 ===

Skalieren Sie den Vektor auf die gewünschte Länge. Alle Brüche sind vollständig gekürzt anzugeben.
<JS>miniAufgabe("#exovectolength","#solvectolength",
[["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{15}{4}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} =  \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{15}{4}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{15}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{5}{6} = \\begin{pmatrix} -\\frac{5}{4} \\\\ \\frac{5}{2} \\\\ \\frac{5}{2}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{8}{7}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{18}{7}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{49}+\\frac{64}{49}+\\frac{64}{49}} = \\sqrt{\\frac{144}{49}} =  \\frac{12}{7}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{7}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{18}{7}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{8}{7}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{7}{12} \\cdot \\frac{18}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{8}{7} \\\\ \\frac{8}{7}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{3}{2} = \\begin{pmatrix} -\\frac{6}{7} \\\\ \\frac{12}{7} \\\\ \\frac{12}{7}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{9}{4}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{25}+\\frac{36}{25}+\\frac{36}{25}} = \\sqrt{\\frac{81}{25}} =  \\frac{9}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{9}{4}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{5}{9} \\cdot \\frac{9}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{5}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{4} \\\\ -\\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{21}{4}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} =  \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{21}{4}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot \\frac{21}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ 3 \\\\ 3\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{7}{6} = \\begin{pmatrix} -\\frac{7}{4} \\\\ \\frac{7}{2} \\\\ \\frac{7}{2}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{6}{5}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{49}+\\frac{64}{49}+\\frac{64}{49}} = \\sqrt{\\frac{144}{49}} =  \\frac{12}{7}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{7}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{6}{5}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{7}{12} \\cdot \\frac{6}{5} = \\begin{pmatrix} \\frac{4}{7} \\\\ -\\frac{8}{7} \\\\ -\\frac{8}{7}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{7}{10} = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{4}{5}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ -\\frac{8}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $4$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ -\\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{25}+\\frac{64}{25}+\\frac{64}{25}} = \\sqrt{\\frac{144}{25}} =  \\frac{12}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $4$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ -\\frac{8}{5}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{5}{12} \\cdot 4 = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ -\\frac{8}{5}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{5}{3} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{3} \\\\ -\\frac{8}{3} \\\\ -\\frac{8}{3}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{9}{5}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{16}{25}+\\frac{64}{25}+\\frac{64}{25}} = \\sqrt{\\frac{144}{25}} =  \\frac{12}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{12}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{9}{5}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{5}{12} \\cdot \\frac{9}{5} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{8}{5} \\\\ \\frac{8}{5}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{3}{4} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ -3\\end{pmatrix} $ auf Länge $2$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ -3\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{4}+9+9} = \\sqrt{\\frac{81}{4}} =  \\frac{9}{2}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{2}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $2$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ -3\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{2}{9} \\cdot 2 = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -3 \\\\ -3\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{4}{9} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{3} \\\\ -\\frac{4}{3}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{4}{7}\\end{pmatrix} $ auf Länge $2$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{4}{7}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{4}{49}+\\frac{16}{49}+\\frac{16}{49}} = \\sqrt{\\frac{36}{49}} =  \\frac{6}{7}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{6}{7}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $2$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{4}{7}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{7}{6} \\cdot 2 = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{7} \\\\ -\\frac{4}{7} \\\\ \\frac{4}{7}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{7}{3} = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{3} \\\\ \\frac{4}{3}\\end{pmatrix} $."], ["$\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix} $ auf Länge $\\frac{18}{7}$ skalieren.", "$\\left|\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix} \\right| = \\sqrt{\\frac{9}{25}+\\frac{36}{25}+\\frac{36}{25}} = \\sqrt{\\frac{81}{25}} =  \\frac{9}{5}$. Der Vektor muss also durch $\\frac{9}{5}$ dividiert werden, um auf die Länge 1 skaliert zu werden, und danach mit der gewünschten Länge $\\frac{18}{7}$ multipliziert werden. Man erhält $\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{5}{9} \\cdot \\frac{18}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{5} \\\\ \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{6}{5}\\end{pmatrix}  \\cdot \\frac{10}{7} = \\begin{pmatrix} -\\frac{6}{7} \\\\ \\frac{12}{7} \\\\ \\frac{12}{7}\\end{pmatrix} $."]],
" <br><hr> ", "<br><hr>");
</JS>
<HTML>
<div id="exovectolength"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>

<HTML>
<div id="solvectolength"></div>
<div style='font-size:12px;color:gray;'>ruby vektoren-auf-laenge-skalieren.rb 1</div>
</HTML>

</hidden>

=== Dienstag 5. September 2023 ===
Gegeben sind zwei Punkte $A$ und $B$ in der Ebene.
Berechnen Sie Koordinaten der Punkte $C$ und $D$ so, dass $ABCD$ ein Quadrat mit positivem Umlaufsinn ist. Zeichnen Sie die Situation in einem Koordinatensystem ungefähr ein und beschriften Sie Ihre Skizze.<JS>miniAufgabe("#exosquare_from_two_points","#solsquare_from_two_points",
[["$A=\\left(\\frac{3}{8},\\,\\frac{7}{8}\\right)$ und $B=\\left(-\\frac{7}{8},\\,\\frac{17}{8}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -\\frac{7}{8} \\\\ \\frac{17}{8}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} \\frac{3}{8} \\\\ \\frac{7}{8}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{5}{4} \\\\ \\frac{5}{4}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{5}{4} \\\\ -\\frac{5}{4}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{3}{8} \\\\ \\frac{7}{8}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{5}{4} \\\\ -\\frac{5}{4}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{7}{8} \\\\ -\\frac{3}{8}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{7}{8} \\\\ \\frac{17}{8}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{5}{4} \\\\ -\\frac{5}{4}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{17}{8} \\\\ \\frac{7}{8}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(-\\frac{17}{8},\\,\\frac{7}{8}\\right)$ und $D=\\left(-\\frac{7}{8},\\,-\\frac{3}{8}\\right)$."], ["$A=\\left(\\frac{5}{6},\\,-\\frac{2}{5}\\right)$ und $B=\\left(-\\frac{2}{3},\\,\\frac{11}{10}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ \\frac{11}{10}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} \\frac{5}{6} \\\\ -\\frac{2}{5}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ \\frac{3}{2}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{5}{6} \\\\ -\\frac{2}{5}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{19}{10}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ \\frac{11}{10}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{13}{6} \\\\ -\\frac{2}{5}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(-\\frac{13}{6},\\,-\\frac{2}{5}\\right)$ und $D=\\left(-\\frac{2}{3},\\,-\\frac{19}{10}\\right)$."], ["$A=\\left(-\\frac{3}{4},\\,\\frac{5}{3}\\right)$ und $B=\\left(-\\frac{13}{4},\\,\\frac{19}{6}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -\\frac{13}{4} \\\\ \\frac{19}{6}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{4} \\\\ \\frac{5}{3}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{5}{2} \\\\ \\frac{3}{2}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{5}{2}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{4} \\\\ \\frac{5}{3}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{5}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{9}{4} \\\\ -\\frac{5}{6}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{13}{4} \\\\ \\frac{19}{6}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{5}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{19}{4} \\\\ \\frac{2}{3}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(-\\frac{19}{4},\\,\\frac{2}{3}\\right)$ und $D=\\left(-\\frac{9}{4},\\,-\\frac{5}{6}\\right)$."], ["$A=\\left(\\frac{2}{5},\\,-\\frac{2}{5}\\right)$ und $B=\\left(-\\frac{11}{10},\\,\\frac{2}{5}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -\\frac{11}{10} \\\\ \\frac{2}{5}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} \\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{2}{5}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ \\frac{4}{5}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{2}{5}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{19}{10}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{11}{10} \\\\ \\frac{2}{5}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{19}{10} \\\\ -\\frac{11}{10}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(-\\frac{19}{10},\\,-\\frac{11}{10}\\right)$ und $D=\\left(-\\frac{2}{5},\\,-\\frac{19}{10}\\right)$."], ["$A=\\left(\\frac{2}{5},\\,-\\frac{5}{2}\\right)$ und $B=\\left(\\frac{11}{10},\\,-\\frac{16}{5}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} \\frac{11}{10} \\\\ -\\frac{16}{5}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} \\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{5}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{7}{10} \\\\ -\\frac{7}{10}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{7}{10} \\\\ \\frac{7}{10}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{5} \\\\ -\\frac{5}{2}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} \\frac{7}{10} \\\\ \\frac{7}{10}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{11}{10} \\\\ -\\frac{9}{5}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{11}{10} \\\\ -\\frac{16}{5}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} \\frac{7}{10} \\\\ \\frac{7}{10}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{9}{5} \\\\ -\\frac{5}{2}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(\\frac{9}{5},\\,-\\frac{5}{2}\\right)$ und $D=\\left(\\frac{11}{10},\\,-\\frac{9}{5}\\right)$."], ["$A=\\left(-\\frac{2}{3},\\,-\\frac{4}{9}\\right)$ und $B=\\left(-\\frac{10}{9},\\,\\frac{2}{9}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -\\frac{10}{9} \\\\ \\frac{2}{9}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{9}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{9} \\\\ \\frac{2}{3}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{9}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{9}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{9}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{3} \\\\ -\\frac{8}{9}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{10}{9} \\\\ \\frac{2}{9}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ -\\frac{4}{9}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{16}{9} \\\\ -\\frac{2}{9}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(-\\frac{16}{9},\\,-\\frac{2}{9}\\right)$ und $D=\\left(-\\frac{4}{3},\\,-\\frac{8}{9}\\right)$."], ["$A=\\left(\\frac{3}{8},\\,-\\frac{3}{8}\\right)$ und $B=\\left(-\\frac{3}{8},\\,\\frac{3}{8}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{8} \\\\ \\frac{3}{8}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} \\frac{3}{8} \\\\ -\\frac{3}{8}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{4} \\\\ \\frac{3}{4}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{4} \\\\ -\\frac{3}{4}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{3}{8} \\\\ -\\frac{3}{8}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{4} \\\\ -\\frac{3}{4}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{8} \\\\ -\\frac{9}{8}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{8} \\\\ \\frac{3}{8}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{4} \\\\ -\\frac{3}{4}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{9}{8} \\\\ -\\frac{3}{8}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(-\\frac{9}{8},\\,-\\frac{3}{8}\\right)$ und $D=\\left(-\\frac{3}{8},\\,-\\frac{9}{8}\\right)$."], ["$A=\\left(-\\frac{3}{2},\\,\\frac{4}{5}\\right)$ und $B=\\left(-\\frac{4}{5},\\,-\\frac{2}{5}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{2}{5}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ \\frac{4}{5}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{7}{10} \\\\ -\\frac{6}{5}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{7}{10}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{2} \\\\ \\frac{4}{5}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{7}{10}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} -\\frac{3}{10} \\\\ \\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{4}{5} \\\\ -\\frac{2}{5}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} \\frac{6}{5} \\\\ \\frac{7}{10}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{5} \\\\ \\frac{3}{10}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(\\frac{2}{5},\\,\\frac{3}{10}\\right)$ und $D=\\left(-\\frac{3}{10},\\,\\frac{3}{2}\\right)$."], ["$A=\\left(\\frac{2}{3},\\,\\frac{4}{3}\\right)$ und $B=\\left(\\frac{13}{9},\\,\\frac{8}{9}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} \\frac{13}{9} \\\\ \\frac{8}{9}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} \\frac{2}{3} \\\\ \\frac{4}{3}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{7}{9} \\\\ -\\frac{4}{9}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{4}{9} \\\\ \\frac{7}{9}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{2}{3} \\\\ \\frac{4}{3}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} \\frac{4}{9} \\\\ \\frac{7}{9}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{10}{9} \\\\ \\frac{19}{9}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{13}{9} \\\\ \\frac{8}{9}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} \\frac{4}{9} \\\\ \\frac{7}{9}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{17}{9} \\\\ \\frac{5}{3}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(\\frac{17}{9},\\,\\frac{5}{3}\\right)$ und $D=\\left(\\frac{10}{9},\\,\\frac{19}{9}\\right)$."], ["$A=\\left(-\\frac{2}{3},\\,\\frac{3}{4}\\right)$ und $B=\\left(\\frac{5}{6},\\,-\\frac{3}{4}\\right)$.", "$$ \\vec{a} = \\vec{AB} = \\vec{OB}-\\vec{OA} = \\begin{pmatrix} \\frac{5}{6} \\\\ -\\frac{3}{4}\\end{pmatrix} -\\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ \\frac{3}{4}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{3}{2} \\\\ -\\frac{3}{2}\\end{pmatrix} . $$\n\nDer Vektor $\\vec{b} = \\vec{BC}$ st gleich lang wie $\\vec{a}$ und um $+90^\\circ$ gedreht. Damit ist \n$$ \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{3}{2} \\\\ \\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  $$\n\nDie Punkte $D$ und $C$ erhält man, wenn man die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\\vec{b}$ verschiebt:\n$$ \\vec{OD} = \\vec{OA} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} -\\frac{2}{3} \\\\ \\frac{3}{4}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} \\frac{3}{2} \\\\ \\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{5}{6} \\\\ \\frac{9}{4}\\end{pmatrix}  $$\n und$$ \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{b} = \\begin{pmatrix} \\frac{5}{6} \\\\ -\\frac{3}{4}\\end{pmatrix}  + \\begin{pmatrix} \\frac{3}{2} \\\\ \\frac{3}{2}\\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} \\frac{7}{3} \\\\ \\frac{3}{4}\\end{pmatrix} . $$\nDie gesuchten Koordinaten sind also $C=\\left(\\frac{7}{3},\\,\\frac{3}{4}\\right)$ und $D=\\left(\\frac{5}{6},\\,\\frac{9}{4}\\right)$."]],
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